הצגת המקור של הדף "בעיית קורוש"

'''בעיית קורוש''' היא בעיה ב[[תורת החוגים]], העוסקת ב[[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברות]] [[איבר אלגברי|אלגבריות]] [[אלגברה אפינית|נוצרות סופית]]. את הבעיה העלה אלכסנדר קורוש {{אנ|Aleksandr Gennadievich Kurosh}} באנלוגיה ל[[בעיית ברנסייד]] מ[[תורת החבורות]], והיא שואלת האם [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] [[איבר אלגברי|אלגברית]] [[אלגברה אפינית|נוצרת סופית]] היא בהכרח מממד סופי. לשאלה זו, כלשונה, יש פתרון שלילי, אך התשובה לחלק מן הווריאציות עדיין אינה ידועה.

אלגברה קומוטטיבית הנוצרת על ידי מספר סופי של איברים אלגבריים, היא בעלת ממד סופי. תכונה זו אינה נכונה באלגברות לא קומוטטיביות (האלגברה הנוצרת על ידי איברים <math>x,y</math> המקיימים <math>\ x^2 = y^2 = 0</math> היא בעלת ממד אינסופי), ולוז הבעיה, אם כך, הוא באופן שבו האלגבריות של כל האיברים אמורה לצמצם את המימד.

אם [[אלגברת חבורה|אלגברת החבורה]] של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] <math>G</math> היא אלגברית, אז החבורה [[חבורה מפותלת|מפותלת]] (ההפך אינו נכון). במובן זה, בעיית קורוש על אלגברות חבורה חלשה מבעיית ברנסייד, העוסקת בחבורה נוצרת סופית שכל אבריה בעלי סדר סופי. מצד שני, החבורה הנלווית של אלגברה נילית מעל שדה ממאפיין חיובי היא מפותלת.

[[יבגני גולוד]]{{אנ|Evgeny Golod}} בנה, בעזרת [[למת גולוד-שפרביץ']]{{אנ|Golod–Shafarevich theorem}}, [[חוג נילי|אלגברה נילית]] נוצרת סופית בעלת ממד אינסופי (1964). זוהי [[דוגמה נגדית]] לבעיית קורוש, משום שכל איבר נילי הוא אלגברי. בנייה זו פתרה את [[בעיית ברנסייד]] הכללית, משום שכאשר מממשים אותה מעל [[שדה סופי]], מתקבלת אלגברה שחבורתה הנלווית מפותלת אך לא סופית-מקומית.

דוגמה חזקה יותר לבעיית קורוש, בעלת [[ממד גלפנד-קירילוב]] סופי, נבנתה על ידי לנגן ו[[אגטה סמוקטונוביץ'|סמוקטונוביץ']].

מאידך, בעיית קורוש עדיין פתוחה עבור [[חוג עם חילוק|חוגים עם חילוק]] (וכל חוג אלגברי ללא [[מחלק אפס|מחלקי אפס]] הוא כזה). אפילו ללא הנחת האלגבריות, לא ידועה אלגברת חילוק נוצרת סופית (כאלגברה) מממד אינסופי; בעיה זו הוצעה על ידי לטישב ואיקדה.

קפלנסקי הראה שלבעיית קורוש פתרון חיובי עבור [[חוג עם זהויות|אלגברה עם זהויות]]{{הערה|Topological representation of algebras, II, Trans AMS 68(1) 1950, משפט 6.1
[http://www.ams.org/journals/tran/1950-068-01/S0002-9947-1950-0032612-4/S0002-9947-1950-0032612-4.pdf].}}.
פתרונו הקומבינטורי של Shirshov לאותה בעיה מכסה גם אלגברות [[אלגברה אלטרנטיבית|אלטרנטיביות]] ואלגברות [[אלגברת ז'ורדן|ז'ורדן]] המקיימות זהויות. פתרונו של [[יפים זלמנוב|זלמנוב]] ל[[בעיית ברנסייד|בעיית ברנסייד המצומצמת]] עובר דרך הוכחה כי [[אלגברת לי]] נילית המקיימת [[חוג עם זהויות|זהות פולינומית]] היא [[רדיקל (תורת החוגים)|נילפוטנטית מקומית]].

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}

{{מיון רגיל:קורוש, בעיית}}
[[קטגוריה:תורת החוגים]]
[[קטגוריה:בעיות פתוחות באלגברה]]