הצגת המקור של הדף "גורם מבנה"

ב[[פיזיקה של חומר מעובה]] ו[[קריסטלוגרפיה]], '''גורם המבנה''' הוא תיאור מתמטי של תבנית הפיזור המתקבלת כתוצאה מניסוי פיזור, המתבצע בעזרת [[קרינת רנטגן]], [[אלקטרונים]] או [[נייטרונים]], על חומר מסוים. גורם המבנה הוא למעשה הגודל בריבוע של סכום [[משרעת|אמפליטודות]] הגלים המפוזרים על ידי מרכיבי החומר ([[אטום|אטומים]] או אלקטרונים). גורם המבנה מעיד על קורלציות בין המיקום הממוצע של חלקיקי המערכת, וממנו ניתן ללמוד, בין השאר על מבנים ודינמיקה של חומרים פשוטים כמו מוצקים{{הערה|שם=מוצקים|C.N.J Wagner, [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022309378900972 Direct methods for the determination of atomic-scale structure of amorphous solids (X-ray, electron, and neutron scattering)], Journal of Non Crystalline Solids}} ונוזלים{{הערה|שם=ארגון נוזלי|J. L. Yarnell, M. J. Katz, R. G. Wenzel, and S. H. Koenig, [http://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.7.2130 Structure Factor and Radial Distribution Function for Liquid Argon at 85 °K], Physical Review Letters A}}{{הערה|שם=נתרן ואשלגן נוזליים|A. J. Greenfield, J. Wellendorf, and Nathan Wiser, [http://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.4.1607 X-Ray Determination of the Static Structure Factor of Liquid Na and K], Physical Review A}}, וגם חומרים מורכבים כמו [[ממברנה ביולוגית|ממברנות]]{{הערה|שם=ממברנות|A. G. Zilman and R. Granek, [http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.77.4788 Undulations and Dynamic Structure Factor of Membranes], Physical Review Letters}} ו[[ספין (פיזיקה)|ספינ]]ים{{הערה|שם=גז עם ספין|G. Ortiz and P. Ballone, [http://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.50.1391 Correlation energy, structure factor, radial distribution function, and momentum distribution of the spin-polarized uniform electron gas], Physical Review B}}.

== פיתוח מתמטי ==
תהא <math>\Phi (r)</math> פונקציה סקלרית המתארת את [[התפלגות]] החומר במרחב. עבור <math>N</math> יחידות בסיס נוכל להגדיר:
<math display="block">\Phi (r) = \sum\limits_{i=1}^N f(\textbf{r} - \textbf{R} _i )=f(\textbf{r})*\sum\limits_{i=1}^N \delta(\textbf{r} - \textbf{R}_i ) </math>
אמפליטודת הפיזור, <math>I(\textbf{q})</math>, תוגדר כריבוע של [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]] של [[טרנספורם פורייה]] של <math>\Phi(\textbf{r})</math>. כלומר:
<math display="block"><I(\textbf{q})> \thicksim <|\Phi(\textbf{q})|^2 >= |f(\textbf{q})|^2 < \sum\limits_{j,k=1}^N exp(-i\textbf{q} \cdot (\textbf{R}_i - \textbf{R}_j))></math>
נגדיר את גורם המבנה כ: 
<math display="block">S(\textbf{q})=< \sum\limits_{j,k=1}^N exp(-i\textbf{q} \cdot (\textbf{R}_i - \textbf{R}_j)) ></math>
כאשר <math><...></math> הוא הממוצע בזמן ו-<math>|f(\textbf{q})|^{2}</math> הוא גורם הצורה. 

== משמעות פיזיקלית ==
גורם המבנה הוא למעשה הגודל המוחלט בריבוע של סכום ה[[משרעת|אמפליטודות]] המתקבל מ-<math>N</math> גלים כתוצאה מפגיעה של [[גל מישורי]] ב-<math>N</math> מפזרים נקודתיים. גורם המבנה פרופורציונלי לעצמת הקרינה המפוזרת. 
[[קובץ:פיזור גל מ2 אטומים.jpg|ממוזער|374x374px|גל מישורי המתפזר מ-2 מפזרים נקודתיים. ניתן לראות שהפרש הפאזה בין 2 הגלים המפוזרים הוא למעשה מכפלה סקאלרית של וקטור המרחק ביניהם לבין וקטור השינוי בתנע של הגל.]] 

את גורם המבנה ניתן למצוא ניסיונית על ידי מדידת [[זווית]] הפיזור בניסויי פיזור של אלקטרונים וקרני רנטגן, כאשר <math>\textbf{q}=\textbf{k}_f-\textbf{k}_i=\frac{4 \pi sin(\frac{\theta}{2})}{\lambda} \hat{q}</math> הוא וקטור השינוי ב[[תנע]] של ה[[פוטון]], ה[[אלקטרון]] או ה[[נייטרון]].

ככל שקיימת קורלציה חזקה יותר במרחק המפריד בין מרכיבי המערכת, כלומר יש [[הסתברות]] גדולה למצוא ערך מסוים עבור <math>\textbf{R}_{ij}=\textbf{R}_j - \textbf{R}_i</math>, נקבל [[התאבכות בונה]] ב-<math>S(\textbf{q})</math> עבור הערך <math>\textbf{q}=\frac{2\pi n}{R_{ij}} \hat{R_{ij}}</math>, וכך ניתן להסיק על המבנה של אותו חומר.
ב  

ניסוי של פיזור נייטרונים ניתן להסיק על [[יחס נפיצה|יחס הנפיצה]] של הסריג, וזאת על ידי קבלה של פונקציות דלתא נוספות המתווספות לסריג ההופכי המתקבל מניסוי הפיזור. ניסויים מסוג זה אינם אפשריים בפיזור אלקטרונים וקרינת רנטגן, וזאת מכיוון שנייטרונים מבצעים אינטראקציה כמעט ורק עם [[גרעין האטום]] (ובכך יכולים לעורר פונונים) לעומת האלקטרונים וקרינת הרנטגן שמבצעים אינטראקציה כמעט ורק עם האלקטרונים של האטום.  

במקרה זה יתקבל הביטוי הבא עבור פונקציית המבנה הדינאמית:
<math display="block">S(\textbf{q}, \omega)= \frac{1}{N} \sum_{l,l'} e^{i \textbf{q} \cdot (\textbf{R}^{l} - \textbf{R}^{l'})} \int \frac{dt}{2\pi} e^{i\omega t} e^{-2W} e^{<\textbf{q} \cdot \textbf{u}^{l'}(t) \textbf{q} \cdot \textbf{u}^{l}(t)>} </math>
כאשר <math>\textbf{u}^{l}(t)</math> היא הסטייה של אטום <math>l'</math> משיווי משקל בזמן <math>t</math> ו-<math>W \equiv \frac{1}{2} <(\textbf{q} \cdot \textbf{u}^{l})^{2}></math> הוא הפאקטור של דבאי וולר. פיתוח של הביטוי מוביל למסקנה שהשיאים הנוספים של הפיזור המתקבלים כתוצאה מבליעה ופליטה של [[פונון|פונונים]] הם פרופורציונליים ל- <math>e^{-2W}</math>{{הערה|שם=פקטור דבאי-וולר|Michael P. Marder, '''Condensed Matter Physics''', John Wiley & Sons, Inc., 2000, פרק 13, עמ' 336-335.}}. את [[יחס נפיצה|יחס הנפיצה]] ניתן להסיק מחוק שימור הקוואזי תנע של הסריג ומההנחה שהתנגשות נייטרונים באטומים היא אלסטית ([[חוק שימור האנרגיה]]). חוקי שימור אלה, עבור בליעה\פליטה של פונון בודד, מובילים לזוג המשוואות הבאות:
<math display="block">\Delta \textbf{P} = \hbar \textbf{q} + \hbar \textbf{G}</math>
<math display="block">\Delta E = \hbar \omega_{s}(\textbf{q})</math>
כאשר <math>\Delta \textbf{P}</math> הוא השינוי בתנע ה[[נייטרון]], <math>\Delta E</math> היא השינוי באנרגיית ה[[נייטרון]], <math>\textbf{G}</math> הוא וקטור בסריג ההופכי, ו-<math>\omega_{s}(\textbf{q})</math> היא התדירות המתאימה לפונון בעל אורך גל <math>\textbf{q}</math>.

גורם הצורה, שקשר אף הוא לתבנית הפיזור שמתקבלת, מעיד על קורלציות בתוך המפזרים הנקודתיים של גורם הצורה. לדוגמה: התפלגות האלקטרונים באטום בודד או מיקומי [[מונומר]]ים של [[פולימר]]. עבור התפלגות האלקטרונים, גורם הצורה יהיה:
<math display="block">|f(\textbf{q})|^{2}=|\int \rho(\textbf{r}) e^{i\textbf{q}\cdot \textbf{r}} dV|^{2}</math>
כאשר <math>\rho(\textbf{r})</math> היא ההסתברות למצוא את האלקטרון במקום <math>\textbf{r}</math>.

[[קובץ:גורם מבנה.jpg|ממוזער|גורם מבנה (מנורמל) עבור מערכת חד-ממדית הבנויה עשרה חלקיקים. מלמעלה למטה: בכחול, חלקיקים המפוזרים באופן אקראי, בדומה ל[[גז אידיאלי]]. באדום, חלקיקים אשר המרחק בין שני שכנים קרובים הוא קבוע, בדומה ל[[גביש]] מושלם. בשחור, חלקיקים אשר המרחק בין שכנים קרובים משתנה מעט בצורה אקראית, בדומה לגביש לא-מושלם. ניתן להבחין שעבור וקטורי גל קצרים מתקבלת תוצאה הדומה לסריג מושלם. לעומת זאת, עבור וקטורי הגל הארוכים הקורלציה אובדת.|497x497px]]

=== גביש מושלם ===
עבור [[גביש]] מושלם אינסופי ([[סריג בראבה]]) שבו המיקום של כל אטום מתואר על ידי הווקטור <math>\textbf{R}=n\hat{a_{1}} + m\hat{a_{2}} + l\hat{a_{3}}</math>, כאשר <math>n, l, m \in \mathbb{Z}</math> יש קורלציה חזקה מאוד בין מיקום האטומים בגביש, ותתקבל התאבכות בונה אך ורק עבור וקטורי <math>\textbf{q}</math> אשר שייכים ל[[סריג הופכי|סריג ההופכי]], ונקבל שפונקציית המבנה מתארת למעשה את ההתפלגות המרחבית של הסריג ההופכי.
במקרה החד-ממדי שבו מספר סופי של אטומים <math>N</math>, במקום פונקציות דלתא גורם המבנה שיתקבל יהיה:
<math display="block">S(q)= \frac{1}{N} | \frac{sin \frac{Nqa}{2}}{sin \frac{qa}{2}}|^{2}</math>

==== דוגמה: סריג קובי ====
עבור סריג בראבה קובי בעל וקטורי הבסיס <math>\vec{a_{1}}=a\hat{x}, \vec{a_{1}}=a\hat{y}, \vec{a_{1}}=a\hat{z}</math>, גורם המבנה יתאפס לכל <math>q \neq \frac{2 \pi n}{a}</math> בכיוון וגורם המבנה שיתקבל הוא:
<math display="block">S(\textbf{q})=\sum_{i} \sum_{j} \sum_{k} \delta(\textbf{q} - \frac{2 \pi}{a} (n \hat{x} + j \hat{y} + k \hat{k}))</math>
כאשר <math>i, j, k \in \mathbb{Z}</math>. זוהי למעשה פונקציית ההתפלגות המתארת את [[סריג הופכי|הסריג ההופכי]] של הסריג הקובי הפשוט.

=== נוזל ===
[[קובץ:המחשה של פונקציית התפלגות רדיאלית.jpg|שמאל|ממוזער|פונקציית התפלגות רדיאלית האופיינית לנוזל במודל אינטראקציית Hardcore. השיא הראשון של הפונקציה הוא השיא המתאים למרחק של 2 כפול רדיוס הכדור.|578x578px]][[קובץ:HS structure factor PY.svg|ממוזער|178x178px|גורם המבנה במודל Hardcore-Interaction, עבור הריכוזים 1-40%.]]במקרה של [[נוזל]] לא מסודר נעשה שימוש בפונקציית ההתפלגות הרדיאלית, <math>g(r)</math>, אשר מתארת את הסיכוי למצוא [[חלקיק]] בספירה דקה בעלת רדיוס <math>r</math> ועובי <math>dr</math>. את פונקציית המבנה ניתן לרשום כך:<math display="block">S(\textbf{q}) \approx 1 + n\int_{V} dr e^{-i\textbf{q} \cdot \textbf{r}} [g(\textbf{r})-1]</math>
המספר הממוצע של השכנים הקרובים יכול להיות מוערך על ידי ביצוע אינטגרציה את השיא הראשון של פונקציית ההתפלגות הרדיאלית:
<math display="block">z_{average} = n \int_{0}^{1st \ peak} 4 \pi r^{2} g(r) dr</math>

===== מודל אינטראקציה קשיחה (Hardcore Interaction) =====
דרך פשוטה לתאר נוזל היא על ידי אינטראקציה קשיחה. במודל זה פוטנציאל האינטראקציה הוא:
<math display="block">V(r) = \begin{cases} +\infty, & 0 \le r \le \sigma \\ 0, & \sigma \le r \end{cases}</math>
כאשר <math>\sigma</math> נלקחת לרוב כ-2 רדיוסי הכדור הקשיח, <math>\sigma=2R</math> (כלומר: המרחק המינימלי בין 2 מרכזי מסה של שני חלקיקים הוא [[קוטר]] חלקיק). בעזרת פוטנציאל זה ניתן לחשב פונקציית ההתפלגות הרדיאלית על ידי [[שיטת מונטה קרלו]] או על ידי הקירוב האנליטי של Percus-Yevick{{הערה|שם=קירוב פרקוס-יביק|Jerome K. Percus and George J. Yevick, [http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.110.1 Analysis of Classical Statistical Mechanics by Means of Collective Coordinates], APS Journals}} למשוואת Ornstein–Zernike{{הערה|שם=משוואת אורנשטיין-זרניקה|[http://www.phys.ufl.edu/~coldwell/Fourier/OZeqn.htm הסבר על משוואת אורנשטיין-זרניקה], באתר של מהמחלקה לפיזיקה של אוניברסיטת פלורידה}}.

=== גז אידיאלי ===
ב[[גז אידיאלי]], מכיוון שמדובר בחלקיקים נקודתיים ללא אינטראקציה, אין קורלציה בין מיקומי החלקיקים השונים, והמשתנים <math>\textbf{R}_{i}</math> ו-<math>\textbf{R}_{j}</math> הם בלתי תלויים. בזכות זאת, נוכל להפריד את הסכום על האקספוננטים בצורה הבאה:
<center><math>S(\textbf{q})= <\sum\limits_{i,j}^{N}exp(-i\textbf{q}\cdot(\textbf{R}_{i}-\textbf{R}_{j})>=<\sum\limits_{i=1}^N exp(-i\textbf{q}\cdot\textbf{R}_{i}))(\sum\limits_{j=1}^N exp(-i\textbf{q}\cdot\textbf{R}_{j})>=<\sum\limits_{i=1}^N exp(-i\textbf{q}\cdot\textbf{R}_{i}><\sum\limits_{j=1}^N exp(-i\textbf{q}\cdot\textbf{R}_{j})>=0</math></center>כל עוד <math>\textbf{q} \ne 0</math>.

== שימושים ==
גורם המבנה משמש ללמידה על הסטטיסטיקה של המבנה המיקרוסקופי של חומרים כגון מוצקים, נוזלים וגזים - אך גם של מבנים יותר מסובכים כגון ממברנות, פולימרים, ספינים ועוד. במקרה של פיזור נייטרונים ניתן ללמוד גם על הדינמיקה של המבנה, כגון יחס הנפיצה של פונונים בענפים שונים בסריג, שבאה לידי ביטוי בתוספת של שיאים חדשים שאינם נמצאים בסריג ההופכי. קבלת מידע על הדינמיקה של הסריג, כמו [[יחס נפיצה]] של [[פונון|פונונים]] עבור צירים שונים של הגביש, אפשרית על ידי בחינת השינוי באנרגיה של נייטרונים מפוזרים כתוצאה מפליטת\בליעת פונונים.

==לקריאה נוספת==
* Michael P. Marder, '''Condensed Matter Physics''', John Wiley & Sons, inc., 2000
* 2000 ,Ashcroft\Mermin, '''Solid State Physics''', Saunders College Publishing

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}



{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:פיזיקה של חומר מעובה]]
[[קטגוריה:קריסטלוגרפיה]]