הצגת המקור של הדף "בעיית נתר"

'''בעיית נתר''' היא מן הבעיות המרכזיות ב[[תורת גלואה]]. הבעיה הוצעה על ידי [[אמי נתר]] ב[[שנות השלושים של המאה העשרים]], והיא עדיין לא פתורה באופן כללי.
[[קובץ:Noether.jpg|שמאל|ממוזער|150px|אמי נתר]]

'''הבעיה'''.
נתון [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>F</math>, ו[[חבורת תמורות]] <math>G</math> ה[[פעולת חבורה|פועלת]] על הקבוצה <math>1,\dots,n</math>. אפשר להרחיב את הפעולה של <math>G</math> לפעולה על ה[[הרחבה טרנסצנדנטית|הרחבה הטרנסצנדנטית]] הטהורה <math>K = F(x_1,\dots,x_n)</math>, כאשר <math>g\in G</math> פועל על המשתנים לפי הפעולה על האינדקסים <math>g(x_i) = x_{g(i)}</math>, והפעולה על שדה הבסיס <math>F</math> טריוויאלית.
השאלה היא האם [[שדה שבת|שדה השבת]] <math>K^{G}</math> הוא בהכרח הרחבה טרנסצנדנטית טהורה של <math>F</math>. במילים אחרות, האם קיימים <math>f_1,\dots,f_n \in K</math> [[אי תלות אלגברית|בלתי תלויים אלגברית]] כך ש-<math>K^G = F(f_1,\dots,f_n)</math>.

לדוגמה, ידוע שהתשובה חיובית כאשר <math>G</math> היא [[החבורה הסימטרית]] <math>S_n</math>. אם <math>G</math> היא [[חבורת התמורות הזוגיות]] <math>A_n</math>, התשובה חיובית כאשר <math>n\leq 5</math>, ולא ידועה כאשר <math>n\geq 6</math>.

ב-[[1969]] הראה [[ריצ'רד סוואן]] (Richard Swan) שהתשובה לבעיית נתר שלילית מעל [[שדה המספרים הרציונליים]], כאשר <math>G=\mathbb{Z}/47\mathbb{Z}</math> היא ה[[חבורה ציקלית|חבורה הציקלית]] מ[[סדר של חבורה|סדר]] 47. לחבורה זו יש [[אוטומורפיזם]] מסדר 23, וההוכחה מסתמכת על כך ש[[חוג שלמים|חוג השלמים]] של [[שדה ציקלוטומי|השדה הציקלוטומי]] <math>\mathbb{Q}[\zeta_{23}]</math> אינו [[תחום אידיאלים ראשיים]]. מאוחר יותר, ב־[[1974]] תיאר [[הנדריק לנסטרה]] קריטריון לטרנסצנדנטיות של שדה השבת כאשר <math>G</math> [[חבורה אבלית]], והראה שהתשובה לבעיית נתר שלילית מעל השדה הרציונלי גם עבור <math>G=\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}</math>.
את הדוגמה הראשונה לתשובה שלילית מעל [[שדה סגור אלגברית]] מצא [[דייוויד סולטמן]] ב-[[1983]] (עבור חבורות מסדר <math>p^9</math>). דוגמה דומה, עם חבורה מסדר <math>p^6</math>, מצא Bogomolov ב-1986.

נתר הציעה את הבעיה בניסיון לפתור בעיה אחרת, [[בעיית ההיפוך של תורת גלואה]], השואלת אלו חבורות יכולות להיות [[חבורת גלואה|חבורות גלואה]] של הרחבות של [[שדה המספרים הרציונליים]]. אם התשובה לבעיית נתר היא חיובית עבור חבורה מסוימת <math>G</math> מעל שדה <math>F</math>, אז אפשר לממש חבורה זו כחבורת גלואה מעל אותו שדה.

[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:תורת החבורות]]
[[קטגוריה:תורת גלואה]]
[[קטגוריה:בעיות פתוחות באלגברה|נתר, בעיית]]