הצגת המקור של הדף "גאומטריה דיפרנציאלית"

'''גאומטריה דיפרנציאלית''' היא ענף [[מתמטיקה|מתמטי]] העושה שימוש בכלים של [[חשבון אינפיניטסימלי|החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] כדי לבחון בעיות [[גאומטריה|בגאומטריה]]. הענף פותח לראשונה במאות [[המאה ה-18|ה-18]] [[המאה ה-19|וה-19]] על בסיס התאוריה של [[עקומה|עקומות]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] ובמרחב והתאוריה של [[משטח (טופולוגיה)|משטחים]] ב[[מרחב אוקלידי|מרחבים אוקלידים]] תלת-ממדיים. מאז סוף המאה ה-19 גאומטריה דיפרנציאלית עוסקת בעיקר במבנים גאומטריים על [[יריעה חלקה|יריעות דיפרנציאליות]]. הגאומטריה הדיפרנציאלית קשורה במובנים רבים לענף [[טופולוגיה דיפרנציאלית]] ולהיבטים הגאומטריים של תורת [[משוואות דיפרנציאליות|המשוואות הדיפרנציאליות]]. [[גריגורי פרלמן]], שהשתמש ב[[זרימת ריצ'י]] כדי להוכיח את [[השערת פואנקרה]], סיפק דוגמה אקטואלית לכוחה של הגאומטריה הדיפרנציאלית בפתירת שאלות ב[[טופולוגיה]] והדגים את חשיבותן של השיטות האנלטיות.

==ענפים בגאומטריה דיפרנציאלית==
===גאומטריה רימאנית===
[[גאומטריה רימאנית]] עוסקת ב[[יריעה רימאנית|יריעות רימאניות]], שהן [[יריעה חלקה|יריעות חלקות]] עם [[מטריקה רימאנית]] — מושג המבטא מרחק באמצעות התאמה המתאימה לכל נקודה ביריעה, [[תבנית ביליניארית]] [[תבנית ביליניארית#סוגי תבניות ביליניאריות|סימטרית]] וחיובית לחלוטין על [[המרחב המשיק]]. גאומטריה רימאנית מכלילה את ה[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה האוקלידית]] למרחבים שאינם בהכרח שטוחים, אך עדיין דומים למרחב האוקלידי בכל נקודה באופן "אינפיניטסימלי", כלומר, בדרגה הראשונה של קירוב. להרבה מושגים המבוססים על [[אורך]], כגון אורך הקשת של עקומה, ה[[שטח]] של תחום במישור וה[[נפח]] של גופים, יש מושגים מקבילים בגאומטריה רימאנית. גם לרעיון של [[נגזרת כיוונית]] של [[פונקציה]] מרובת משתנים יש מקבילה בגאומטריה הרימאנית — [[נגזרת קו-וריאנטית]] של [[טנזור]]. באופן כללי, טכניקות ורעיונות רבים מתחומי ה[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] והמשוואות הדיפרנציאליות הוכללו ליריעות רימאניות בהצלחה מרובה.

[[דיפאומורפיזם]] משמר מרחק בין יריעות רימאניות מכונה [[איזומטריה]]. מושג זה ניתן להגדיר גם באופן מקומי, כלומר עבור [[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]] של נקודות. כל שתי עקומות רגילות הן איזומטריות זו לזו. אך עבור משטחים, לקיום איזומטריה מקומית כבר נדרשים כמה תנאים חזקים על ה[[מטריקה|מטריקות]] שלהם, כפי שהוכיח [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]] ב[[Theorema Egregium]] שלו: [[עקמומיות גאוס]] של הנקודות המתאימות חייבת להיות זהה. בממדים גבוהים יותר, [[גודל אינווריאנטי]] חשוב הקשור ליריעות רימאניות הוא [[טנזור העקמומיות]] של רימן המודד עד-כמה היריעה קרובה ללהיות שטוחה. מחלקה חשובה של יריעות רימאניות הן [[מרחב סימטרי|המרחבים הרימאניים הסימטריים]], ולהם עקמומיות קבועה. הם הדבר הקרוב ביותר למישור ולמרחב ה"רגילים", בהם עוסקות הן [[גאומטריה אוקלידית|הגאומטריה האוקלידית]] והן [[גאומטריה לא-אוקלידית|הגאומטריה הלא-אוקלידית]].

===גאומטריה פסאודו-רימאנית===
[[גאומטריה פסאודו-רימאנית]] מהווה הכללה של [[גאומטריה רימאנית|הגאומטריה הרימאנית]] למקרה בו [[מטריקה#הטנזור המטרי|הטנזור המטרי]] אינו בהכרח חיובי לחלוטין. [[מקרה פרטי]] הוא היריעה הלורנציאנית, המהווה את הבסיס המתמטי ל[[תורת היחסות הכללית]].

===גאומטריית פינסלר===
[[גאומטרית פינסלר]] היא הענף המתמטי העוסק בחקר יריעת פינסלר — [[יריעה חלקה|יריעה דיפרנציאלית]] עם מטריקת פינסלר, כלומר, [[פונקציה חלקה]] המתאימה לכל נקודה ביריעה [[נורמה (אנליזה)|נורמה]] על המרחב המשיק. מטריקת פינסלר היא מבנה הרבה יותר כללי [[מטריקה רימאנית|ממטריקה רימאנית]]. מבנה פינסלר על יריעה <math> M </math> הוא פונקציה <math> F:\mbox{T}M \to [0, \infty)</math> המקיימת:
#לכל <math> \ x, y </math> ב-<math> \ \mbox{T}M</math> ומספר ממשי <math>\ m </math>: <math> \ F(x, my) = |m|F(x, y)</math>.
# <math> \ F </math> גזירה [[אינסוף]] פעמים ב-<math> \ \mbox{T}M-\{0\}</math>.
# ה[[הסיאן]] של <math>F^2</math> הוא [[מטריצה חיובית|מטריצה חיובית לחלוטין]].

===גאומטריה סימפלקטית===
גאומטריה סימפלקטית היא הענף המתמטי העוסק בחקר [[יריעה סימפלקטית|יריעות סימפלקטיות]]. '''יריעה כמעט-סימפלקטית''' היא יריעה דיפרנציאלית עם התאמה חלקה של [[תבנית ביליניארית]] [[תבנית ביליניארית#סוגי תבניות ביליניאריות|אנטי-סימטרית]] ולא-מנוונת המוגדרת על כל [[המרחב המשיק|מרחב משיק]]; כלומר, דו-תבנית ([[תבנית דיפרנציאלית]] מדרגה 2) לא-מנוונת, <math>\omega</math>, המכונה ה''תבנית'' ה''סימפלקטית''. יריעה סימפלקטית היא יריעה כמעט-סימפלקטית עבורה התבנית הסימפלקטית <math>\,\omega</math> היא תבנית סגורה: <math>\,d\omega = 0</math>.

[[דיפאומורפיזם]] בין שתי יריעות סימפלקטיות המשמר את התבנית הסימפלקטית מכונה [[סימפלקטומורפיזם]]. מכיוון שתבנית ביליניארית אנטי-סימטרית ולא-מנוונת יכולה להתקיים רק על [[מרחב וקטורי]] מממד זוגי, ליריעות סימפלקטיות בהכרח יש ממד זוגי. בשני ממדים, יריעה סימפלקטית היא פשוט [[משטח (טופולוגיה)|משטח]] עם אלמנט [[שטח]], וסימפלקטומורפיזם הוא דיפאומורפיזם משמר שטח. [[מרחב מופע|מרחב המופע]] של מערכת מכנית הוא יריעה סימפלקטית והן הופיעו באופן סמוי עוד בעבודתו של [[ז'וזף לואי לגראנז'|לגרנז']] על [[מכניקה אנליטית]], ומאוחר יותר בניסוח של [[קרל גוסטב יעקב יעקובי|יעקבי]] ו[[ויליאם רואן המילטון|המילטון]] ל[[מכניקה קלאסית|מכניקה הקלאסית]] — [[מכניקה המילטונית|המכניקה ההמילטונית]].

בניגוד לגאומטריה רימאנית, שם ה[[עקמומיות]] מהווה אינווריאנט מקומי של יריעות רימאניות, [[משפט דארבו (גאומטריה דיפרנציאלית)|משפט דארבּוּ]] מוכיח כי כל היריעות הסימפלקטיות הן [[איזומורפיזם|איזומורפיות]] מקומית. אם-כן, האינווריאנטים היחידים של יריעות סימפלקטיות הם גלובליים, וטופולוגיה ותכונות טופולוגיות משחקות תפקיד חשוב בגאומטריה סימפלקטית. התוצאה המתמטית הראשונה שאפשר לייחס לגאומטריה סימפלקטית היא ככל-הנראה [[משפט פואנקרה-בירקהוף]], שהתחיל למעשה כהשערה של [[אנרי פואנקרה|פואנקרה]] והוכח ב-[[1912]] על ידי [[ג'ורג' דויד בירקהוף|בירקהוף]]. באופן פשטני, המשפט קובע שאם מיפוי משמר שטח של [[טבעת (גאומטריה)|טבעת]] לעצמה, מעביר נקודות בגבול הפנימי של הטבעת ונקודות בגבול החיצוני של הטבעת לכיוונים נגדיים, אז קיימות לפחות שתי [[נקודת שבת|נקודות שבת]].

===גאומטריית מגע===
[[גאומטריית מגע]] עוסקת ביריעות מסוימות מדרגה אי-זוגית. במובנים רבים, היא משלימה את הגאומטריה הסימפלקטית וכמוה, גאומטריית המגע התפתחה בעקבות שאלות ב[[מכניקה קלאסית]].

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Differential_geometry}}
* {{בריטניקה}}
* {{MathWorld}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007565328605171|גאומטריה דיפרנציאלית}}
{{טופולוגיה גאומטרית}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית|*]]
[[קטגוריה:גאומטריה]]