הצגת המקור של הדף "גאומטריה ביוון העתיקה"

[[קובץ:Woman teaching geometry.jpg|ממוזער|אישה מלמדת גאומטריה. האיור מופיע בתרגום מימי הביניים לספר "[[יסודות (ספר)|יסודות]]" של [[אוקלידס]] (בערך משנת 1310)]]
המקור למידע אודות תולדות ה'''גאומטריה ביוון העתיקה''' הם טקסטים מתמטיים העוסקים ב[[גאומטריה]], שנכתבו במקור בין השנים 624–200 לפנה"ס ב[[יוון העתיקה]]. מפתחי התחום הנודעים והמשפיעים ביותר מאותה תקופה הם [[תאלס]], [[פיתגורס]], [[אפולוניוס מפרגה|אפולוניוס]], [[אוקלידס]] ו[[ארכימדס]]. עבודתם המתמטית־גאומטרית הובילה להתהוות התחום, והניחה את התשתיות לתחומים נוספים כמו [[הנדסה]], [[פיזיקה]] ו[[אסטרונומיה]].

ליוונים מיוחסת התרומה המשמעותית ביותר לתחום עד זמנם, משום שהם שקבעו לראשונה כי יש לבססו על [[אקסיומה|אקסיומות]], ועיגנו את רעיון ה[[הוכחה|הוכחה המתמטית]] ה[[ריגורוזיות|ריגורוזית]] והסדורה כתנאי הכרחי ל[[תקפות (לוגיקה)|תקפות]] ה[[משפט (מתמטיקה)|משפטים]] שמפותחים על גביהן.

== סקירה היסטורית ==
=== תאלס - 624-546 לפנה"ס ===
{{הפניה לערך מורחב|ערכים=[[תאלס]], [[משפט תאלס]]}}
[[קובץ:Thales theorem.svg|ממוזער|150x150 פיקסלים|משפט תאלס.]]
[[תאלס]] היה [[פילוסוף]] ומתמטיקאי יווני שחי בין השנים 624 לפנה"ס ו-546 לפנה"ס. על אף שהוכחותיו המקוריות לא שרדו, מוכרות מספר בעיות שפתר. הבעיה הראשונה שפתר הייתה בעיית מדידת מרחקה של ספינה מחוף הים על ידי שימוש במשפט צלע-זווית-צלע ל[[חפיפת משולשים]].<ref>{{Citation|title=How can you measure a ship's distance from the shore?|url=https://www.youtube.com/watch?v=lj19dFVlotw|accessdate=2023-05-18|language=he-IL}}</ref> הבעיה השנייה שפתר הייתה מדידת גובה ה[[פירמידה (מבנה)|פירמידות]] שבמצרים באמצעים הנדסיים, באמצעות מדידת אורך צל הפירמידה והשוואתו לאורך הצל של מקל שאורכו ידוע.

תאלס פיתח משפט גאומטרי העוסק ב[[דמיון משולשים]] אשר נקרא [[משפט תאלס]], שכלל שתי הרחבות. בנוסף, הוא הוכיח שזוויות הבסיס ב[[משולש שווה-שוקיים]] שוות. תרומה נוספת לגאומטריה הייתה העיסוק בשוויון [[זווית|זוויות]] והקביעה שכל הזוויות האנכיות שוות זו לזו. תאלס הוכיח ששוויון זוויות הוא תכונה [[יחס רפלקסיבי|רפלקסיבית]]. כמו כן, הוא הוכיח שכל [[קוטר]] של מעגל חוצה את המעגל לשני חלקים שווי שטח.

=== פיתגורס - 572-497 לפנה"ס ===
{{הפניה לערך מורחב|ערכים=[[פיתגורס]], [[השורש הריבועי של 2#הוכחת אי רציונליות]]}}
[[קובץ:תמונה_לערך.png|ממוזער|שרטוט של משולש שווה שוקים וישר-זווית.]]
במהלך חייו של פיתגורס - שחי בשנים 572-497 לפנה"ס - נאספו סביבו תלמידים שנקראו "[[האסכולה הפיתגוראית|הפיתגוראים]]". הפיתגוראים נחשבו לקבוצה דתית אשר יצרה אסכולה פילוסופית והאמינה כי המספרים הם הבסיס לכל. בנוסף, האמינו הפיתגוראים כי לכל אובייקט ביקום יש מספר ייחודי המתאר אותו. מכיוון שהפיתגוראים האמינו שהמספרים הם הבסיס ליקום, הם האמינו כי ניתן למדוד הכול, כולל אורכים. כדי למדוד אורכים, נדרשת מידה מסוימת. לכן, הפיתגוראים הגדירו "מידה" שבעזרתה ניתן למדוד הכל כיחידה אשר אינה ניתנת לחלוקה.
הפיתגוראים הניחו כי ניתן למצוא [[מידה משותפת]] לצלע הריבוע ולאלכסון הריבוע. כלומר שצריכה להיות יחידת אורך ([[מספר טבעי]]) הנכנסת <math>n</math> פעמים באלכסון ו<math>m</math> פעמים בצלע. הפיתגוראים גילו שהטענה שגויה, והסיקו כי צלע ואלכסון הריבוע הם גדלים חסרי מידה משותפת (incommensurable magnitude). בשפה המודרנית, התוצאה שקולה לכך ש-<math>\sqrt{2}</math> הוא מספר [[מספר אי-רציונלי|אי רציונלי]]. בכתיבה מתמטית, אם נתבונן ב[[משולש שווה-שוקיים]] וישר-זווית שאורך השוק שלו הוא <math>a</math>, נקבל מ[[משפט פיתגורס]] <math>{a}^2+{a}^2={c}^2</math> כלומר <math>c = \sqrt{2}a</math> והמשמעות היא שאין מספרים טבעיים <math>n,k,m</math> כך ש <math>a=nk</math> וגם <math>c=mk</math>.

בנוסף, איננו יודעים כיצד הפיתגוראים גילו תגלית זו, אך לפי אריסטו<ref>{{צ-ספר|מחבר=Aristotle, A.J.Jenkinson|שם=Prior Analytics: Aristotle|עמ=23|כרך=I|מו"ל=Createspace Independent Pub|שנת הוצאה=2016|ISBN=978-1537382944}}</ref> אנו יודעים כי הפיתגוראים פעלו בשיטה הבאה: "כך, למשל, מוכיחים את אי קיומה של מידה משותפת בין הצלע לאלכסון, על ידי כך שמניחים את המידה המשותפת ומוכיחים שהמספרים האי-זוגיים הופכים לזוגיים".

ההוכחה המקובלת כיום היא להניח בשלילה כי <math>\sqrt{2}</math> הוא [[מספר רציונלי]] ולהגיע לסתירה. ההוכחה מתחילה בהנחה שהשורש של 2 הוא רציונלי, ולכן ניתן לכתוב <math>\frac{p}{q}=\sqrt{2}</math> כאשר ל-<math>p,q</math> אין [[מחלק משותף מקסימלי|גורמים משותפים]]. מכאן מסיקים ש-<math>p=\sqrt{2}q</math>'' ''ומקבלים ש-<math>p^2=2q^2</math>, לכן <math>p^2</math> הוא [[מספר זוגי|זוגי]] ו-<math>p</math> הוא זוגי, משמע <math>p=2k</math>. מכאן <math>4k^2=2q^2</math> ולכן <math>2k^2=q^2</math> ולכן <math>q^2</math> זוגי ולכן גם <math>q</math> זוגי וגם <math>p</math> זוגי בסתירה לכך ש ל-<math>p,q</math> אין גורמים משותפים.

ישנם היסטוריונים שטוענים כי זה אכן מה שהפיתגוראים עשו, אולם בבחינה ביקורתית היסטורית עולות שתי בעיות. הבעיה הראשונה היא שאין סימוכין טקסטואליים לכך – אין טקסט במתמטיקה היוונית המראה כי זו אכן הייתה דרך ההוכחה. הבעיה השנייה היא שסגנון ההוכחה הזה לא מקובל ב[[מתמטיקה ביוון העתיקה|מתמטיקה היוונית]]. במתמטיקה היוונית לא היו משוואות, לא הייתה העברת אגפים, ולא היה מקובל לסמן משתנים באותיות.[[קובץ:תמונה_לערך_2.png|ממוזער|שרטוט המדגים את האינטרפרטציה החלופית להוכחת אי הרציונליות של <math>\sqrt{2}</math>]]

כתוצאה מהבעיות הוצעה אינטרפרטציה חלופית להוכחה, שמתאימה לסוג המתמטיקה שבו השתמשו היוונים, אולם אין סימוכין טקסטואליים המראים שזו אכן הייתה דרך ההוכחה. ההוכחה מתחילה בהנחה ש-<math>DH</math> ו-<math>BD</math> הם גדלים בעלי מידה משותפת, ולכן השטח של <math>AGFE</math> הוא פעמיים השטח של <math>DBHI</math>, ומכאן ש-<math>AGFE</math> הוא מספר [[מספר זוגי|זוגי]]. כמו כן, מתקיים ש-<math>AG=DH</math>. צלע זו מייצגת מספר זוגי ולכן הריבוע <math>AGFE</math> הוא כפולה של 4. אבל <math>DBHI</math> שטחו חצי מריבוע <math>AGFE</math>, אז שטחו הוא כפולה של 2 ולכן <math>DBHI</math> זוגי. מכאן הצלע <math>BD</math> חייבת להיות זוגית. אבל זו סתירה להנחת היסוד ש-<math>DH</math> או <math>BD</math> אי זוגי ולכן שני הישרים חסרי מידה משותפת.[[קובץ:תמונה_לערך_5.png|ממוזער|שרטוט אשר ממחיש את ההוכחה לכך שאין מידה משותפת לצלע מחומש ואלכסונו.|134x134 פיקסלים]]קורט פון פריץ, [[היסטוריון]] גרמני בן המאה ה-20, נתן השערה לדרך שבה הפיתגוראים גילו את הגדלים חסרי מידה משותפת. ההשערה מסתמכת על [[אלגוריתם אוקלידס]] כדי למצוא את [[מכנה משותף|המכנה המשותף הגדול]] ביותר בין שני גדלים <math>A,B</math> ומניחה שה[[אלגוריתם]] תמיד עובד עבור מספרים טבעיים. כמו כן, ההשערה מסתמכת על "[[יחס הזהב|חתך הזהב]]" - בהינתן גודל מסוים, ניתן לחתוך את הגודל כך שהגודל יהיה ה[[ממוצע גאומטרי|ממוצע הגאומטרי]] בין <math>B</math> ל-<math>A+B</math> כלומר <math>(A+B):A::A:B</math>, השקול ל-<math>\frac{A+B}{A}=\frac{A}{B} \longrightarrow A=\sqrt{(A+B)B}</math>. פון פריץ טען כי סביר שהמתמטיקאים היוונים הניחו שהיחס בין צלע [[מחומש]] לבין אלכסון המחומש הוא גודל בעל מידה משותפת. לכן, בהינתן מחומש ניתן להראות את הדברים הבאים: <math>CB</math> הוא [[יחס הזהב|חתך הזהב]] של <math>AB</math>. כמו כן, <math>BC=BD</math>, ומכאן מסיקים ש-<math>AD</math> הוא חתך זהב של <math>AE</math> ואז <math>DE</math> הוא חתך הזהב של <math>DF</math>. כלומר מביצוע של תהליך אינסופי כזה ניתן להסיק שאין מידה משותפת בין צלע המחומש לאלכסון שלו.

=== אוקלידס - 365-275 לפנה"ס ===
{{ערך מורחב|אוקלידס}}
אוקלידס היה [[מתמטיקאי]] שחי בין השנים 365 לפנה"ס ו-275 לפנה"ס. אוקלידס נחשב ל[[גאומטריה אוקלידית|אבי הגאומטריה]]. הוא פרסם ספר בשם "[[יסודות (ספר)|היסודות]]" או "האלמנטים של אוקלידס" המורכב מ-13 כרכים. כרכים 1–6 ו-10–13 עוסקים ב[[גאומטריה]] וכרכים 7–9 עוסקים ב[[אריתמטיקה]].

==== ספרו הראשון של האלמנטים של אוקלידס ====
[[קובץ:תמונה_לערך_6.png|ממוזער|ההוכחה הראשונה בספרו הראשון של אוקלידס - בניית משולש שווה-צלעות בהינתן צלע נתונה (AB).]]
{{הפניה לערך מורחב|ערכים=[[יסודות (ספר)]], [[משפט פיתגורס]]}}
בספרו הראשון בנה אוקלידס את יסודות הגאומטריה, והוא נפתח ברשימה של עשרים ושלוש הגדרות המהוות בסיס לגאומטריה כולה. אוקלידס ממשיך על ידי הנחת עשר [[אקסיומה|אקסיומות]] שחמש מהן אקסיומות גאומטריות וחמש הן דעות מקובלות. לאחר שאוקלידס ניסח את האקסיומות ואת הדעות המקובלות, הוא הוכיח טענות אשר מתבססות זו על גבי קודמתה, ולבסוף הוא הוכיח את [[משפט פיתגורס]] בהתבסס על הטענות שהוכיח לאורך הספר.

אוקלידס מגדיר, לדוגמה:
*הגדרה 1: לנקודה אין חלקים.
* הגדרה 2: לקו אין רוחב.
* הגדרה 3: הקצוות של קווים הם נקודות.
* הגדרה 10: כאשר קו ישר ניצב לקו ישר אחר, אז הזוויות הסמוכות שוות זו לזו וכל זווית היא <math>90^\circ</math> ונאמר כי הישרים ניצבים.
* הגדרה 11: זווית קהה היא זווית הגדולה מ<math>90^\circ</math>.
* הגדרה 12: זווית חדה היא זווית הקטנה מ<math>90^\circ</math>.

חמש האקסיומות שהניח אוקלידס בספר:

# אפשר להעביר [[קו ישר]] מכל נקודה לכל נקודה אחרת.
# אפשר ליצור קו ישר סופי באופן רציף. בשפה מודרנית: ניתן להאריך ישר ללא הגבלה.
# אפשר לתאר [[מעגל]] על ידי מרכז ומרחק. בשפה מודרנית: ניתן לשרטט מעגל באמצעות בחירת נקודה כלשהי כמרכז ואורך רדיוס כלשהו.
# כל שתי זוויות ישרות שוות זו לזו.
# אם ישר חותך שני ישרים אחרים אז הזוויות הפנימיות מאותו צד קטנות או שוות לשתי זוויות ישרות, ואם נמשיך את הישירים לנצח הם יפגשו בצד של הזוויות שסכומן קטן משתי זוויות ישרות.

חמש הדעות המקובלות שהתבסס עליהן לאורך הספר:

# אובייקטים השווים לדבר אחר, שווים ביניהם. בשפה מודרנית – כלל המעבר, או [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיביות]] השוויון.
# אם מוסיפים גדלים שווים לגדלים שווים, מקבלים גדלים שווים. בשפה מודרנית – <math>a=b \rightarrow a+c=b+c</math>.
# אם מחסירים גדלים שווים מגדלים שווים, מקבלים גדלים שווים. בשפה מודרנית - <math>a=b \rightarrow a-c=b-c</math>.
# אובייקטים חופפים זה לזה שווים זה לזה. בשפה מודרנית - <math>a=b \rightarrow b=a</math>.
# השלם גדול מכל אחד מחלקיו. בשפה מודרנית - <math>a+b>a, (a,b \in N)</math>.

בספרו הראשון של אוקלידיס יש 48 הוכחות, כאשר הוכחה מספר 47 היא הוכחה ל[[משפט פיתגורס]] והוכחה מספר 48 היא משפט פיתגורס ההפוך.

==== ספרו השני של האלמנטים של אוקלידס ====
{{הפניה לערך מורחב|הספר השני של יסודות}}
[[קובץ:תמונה_9_לערך.png|ממוזער|ההוכחה הראשונה בספרו השני של אוקלידס - סכום שטחי הצורה שווה לשטחה הכולל.]]
בספרו השני אוקלידס בונה את יסודות תחום האלגברה הגאומטרית, כלומר מסביר ומדגים הוכחת זהויות אלגבריות באמצעים גאומטרים. ספרו השני מכיל שתי הגדרות:

# נאמר כי כל [[מקבילית]] מלבנית מוכלת על ידי שני הקווים הישרים המכילים את הזווית הישרה.
# בכל אזור מקבילי תקרא כל אחת מהמקביליות בקוטר שלו עם שני המשלימים: '[[גנומון]]' (מילה יוונית שפירושה 'משבצת הנגר', כלי בצורת <math>L</math>).<ref>{{קישור כללי|כתובת=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookII/defII.html|כותרת=Euclid's Elements, Book II, Definitions}}</ref>

כמו כן, מופיעים בספר ארבעה עשר משפטים שכולם עוסקים באלגברה גאומטרית. לדוגמה, המשפט הראשון בספר קובע שאם קו ישר נחתך באופן אקראי, המלבן המוכל על ידי השלם ואחד מהקטעים שווה למלבן המוכל על ידי הקטעים והריבוע על הקטע לעיל, כלומר מתקיים ש- <math>a(b+c+....)=ab+ac+...</math>.

==== ספרו השלישי של האלמנטים של אוקלידס ====
[[קובץ:תמונה_11_לערך.png|ממוזער|ההוכחה הראשונה בספרו השלישי של אוקלידס - מציאת מרכז המעגל.]]
בספרו השלישי של אוקלידס בונה את יסודות הגאומטריה במישור המכילה מעגלים, כלומר בספר ניתנת הוכחות המתבססות במלואן על תכונות המעגל. ספרו השלישי מכיל אחת עשרה הגדרות ושלושים ושבע טענות.
* הגדרה 1: מעגלים שווים אלו מעגלים שה[[קוטר]] שלהם שווה והמרחק של המעגלים ממרכז המעגל להיקף המעגל שווה.
* הגדרה 2: [[משיק|משיק למעגל]] הוא קו ישר אשר פוגש את המעגל בנקודה אחת ולא חותך אותו.
* הגדרה 10: גזרה של מעגל היא צורה אשר תחומה על ידי קווים ישרים ועל ידי היקף מעגל, כאשר הזווית יוצאת ממרכז המעגל.

==== ספרו הרביעי של האלמנטים של אוקלידס ====
[[קובץ:תמונה_13_לערך.png|ממוזער|ההוכחה הראשונה בספרו הרביעי של אוקלידס - מציאת המעגל החסום במשולש.]]
בספרו הרביעי אוקלידס מפתח את יסודות התחום, ועוסק בבניית צורות גאומטריות בתוך מעגל ומסביבו בעזרת [[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]] בלבד. ספרו הרביעי מכיל שבע הגדרות ושש עשרה טענות.
* הגדרה 1: בהינתן צורה המאופיינת על ידי קווים ישרים, נאמר שצורה זו נחסמת על ידי צורה אחרת המאופיינת על ידי קווים ישרים אם הזוויות של הצורה החסומה נוגעות בהתאמה בצלעותיו של הצורה החוסמת.
* הגדרה 2: בהינתן צורה המאופיינת על ידי קווים ישרים, נאמר שצורה זו חוסמת צורה אחרת המאופיינת על ידי קווים ישרים אם הצלעות של הצורה החוסמת נוגעת בזוויות הצורה הנחסמת בהתאמה.
* הגדרה 7: נאמר שקו ישר הוא מיתר אם קצותיו מסתיימים על היקף המעגל.

==== ספרו החמישי של האלמנטים של אוקלידס ====
בספרו החמישי אוקלידס עוסק ב[[יחס ישר|פרופורציות]] בין קטעים. ספר זה מכיל שמונה עשרה הגדרות ועשרים וחמש טענות.
* הגדרה 1: גודל הוא שבר או חלק של גודל אחר כאשר הוא משמש למדידת הגודל הגדול יותר. במילים אחרות נאמר ש <math>a </math> הוא חלקי ל-<math>b </math> אם מתקיים ש <math>b=ma </math>.
* הגדרה 6: גדלים שיש להם את אותו היחס נקראים פרופורציונליים. אם ל-<math>a,b </math> יש את אותו היחס כמו ל-<math>c,d </math> והם פרופורציונליים אז <math>a:b :: c:d </math>.
* הגדרה 13: [[יחס הפוך]] הוא היחס של הגדלים הנתונים שהופכים אותו. אם נתון לנו יחס <math>a:b </math> אז היחס ההפוך הוא <math>b:a </math>.

הספר החמישי עוסק בתורת הפרופורציה המיוחסת בדרך כלל ל[[אאודוקסוס מקנידוס]]. החידוש של הספר החמישי הוא בכך שהוא מציע תיאוריה המתמודדת עם גדלים לא רציונליים, שהיו עד אז מחסום משמעותי עבור המתמטיקאים היוונים.<ref>{{צ-ספר|מחבר=Richard Fitzpatrick|שם=Eucild's Elements Of Geometry|עמ=129|מקום הוצאה=|שנת הוצאה=2008|קישור=https://farside.ph.utexas.edu/books/Euclid/Elements.pdf|ISBN=978-0-6151-7984-1}}</ref>

==== ספרו השישי של האלמנטים של אוקלידס ====
[[קובץ:תמונה_17_לערך.png|ממוזער|הוכחה שלוש עשרה בספרו השישי של אוקלידס - מציאת ישר המתאר את הממוצע הגאומטרי בין שני ישרים נתונים.]]
בספרו השישי, אוקלידס עוסק ב[[דמיון (גאומטריה)|דמיון צורות]] ובמציאת יחסים בין צורות דומות. למשל, היחס בין שטחי משולשים דומים הוא יחס ריבועי. כמן כן, אוקלידס קובע בספרו שדמיון של צורות הבנויות מקווים ישרים הוא תכונה [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבית]]. כלומר אם מתקיים <math>\begin{cases} \vartriangle ABC \thicksim \vartriangle DEF \\ \vartriangle ABC \thicksim \vartriangle GHI \end{cases}
 </math> אז נוכל להסיק ש-<math>\vartriangle DEF \thicksim \vartriangle GHI </math>.

הספר השישי של אוקלידס עוסק בתכנים אשר דומים באופיין לספר החמישי, אך ההתייחסות אליהן היא באופן גאומטרי. ספר זה מכיל שלוש הגדרות ושלושים ושלוש טענות.
* הגדרה 1: צורות שבנויות מישרים הן דומות רק אם יש לצורות אותן זוויות וכל הצלעות שלהן [[יחס ישר|פרופורציונליות]].
* הגדרה 2: קו ישר נחתך באופן חד כאשר שני קטעיו של הישר יוצרים יחס ביניהם כך שקטע אחד גדול והקטע השני קטן.
* הגדרה 3: הגובה של כל צורה הוא קו ישר שיוצא מקודקוד ומגיע לבסיס.

המשפט ה-13 בספר עוסק במציאת ישר המתאר את ה[[ממוצע גאומטרי|ממוצע הגאומטרי]] של שני ישרים נתונים. יהיו <math>AB,BC </math> שני קווים ישרים, ויש לבנות ישר אשר מייצג את הממוצע הגאומטרי שלהם כלומר ישר באורך <math>\sqrt{AB*BC} </math>. ההוכחה כוללת בניות גאומטריות:

# מציירים את <math>AB,BC </math> על אותו הישר, ואת חצי המעגל כך ש-<math>AC </math> הוא קוטר המעגל.
# מורידים אנך מחצי מעגל ל-<math>B </math> ומסמנים את הנקודה על המעגל שממנה יצא האנך ב-<math>D </math>.
# מתקיים כי <math>\measuredangle ADC = 90^\circ </math>, שכן היא [[זווית היקפית]] לקוטר.
# מתקיים <math>\begin{cases} \measuredangle DAB = \measuredangle BAC \\ \measuredangle BDA = \measuredangle BCD \\ \measuredangle ABD = \measuredangle DBC \end{cases}
 </math> ולכן <math>\vartriangle ABD \thicksim \vartriangle BDC </math>.
# מכאן <math>\frac{AB}{BD} = \frac {BD}{BC} \rightarrow BD^2 =AB*BC \rightarrow BD=\sqrt{AB*BC} </math> כנדרש.

==== ספרו האחד עשר של האלמנטים של אוקלידס ====
[[קובץ:תמונה_לערך_18.png|ממוזער|ההוכחה השלישית בספרו האחד עשר של אוקלידס - אם מישורים נחתכים אז החלק המשותף להם הוא קו ישר.]]
בספרו האחד עשר עוסק אוקלידס ב[[מרחב תלת-ממדי|גאומטריה תלת־ממדית]] ובחישוב [[נפח]]ים. אוקלידס פותח את הספר בכך שהוא מגדיר מה זו [[צורה גאומטרית]] תלת־ממדית. בספר זה הוא מגדיר את כל הצרות ההנדסיות המוכרות, בין היתר [[חרוט]], [[פירמידה (גאומטריה)|פרמידה]] ואת הגופים האפלטוניים. ספר זה מכיל עשרים ושמונה הגדרות ושלושים ותשע טענות.
* הגדרה 1: לגוף תלת־ממדי יש אורך, רוחב ועומק.
* הגדרה 2: השפה של גוף תלת־ממדי היא משטח.
* הגדרה 26: [[אוקטהדרון]] הוא גוף תלת־ממדי המוכל על ידי שמונה משולשים שווי צלעות.
* הגדרה 27: [[איקוסהדרון]] הוא גוף תלת־ממדי המוכל על ידי 20 משולשים שווי צלעות.
* הגדרה 28: [[דודקהדרון]] הוא גוף תלת־ממדי המוכל על ידי 12 מחומשים רגולריים.

==== ספרו השנים עשר של האלמנטים של אוקלידס ====
בספרו השנים עשר אוקלידס עוסק ביחסים בין גופים תלת־ממדיים, וביחס השטחים בין גופים תלת־ממדים. בספר אין הגדרות ויש בו שמונה עשרה טענות.

המשפט הראשון בספר קובע כי יחס השטחים בין [[מצולע]]ים שחסומים במעגל הוא יחס ריבוע הקטרים.
[[קובץ:תמונה_19_לערך.png|ממוזער|שרטוט למשפט 1 בספר השנים עשר של האלמנטים של אוקלידס.]]
ההוכחה למשפט נמצאת בספרו:[[קובץ:תמונה 20 לערך.png|ממוזער|שרטוט למשפט 1 בספר השנים עשר של האלמנטים של אוקלידס.]]
# יהיו <math>ABC </math> ו <math>FGH </math> שני מעגלים ויהיו <math>ABCDE </math> ו-<math>FGHKL </math> פוליגונים דומים החסומים במעגל ויהיו <math>BM,GN </math> הקטרים של המעגלים בהתאמה.
# יש להראות ש-<math>\frac{BM^{2}}{GN^{2}} = \frac{S_{ABCDE}}{S_{FGHKL}} </math>
# מחברים את הישרים <math>BM,AM,GL,FN </math>, ומכיוון שהפוליגונים דומים אז מתקיים ש-<math>\measuredangle BAE = \measuredangle GFL </math> וגם <math>BA = AE </math> וגם <math>GF = FL </math>'' ''וכן הלאה.
# כמו כן, <math>\vartriangle ABE \thicksim \vartriangle GFL </math>
# בנוסף, <math>\measuredangle BME = \measuredangle BEA = \measuredangle FNG = \measuredangle GLF </math> מדמיון משולשים ומכך שזוויות היקפיות שוות.
# כמו כן, מתקיים גם <math>\vartriangle GNF \thicksim \vartriangle BMA </math> ולכן <math>\frac{BM}{GN}=\frac{AB}{GF}=\frac{AM}{FN} </math>.
# היחס <math>\frac{BM^{2}}{GN^{2}} </math>'' ''זהה ליחסי הריבועים הנוצרים מהקטרים.
# לכן היחס <math>\frac{AB^{2}}{GF^{2}} = \frac{S_{ABCDE}}{S_{FGHKL}} </math> הוא פסוק אמת וניתן להסיק כי <math>\frac{BM^{2}}{GN^{2}} = \frac{AB^{2}}{GF^{2}} \rightarrow \frac{BM^{2}}{GN^{2}} =\frac{S_{ABCDE}}{S_{FGHKL}} </math> כנדרש.

==== ספרו השלושה עשר של האלמנטים של אוקלידס ====
[[קובץ:תמונה_21_לערך.png|ממוזער|ההוכחה השלוש עשרה בספרו השלושה עשר של אוקלידס - בהינתן [[משולש שווה-צלעות]] אשר חסום במעגל, נסמן את רדיוס המעגל ב <math>R </math> ואת אורך צלע המשולש ב<math>a </math> אז מתקיים ש <math>a^2=3R^2 </math>.]]
בספרו השלושה עשר עוסק אוקלידס ב[[פאון משוכלל|גופים אפלטוניים]]. בספר אין הגדרות, ומופיעות שמונה עשרה טענות. חמשת הגופים הרגולריים: ה[[קובייה]], ה[[ארבעון|טטרהדרון]] (פירמידה), ה[[תמניון משוכלל|אוקטהדרון]], ה[[עשרימון משוכלל|איקוסהדרון]] וה[[תריסרון|דודקהדרון]] התגלו ככל הנראה על ידי ה[[האסכולה הפיתגוראית|פיתגוראים]]. גופים אלו נקראים גופים "אפלטוניים" מכיוון שהם מופעים בדיאלוג המפורסם של [[אפלטון]] ששמו [[טימאיוס (דיאלוג אפלטוני)|טימאיוס]]. כמו כן, מרבית המשפטים בספר מיוחסים ל[[תאטטוס (מתמטיקאי)|תאטטוס]] מאתונה.

אוקלידס מסיים את הספר בהוכחה כי פרט לחמשת הגופים האפלטוניים אין עוד גוף שניתן לבנותו בתוך צורה שוות צלעות ושוות זוויות. לטענה זו ניתנת הוכחה ארוכה בספר וניתן להוכיח אותה בצורה מודרנית ישירה בעזרת [[משפט הקוסינוסים]] ולקבל:<math>a^2=r^2+r^2-2r^2cos(120^\circ) = 3r^2 </math>.

=== ארכימדס - 287-212 לפנה"ס ===
{{הפניה לערך מורחב|ערכים=|ארכימדס}}
ארכימדס היה מתמטיקאי יווני שחי בין השנים 287 לפנה"ס ו-212 לפנה"ס. במהלך חייו ארכימדס פיתח שיטות ורעיונות מתמטיים בולטים שבניהם: [[חוק ארכימדס]], [[שיטת המיצוי]] וחישוב [[טור (מתמטיקה)|טורים אינסופיים]] באופן גאומטרי. ארכימדס עסק לראשונה ב[[מנוף (מכניקה)|חוק המנוף]] בספרו "מישורים בשיווי משקל".<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://www.karlin.mff.cuni.cz/~halas/WSHM/Teziste-dukazy.pdf|הכותב=Teziste Dukazy|כותרת=Planes in Equilibrium}}</ref> בספר זה יש שבע [[אקסיומה|אקסיומות]] וחמישה עשר משפטים.

האקסיומות בספרו עוסקות ביחס בין גדלים המאוזנים זה ביחס לזה. בין היתר, ניתן למצוא בספר אקסיומות הקובעות כי גדלים שווים מתאזנים במרחקים שווים מנקודת המשען, גדלים שווים במרחקים שונים אינם מתאזנים, והגדול המרוחק ביותר יטה את קצה המנוף כלפי מטה. אקסיומה נוספת קובעת שאם במצב של שני גדלים מאוזנים מוסיפים דבר-מה לאחד הגדלים, האיזון מופר, וקצה המנוף יטה לכיוון המשקל שהוסף. כמו כן, אם במצב של שני גדלים מאוזנים מורידים דבר-מה מאחד הגדלים, האיזון מופר. הגודל שממנו לא נלקח הדבר יטה כלפי מטה.

ארכימדס הוכיח בספרו כי בהינתן גדלים מאוזנים במרחק שווה מנקודת המשען אז משקלם שווה, וכי גדלים שוני משקל ושווי מרחק מנקודת המשען לא יתאזנו, והמנוף יטה לצד הגודל עם המשקל הגדול יותר.[[קובץ:תמונה_22_לערך.png|ממוזער|חוק המנוף.]]המשפט השלישי בספרו היה חוק המנוף. החוק עוסק באיזון של גדלים <math>A,B </math> לא שווים. אם ([[ללא הגבלת הכלליות|בה"כ]]) <math>A>B </math>, והגופים מתאזנים בנקודה משען <math>C </math>, ומסמנים את אורכי הקטעים <math>AC = a, BC = b </math>, אז על פי החוק - <math>a<b </math>. בכיוון השני של החוק, אם הגדלים מתאזנים וגם <math>a<b </math> אז <math>A>B </math> . ארכימדס גם הוכיח את המשפט: מניחים בשלילה כי <math>a\nless b </math> . לאחר החסרה של הגודל <math>A-B </math> מ-<math>A </math>, לפי האקסיומה השלישית, המנוף יטה לצד <math>B </math> . אבל אם <math>a=b </math> אז הגדלים שנותרו יאזנו את המנוף, ואם <math>b<a </math> המנוף יטה לצד <math>A </math> לפי האקסיומה הראשונה. שני אלה סותרים ולכן <math>a<b </math>. ההוכחה בכיוון ההפוך זהה.

בנוסף לעיסוקו של ארכימדס במנופים, הוא גם מצא קירוב לפאי - היחס בין היקף המעגל לקוטר שלו מקיים את היחס הבא:<math>3\frac {10}{71} < \frac {circumference}{diameter} < 3\frac {1}{7} </math>. ארכימדס הוכיח את הטענה הזו בעזרת [[שיטת המיצוי]]. למעשה, ארכימדס פיתח [[אלגוריתם רקורסיבי]] המתבסס על בנית מצולעים חוסמים וחסומים וחישב את ההיקף שלהם, ובכך בנה סדרת קירובים ליחס בין היקף המעגל לקוטרו. שיטת ההוכחה הזו נקראת שיטת המיצוי.

בעזרת שיטת ההוכחה הזו ניתן להוכיח גם את הטענות הבאות:
* השטח החסום על ידי קו ישר החוצה [[פרבולה]] הוא <math>4/3</math> משטח ה[[משולש]] שיש לו אותו בסיס ואותו גובה.
* שטח [[אליפסה]] יחסי לשטח [[מלבן]] שצלעותיו שוות לציר הראשי והציר המשני של האליפסה.
* נפח [[כדור (גאומטריה)|כדור]] הוא 4 פעמים נפח ה[[חרוט]] שגובהו ורדיוס בסיסו שווים לרדיוס הכדור.
* נפח [[גליל (גאומטריה)|גליל]] שגובהו שווה ל[[קוטר]]ו הוא 1.5 פעמים נפח כדור בעל אותו קוטר.
* השטח החסום על ידי קטע ישר וסיבוב אחד של [[ספירלה]] הוא <math>1/3</math> משטח ה[[עיגול]] בו הרדיוס שווה לאורך הקטע.

=== אפולוניוס - 250-175 לפנה"ס ===
{{הפניה לערך מורחב|ערכים=|אפולוניוס מפרגה}}
אפולוניוס חי בין השנים 250 לפנה"ס ו-175 לפנה"ס בפרגה שביוון. תחום עיסוקו המרכזי של אפולוניוס בגאומטריה היה [[חתך חרוט|חתכי חרוט]]. אפולוניוס פרסם שמונה ספרים אשר עוסקים בחתכי חרוט. ספרים 1–4 השתמרו ביוונית, ספרים 5–7 השתמרו בערבית והספר השמיני אבד.

המושג של "חתכי חרוט" היה ידוע עוד לפני אפולוניוס, וגם ארכימדס הכיר את המושג. בנוסף, ב[[הכפלת הקובייה|בעיית הכפלת הקובייה]], [[היפוקרטס]] צמצם את הבעיה למציאת יחסים בין <math>x,y </math> ל-<math>a,2a </math> כך ש <math>a:x =x:y =y:2a </math>. בכתיבה מודרנית, מערכת המשוואות שהתייחס אליה, <math>\begin{cases} x^2=ay \\ y^2 =2ax \\ xy=2a^2 \end{cases} </math>, מייצגת [[פרבולה]] [[היפרבולה|והיפרבולה]] עובדה שעשויה להצביע על כך שהוא הכיר את המושג "חתכי חרוט".

בספריו, אפולוניוס עוסק בתכונות היסודיות של החתכי החרוט, ביצירת החתכים (מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה), ובתכונות יסודיות של קטרים ומשיקים. ספרים נוספים שכתב מתמקדים בתכונות היסודיות של החתכים, של [[משיק]]ים ושל [[אסימפטוטה|אסימפטוטות]], במציאת [[מקום גאומטרי]], במשמעות של קונפיגורציה גאומטרית בבעיות מינימום ומקסימום בגאומטריה וב[[איזומטריה|איזומטריות]] של חתכי חרוט. לבסוף עוסק אפולוניוס בייצוג של חתכי חרוט בעזרת מערכת [[קואורדינטות]].

ההגדרות המובאות בספריו של אפולוניוס הן מורכבות מאוד. לדוגמה, ההגדרה הראשונה בספרו הראשון - "אם מחברים באמצעות קו ישר נקודה להיקף של מעגל נתון, שאיננו במישור אחד עם הנקודה, והקו מוארך בשני הכיוונים, ואם הנקודה נותרת קבועה והקו הישר מסתובב סביב המעגל וחוזר לנקודת ההתחלה, אזי המשטח שנוצר, אשר מורכב משני חלקים שניצבים זה מול זה וגדלים ללא הגבלה ככל שהקו גדל ללא הגבלה, ייקרא משטח חרוטי, והנקודה תיקרא קדקוד, והקו הישר המחבר את מרכז המעגל והקדקוד ייקרא ציר".

==== בעיות שאפולוניוס פתר באמצעות חתכי חרוט ====
[[קובץ:תמונה_23_לערך.png|ממוזער|שרטוט להוכחה הראשונה של אפולוניוס|205x205 פיקסלים]]
'''דוגמה ראשונה:''' יהא [[חרוט]] בעל קדקוד <math>A </math> ובסיס <math>BC </math>, ויהא החרוט חתוך דרך הציר כדי ליצור חתך משולש <math>ABC </math>(משולש הציר). בנוסף, יהא החרוט חתוך גם על ידי מישור שני <math>ZDHE </math>, כך שהישר <math>DE </math>, המשותף לו ולמישור הבסיס, ניצב לישר <math>BC </math>, המשותף למשולש הציר ולבסיס (או ל-<math>BC </math> מאורך).

אזי, אם <math>M </math> היא נקודה כלשהי על [[חתך חרוט|חתך החרוט]] <math>MZO
 </math>, ומ-<math>M </math> נמתח ישר <math>MLO
 </math>, המקביל ל-<math>DE </math>, הרי ש <math>MLO
 </math> יפגוש את הישר <math>ZH
 </math> (המונח על המישור <math>ZDHE
 </math>), ואם הישר <math>MLO
 </math> נמשך עד <math>O
 </math> בצד השני של החתך, הרי ש-<math>ZH
 </math> חוצה את <math>MLO
 </math>.

מכאן ש-<math>ZH
 </math> הוא קוטר של החתך.
[[קובץ:תמונה_24_לערך.png|ממוזער|שרטוט להוכחה השנייה של אפולוניוס|145x145 פיקסלים]]
'''דוגמה שנייה:''' אם <math>C
 </math> היא נקודה על ה[[פרבולה]] <math>CET
 </math>, והמיתר <math>CDT
 </math> נחצה על ידי הקוטר <math>EB
 </math> (לא בהכרח בניצב לו), ואם מאריכים את הקוטר עד <math>A
 </math>, כאשר <math>AE=ED
 </math>, אזי הישר <math>AC
 </math> [[משיק]] ל[[פרבולה]] ב-<math>C
 </math>.

'''הוכחה:'''

# <math>AC
 </math> אינו משיק. אזי <math>AC
 </math> הוא חותך את ה[[פרבולה]] שוב ב-<math>K
 </math> כמו כן <math>ADC
 </math>ו-<math>ABF
 </math> הם [[משולשים דומים]].
# <math>BF:CD :: AB:AD
 </math>
# אבל <math>BG > BF
 </math>, ומכאן: <math>BG^2 : CD^2 > BF^2 :CD^2 :: AB^2 :AD^2
 </math> C ו-G הן נקודות על ה[[פרבולה]].
# <math>BG^2 =EB
 </math> וגם <math>CD^2 =ED
 </math> ו-<math>BG^2 : CD^2 :: BE :DE
 </math>.
# <math>BE : DE > AB^2 : AD^2
 </math>.
# <math>4BE\times EA : 4 DE\times EA >AB^2 :AD^2
 </math> או <math>4BE\times EA : AB^2 > 4DE \times EA :AD^2
 </math>.

לפי הטענה החמישית ב[[הספר השני של יסודות|ספר השני של האלמנטים]] של אוקלידס, ידוע ש-<math>ab< \frac{(a+b)^2}{4}
 </math> כלומר <math>4ab< (a+b)^2
 </math> ומתקיים שיווין רק כאשר <math>a=b
 </math>. ובמקרה המדובר, <math>AE=DE
 </math> ולכן <math>4DE*EA=AD^2
 </math> אבל <math>AE<BE
 </math> ולכן <math>4BE*EA<AB^2
 </math>'' ''ומתקבלת סתירה.

== שימושים של הגאומטריה ביוון העתיקה ==
[[קובץ:Parthenon from west.jpg|ממוזער|מבנה הפרתנון המבוסס על יחס גאומטרי - יחס הזהב.]]
ביוון העתיקה, הגאומטריה לא נלמדה רק בגלל היישומים הפרקטים שלה, אלא גם עקב החשיבות הפילוסופית שהיוונים יחסו לה. היוונים ראו בגאומטריה כלי אשר באמצעותו ניתן להבין את המתרחש ביקום.

הכללים הגאומטרים שגילו ביוון העתיקה השפיעו על תחומים אחרים, למשל על תחום ה[[קרטוגרפיה]] - גאומטריה היה הכלי המרכזי של היוונים במיפוי הקרקע והשטח. מדידה מדויקת של השטח שיחקה תפקיד מרכזי ביוון העתיקה, מחקלאות ועד לתכנון מבנים. המהנדסים היוונים השתמשו בגאומטריה כדי למדוד זוויות ושטחים.

גם ה[[אדריכל]]ים התבססו על הגאומטריה היוונית במקצועם. היוונים היו ידועים בהישגיהם הארכיטקטים שהיה בהם שימוש נרחב בגאומטריה. מבנה ה[[פרתנון]] התבסס על יחס גאומטרי - [[יחס הזהב]].

בנוסף לכך, הגאומטריה שיחקה תפקיד מרכזי גם בתחום ה[[אסטרונומיה]] וה[[קוסמולוגיה]]. אסטרונומים יוונים חקרו את תנועותיהם של [[גרם שמיים|גרמי השמיים]] ופיתחו תיאוריות על היקום. בעזרת הגאומטריה הם יכלו למפות את תנועת הכוכבים ולחזות אירועים אסטרונומים. כך למשל תאלס חזה את [[ליקוי חמה|ליקוי החמה]] שהתרחש ב-585 לפנה"ס.

== הגאומטריה היוונית מול הגאומטריה המודרנית ==
הגאומטריה שנמצאת בשימוש כיום התפתחה באופן משמעותי ביחס לגאומטריה היוונית, הן בהיקף המושגים, והן בתיאוריות החדשות שפותחו. ביוון העתיקה הגאומטריה המרכזית הייתה ה[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה האוקלידית]], אולם במאה ה-19 התפתח תחום ה[[גאומטריה לא-אוקלידית|גאומטריה הלא-אוקלידית]] אשר מאתגר את [[אקסיומת המקבילים]] שעליה מתבססת הגאומטריה האוקלידית. עקב כך התפתחו מערכות גאומטריות חדשות כמו [[גאומטריה היפרבולית]] ו[[גאומטריה אליפטית]].

נוסף על כך, ביוון העתיקה, תחום האלגברה הגאומטרית שעוסק בהסקת [[זהות (מתמטיקה)|זהויות אלגבריות]] בעזרת הגאומטריה, נעשה רק באמצעים גאומטרים. לעומת זאת, במתמטיקה המודרנית הוטמעו טכניקות ורעיונות אלגברים אשר מאפשרים לחקור גאומטריה באמצעים אלגברים, למשל על ידי הגדרת [[פולינום|פולינומים]] ו[[שורש של מספר|שורשיהם]].

כמו כן, כיום ישנם נושאים גאומטרים רבים אשר לא היו קיימים ביוון העתיקה כמו [[טופולוגיה]], [[גאומטריה חישובית]], [[גאומטריה דיפרנציאלית]] ועוד.

== ראו גם ==
* [[מתמטיקה ביוון העתיקה]]
* [[אאודוקסוס מקנידוס]]
* [[היסטוריה של המתמטיקה]]
* [[הספר השני של יסודות]]
== לקריאה נוספת ==
<div dir="ltr">
* [[:en:Victor_J._Katz|Victor J. Katz]] '''''A history of mathematics: an introduction, Third Edition'''''. University of the District of Columbia 2009
* [[תומאס הית'|Thomas L. Heath]], '''The Thirteen Books of the Elements, Vol. 1: Books 1-2 2nd ed. Edition''', Dover publications inc. New York, 1956
* [[:hu:Szabó_Árpád_(klasszika-filológus)|Szabó, Árpád.]] 1969. '''The beginnings of Greek mathematics''', Synthese historical library 17, Reidel, 1978
* [[ליאו קורי|Leo Corry.]] '''A Brief History of Numbers Oxford''' University Press; Illustrated edition 2015
</div>

== קישורים חיצוניים ==
* [https://www.leocorry.com/_files/ugd/e6fef7_95c52da5b449478ebc603e723530b126.pdf הספר השני של האלמנטים של אוקלידס גרסה עברית מלאה, בתוספת הערות והסברים]
* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLEMOEwdRMCanWqv6ZSubLaiUlfZKr9ucc תולדות המתמטיקה: מיוון העתיקה ועד אוילר], באתר [[Youtube|YouTube]].
* [https://www.britannica.com/biography/Pythagoras פיתגורס], באתר [[אנציקלופדיה בריטניקה]] (באנגלית).
* [https://www.britannica.com/biography/Euclid-Greek-mathematician אוקלידס], באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
* [https://www.britannica.com/biography/Thales-of-Miletus תאלס], באתר [[אנציקלופדיה בריטניקה]] (באנגלית)
* [https://www.britannica.com/biography/Pythagoras אפולוניוס], באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
* [https://www.britannica.com/biography/Archimedes ארכימדס], באתר [[אנציקלופדיה בריטניקה]] (באנגלית)
* [https://www.britannica.com/biography/Eudoxus-of-Cnidus אאודוקסוס], באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}
[[קטגוריה:גאומטריה אוקלידית]]
[[קטגוריה:היסטוריה של המדע]]
[[קטגוריה:היסטוריה של המתמטיקה]]
[[קטגוריה:ויקיפדיה: ערכים של משתמשים חדשים|2023 05]]
[[קטגוריה:יוון העתיקה: מדע ומתמטיקה]]