הצגת המקור של הדף "גאומטריה אנליטית"

[[קובץ:Punktkoordinaten.PNG|שמאל|ממוזער|250px|[[מערכת צירים קרטזית|קואורדינטות קרטזיות]]]]
ב[[מתמטיקה]], '''גֵּאוֹמֶטְרִיָּה אָנָלִיטִית''' או '''הַנְדָּסָה שִׁעוּרִית'''<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://terms.hebrew-academy.org.il/munnah/51828_1,58937_1,52227_1|כותרת=המונחים במילוני האקדמיה {{!}} מונחי האקדמיה|אתר=terms.hebrew-academy.org.il|תאריך_וידוא=2021-09-01}}</ref> היא ענף העוסק בחקר הגאומטריה באמצעות כלים [[אלגברה|אלגבריים]]. בענף זה משתמשים לרוב ב[[מערכת צירים קרטזית]] כדי לתאר באמצעות משוואות [[מרחב אוקלידי|מרחבים]], [[ישר]]ים, [[עקומה|עקומות]], [[מעגל]]ים וכדומה, בדו-ממד ובתלת-ממד. 

את היסודות לגאומטריה האנליטית הניח [[רנה דקארט]], שעל שמו נקראת מערכת צירים קרטזית [[מכפלה קרטזית|והמכפלה הקרטזית]], בשנת 1637. עבודתו סיפקה את הבסיס ל[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]] שפותח בנפרד על ידי [[אייזק ניוטון]] ו[[גוטפריד וילהלם לייבניץ]]. יש הרואים בפיתוח הגאומטריה האנליטית את תחילתה של המתמטיקה המודרנית.

==גאומטריה אנליטית במישור==
ב'''גאומטריה האנליטית''' של המישור (הבנויה על [[מערכת צירים קרטזית]]) מיוצגת כל נקודה על ידי [[זוג סדור]] של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], כאשר בערכם המוחלט, הראשון מציין את המרחק (האופקי/הקטן ביותר) של הנקודה מציר ה-<math>y</math> והשני את המרחק (האנכי/הקטן ביותר) של הנקודה מציר ה-<math>x</math>. <br>החוזק של הגאומטריה האנליטית ביחס ל[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה האוקלידית]], הוא באפשרות לתאר מושגים גאומטריים על ידי משוואות ופונקציות, ובכך לאפשר פתרון אלגברי לבעיה הגאומטרית.

הזוג הסדור של נקודה נקרא גם "שיעורי" הנקודה. הראשון נקרא שיעור ה-<math>x</math> של הנקודה והשני שיעור ה-<math>y</math> של הנקודה. 

===מרחק בין נקודות===
בבסיס התחום נמצאת הגדרת המרחק בין שתי נקודות, שמוגדרת לפי [[משפט פיתגורס]]: 
: <math>\ d ( (x_2,y_2) , (x_1,y_1) ) = \sqrt{ { (x_2 - x_1 )}^2 +{(y_2-y_1)}^2}</math>

=== קווים ישרים ===
'''[[ישר|קו ישר]]''' מוגדר כאוסף הנקודות שמקיימות משוואה מהצורה:
: <math>Ax+By=C</math>.
כאשר <math>A=B=0</math> המשוואה מגדירה את כל המישור או אף נקודה, ולא קו ישר במובן הרגיל של המילה.

כאשר <math>B \ne 0</math> ניתן להציג את הקו הישר על ידי משוואה מהצורה <math>y=mx+n</math>. משוואה זו נקראת '''המשוואה הקנונית של הישר''' (או המשוואה המפורשת של הישר). 

המשוואה הקנונית (המפורשת) של הישר היא יחידה – כלומר, אם נתונות שתי משוואות שונות, הן בהכרח מייצגות שני ישרים שונים, ולהפך. לעומת זאת, לכל ישר קיימות אינסוף משוואות רגילות המתארות אותו, כיוון שניתן להכפיל את המשוואה של ישר נתון בכל [[מספר ממשי]] שאינו [[0 (מספר)|אפס]] והמשוואה תוסיף ותתאר את אותו הישר.

המספר <math>m</math> שבמשוואה נקרא '''שיפוע הישר''', והוא מייצג את מספר היחידות שהישר עובר בציר ה־<math>y</math> עבור כל יחידת אורך שהוא עובר בציר ה־<math>x</math>. ישרים בעלי שיפוע זהה הם [[ישרים מקבילים]], ולהפך. שיפוע הישר המקביל לציר ה־<math>x</math> הוא <math>0</math>, ושיפוע הישר המקביל לציר ה־<math>y</math> אינו מוגדר ואי אפשר לייצג אותו באמצעות משוואה זו. 

המספר <math>n</math> שבמשוואה הוא ערך ה-<math>y</math> בנקודת חיתוך הישר עם ציר ה־<math>y</math>.

בהינתן שתי נקודות על ישר: <math> (x_2,y_2) , (x_1,y_1) </math> ,אזי השיפוע(<math>m</math>) הוא הפרש שיעורי ה־<math>y</math> של שתי הנקודות חלקי הפרש שיעורי ה־<math>x</math> של שתי הנקודות <math>m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math> . 

הזווית שישר יוצר עם ציר ה-<math>x</math> (כמו גם עם כל ישר אחר המקביל לציר ה-x) היא <math>\theta=\arctan(m)</math>.

====מרחק בין ישרים מקבילים====
בהינתן שני ישרים מקבילים <math>\ell_i : Ax+By+C_i = 0</math>, <math>i=1,2</math>, המרחק ביניהם הוא

<math>d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}</math>.

אם נדאג לכך ש-<math>B > 0</math>, אם <math>\ell_2</math> מעל <math>\ell_1</math> נוכל להשמיט את [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]], ואם אם <math>\ell_2</math> מתחת ל-<math>\ell_1</math> נוכל לשים במקומו מינוס.

====[[מרחק נקודה מישר|מרחק בין נקודה לישר]]====
בהינתן ישר <math>\ell : Ax+By+C = 0</math> ונקודה <math>(x_0,y_0)</math> המרחק ביניהם הוא

<math>d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}</math>.

==== ישרים מאונכים ====
מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא מינוס 1.

הוכחה:

עבור ישר עם זווית <math>\theta</math> ביחס לציר <math>x</math>, השיפוע שלו הוא <math>m=\tan(\theta)</math>,  

כך שהישר המאונך לו הוא עם זווית <math>\theta + 90^\circ </math> ביחס לציר ה <math>x</math> ,

כלומר שיפוע הישר המאונך הוא  <math>m_\perp = \tan(\theta + 90^\circ )</math>, 

ומאחר ו <math>\tan(\theta+90^\circ)=-1/\tan(\theta ) </math> ,

אזי מתקבל <math>m_\perp = -1/m </math>

===מעגלים===
ה[[מעגל]] לפי הגדרתו הגאומטרית, הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת שווה למספר חיובי קבוע - [[רדיוס]] המעגל. הנקודה המסוימת נקראת מרכז המעגל. משוואתו של מעגל מוגדרת כך: 
: <math>(x-a)^2+(y-b)^2=R^2</math> כאשר מרכז המעגל הוא הנקודה <math>(a,b)</math> ורדיוסו <math>R</math>.
כאשר מרכז המעגל נמצא בראשית הצירים - הנקודה <math>(0,0)</math>, משוואת המעגל מקבלת את הצורה: 
: <math>x^2 + y^2 = R^2 </math>
מעגל כזה נקרא '''[[מעגל קנוני]]''', וקל לראות שניתן ליצור ממנו כל מעגל על ידי הזזה. כאשר רדיוס המעגל הקנוני הוא <math>1</math>, המעגל נקרא '''[[מעגל היחידה]]'''. דרך נוחה להצגה פרמטרית של מעגל היחידה היא על ידי הנוסחה
: <math>(\cos t, \sin t)</math> עבור <math>t \in [ 0 , 2\pi ]</math>.
קיימות נוסחאות דומות גם ל[[חתכי חרוט]] אחרים ([[פרבולה]], [[היפרבולה]] ו[[אליפסה]]).

== הכללה למרחב ה-n ממדי ==
במרחב n-ממדי, מיוצגת כל נקודה על ידי [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] <math>n</math>-ממדי מעל המספרים הממשיים. [[מישור (גאומטריה)|מישור]] עילי במרחב <math>n</math>-ממדי מוגדר על ידי כל הנקודות המיוצגות על ידי קומבינציות ליניאריות של <math>n-1</math> וקטורים [[תלות ליניארית|בלתי תלויים]], המייצגים נקודות באותו מרחב. קו ישר מיוצג על ידי קבוצת כל [[צירוף ליניארי|הקומבינציות הליניאריות]] של שתי נקודות שונות ומישור (במרחב תלת-ממדי) על ידי כל הקומבינציות הליניאריות של שלוש נקודות שאינן על ישר אחד.

==משמעות מודרנית==
במשמעותה המודרנית גאומטריה אנליטית עוסקת בחקר של קבוצות אפסים של [[פונקציה_אנליטית|פונקציות אנליטיות]]. ישנם קשרים רבים בין גאומטריה אנליטית מודרנית ל[[גאומטריה אלגברית]] מודרנית, למשל במשפטי ה-GAGA של [[ז'אן-פייר סר]].

==לקריאה נוספת==
* [[ברוך בן-יהודה]], '''גאומטריה אנליטית של המישור''', [[הוצאת מסדה]], מהדורה חמישית, 1965.
* [[שמשון עמיצור]], '''גאומטריה אנליטית''', [[אקדמון]], תשכ"ט
* רחל בוהדנה, נורית הדס, שרה קירו, '''גאומטריה אנליטית''', המחלקה להוראת המדעים - [[מכון ויצמן למדע]], 1997.

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=גאומטריה אנליטית|ויקימילון 2=אנליטי|ויקימילון 3=הנדסה אנליטית}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007563082805171|גאומטריה אנליטית}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:גאומטריה אנליטית|*]]
[[קטגוריה:אנליזה מתמטית]]
[[קטגוריה:גאומטריה]]