הצגת המקור של הדף "גז אולטרה-יחסותי"

'''גז אולטרה-יחסותי''' (ב[[אנגלית]]: '''Ultra-relativistic Gas''') הוא גז המורכב מחלקיקים בגבול האולטרה-יחסותי.

באופן כללי, אנרגיה של חלקיק [[תורת היחסות הפרטית|יחסותי]] נתונה על ידי הקשר:

<math>\varepsilon^2=(pc)^2+(m_0 c^2)^2</math>

כאשר <math>p</math> הוא התנע של החלקיק, <math>m_0</math> [[מסת מנוחה|מסת המנוחה]] שלו, ו-<math>c</math> מהירות האור. חלקיק אולטרה-יחסותי הוא חלקיק שמקיים <math>pc>>m_0c^2</math>, ועל כן האנרגיה שלו היא:

<math>\varepsilon \approx pc=\hbar kc</math>

כאשר <math>\hbar</math> הוא [[קבוע פלאנק המצומצם]].

== משתנים תרמודינמיים ==
נתבונן בגז אולטרה-יחסותי בעל <math>N</math> חלקיקים בנפח <math>V</math>, המצומד למאגר חום בטמפרטורה <math>\tau</math> (כאשר <math>\tau = k_BT</math>, ו-<math>k_B</math> הוא [[קבוע בולצמן]]). מספר המצבים הנמצאים בטווח האנרגיות <math>d\varepsilon</math> הוא <math>g(\varepsilon)d\varepsilon</math>, כאשר <math>g(\varepsilon)</math> [[צפיפות המצבים]] ליחידת אנרגיה. עבור הגז האולטרה יחסותי צפיפות המצבים היא:

<math>g(\varepsilon)=\frac{V}{2\pi^2 (\hbar c)^3 } \varepsilon^2</math>

מכאן ניתן למצוא את [[פונקציית חלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה]] הקנונית של חלקיק בודד:

<math>Z_{single}=\int_{0}^{\infty}{g\left(\varepsilon\right) e^{-\beta\varepsilon}d\varepsilon}=\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\varepsilon^2 e^{-\beta\varepsilon}d\varepsilon}=\frac{V}{\pi^2\left(\hbar c\beta\right)^3}</math>

כאשר <math>\beta=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{k_BT}</math>.

פונקציית החלוקה הקנונית הכוללת היא:

<math>Z=\frac{\left(Z_{single}\right)^N}{N!}=\frac{\left[\frac{V}{\pi^2\left(\hbar c\beta\right)^3}\right]^N}{N!}</math>

מכאן ניתן לגזור את המשתנים התרמודינמיים של המערכת:

'''האנרגיה הפנימית:''' <math>U=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln{\left(Z\right)}=\frac{3N}{\beta}=3N\tau</math>

'''[[אנרגיה חופשית של הלמהולץ|האנרגיה החופשית של הלמהולץ]]:''' <math>F=-\frac{1}{\beta}\ln{\left(Z\right)}=-N\tau\ln{\left[\frac{V\tau^3}{\pi^2\left(\hbar c\right)^3}\right]}+\tau ln{\left(N!\right)}\cong N\tau\left\{\ln{\left[\frac{N\pi^2\left(\hbar c\right)^3}{V\tau^3}\right]}-1\right\}</math>

כאשר בשוויון האחרון נעשה שימוש [[נוסחת סטירלינג|בקירוב סטירלינג]].

'''ה[[אנטרופיה]]:''' <math>\sigma=-\left(\frac{\partial F}{\partial\tau}\right)_{V,N}=N\left\{\ln{\left[\frac{V\tau^3}{{N\pi}^2\left(\hbar c\right)^3}\right]}+4\right\}</math>

'''ה[[לחץ]]:''' <math>p=-\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{\tau,N}=\frac{N\tau}{V}</math>

ניתן לשים לב שמתקיים:

<math>\frac{p}{u}=\frac{1}{3}</math>

(כאשר <math>u=\frac{U}{V}</math>)

== אפקטים קוונטיים בגז ==
בסעיפים הבאים יידונו מערכות של [[בוזון|בוזונים]] או [[פרמיון|פרמיונים]] בגבול האולטרה-יחסותי. במקרים אלו, ניתן למצוא את הגדלים התרמודינמיים של הגז על ידי שימוש ב[[התפלגות בוז-איינשטיין]] או [[התפלגות פרמי-דיראק|פרמי-דיראק]] בהתאמה. צפיפות המצבים היא כמו זו שחושבה קודם לכן, ו-<math>g_s</math> הוא ניוון ה[[ספין (פיזיקה)|ספין]], שתלוי בסוג החלקיק היחסותי. הוא שווה ל-2 עבור [[אלקטרון|אלקטרונים]], [[פוזיטרון|פוזיטרונים]], [[נייטרינו|ניוטרינו]] ו[[אנטינייטרינו|אנטי-ניוטרינו]], ול-3 עבור [[פוטון|פוטונים]] (בהנחה שכל מצבי הספין אפשריים) .

לצורך חישוב המשתנים התרמודינמיים, יעשה שימוש בתוצאה:

<math>\int_{0}^{\infty}{\frac{x^{n-1}}{{z^{-1}e}^x\pm1}dx}=\mp\ \Gamma\left(n\right)Li_n(\mp z)</math>

כאשר <math>\Gamma(z)</math> היא [[פונקציית גמא]], <math>Li_n(z)</math> הוא פונקציית ה[[פולילוגריתם]], ו- <math>z\equiv e^{\mu/\tau}</math>.

== גז פרמיונים אולטרה-יחסותי ==
=== בגבול <math>T\rightarrow0</math> (גז פרמיונים מנוון) ===
בגבול זה, כל מצבי האנרגיה עד לאנרגיה מסוימת, שהיא [[אנרגיית פרמי]] (<math>\varepsilon_F</math>) יאוכלסו, וכל המצבים באנרגיה גבוהה יותר לא יאוכלסו. לכן ניתן לכתוב:

<math>N=\int_{0}^{\varepsilon_F}g\left(\varepsilon\right)d\varepsilon</math>

כאשר <math>g(\varepsilon)</math> היא פונקציית צפיפות המצבים. לפני הצבת פונקציה ספציפית, ניתן להשתמש בעובדה ש- <math>g\left(\varepsilon\right)=\frac{g_sV}{{2\pi^2\hbar}^3}p^2\frac{dp}{d\varepsilon}</math>. לכן:

<math>N=\frac{g_sV}{2\pi^2\hbar^3}\int_{0}^{p_F}{p^2dp}=\frac{g_sV}{6\pi^2\hbar^3}p_F^3\ \Longrightarrow p_F=\left(\frac{6\pi^2N}{g_sV}\right)^\frac{1}{3}\hbar</math>

כאשר תנע פרמי <math>p_F</math> הוא התנע החד חלקיקי המתאים לאנרגיה <math>\varepsilon_F</math>. עבור גז אולטרה-יחסותי מתקיים:

<math>\varepsilon_F=p_Fc=\left(\frac{6\pi^2N}{g_sV}\right)^\frac{1}{3}\hbar c</math>

ניתן להביע גם את האנרגיה והלחץ במונחי אנרגיית פרמי:

<math>U=\int_{0}^{\varepsilon_F}\varepsilon g\left(\varepsilon\right)d\varepsilon=\frac{g_sVc}{2\pi^2\hbar^3}\int_{0}^{p_F}{p^3dp}=\frac{g_sVc}{8\pi^2\hbar^3}p_F^4=\frac{3}{4}N\varepsilon_F</math>

<math>p=\frac{1}{3}\frac{U}{V}=\frac{1}{4}N\varepsilon_F</math>

=== בטמפרטורה כללית ===
'''האנרגיה הפנימית''' מתקבלת מסכימה של כל מצבי האנרגיה החד-חלקיקיים עבור תחום אנרגיות <math>d\varepsilon</math>, כל מצב מוכפל באכלוס הממוצע שלו (התפלגות פרמי-דיראק), ולאחר מכן באנרגיה שלו ולבסוף בניוון הספין המתאים.

הביטוי להתפלגות פרמי-דיראק הוא <math>f_{FD}\left(\varepsilon\right)=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/\tau}+1}=\frac{1}{{z^{-1}e}^{\varepsilon/\tau}+1}</math>

<math>U=\int_{0}^{\infty}{g_sg\left(\varepsilon\right)\varepsilon f_{FD}\left(\varepsilon\right)}d\varepsilon=\int_{0}^{\infty}{g_s\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\varepsilon^2\frac{\varepsilon}{z^{-1}e^{\varepsilon/\tau\ }+1}d\varepsilon}=\frac{g_sV\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x+1}dx}=-\frac{g_sV\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(4\right)Li_4\left(-z\right)=-\frac{3g_sV\tau^4}{\pi^2(\hbar{c)}^3}Li_4\left(-z\right)</math>

'''מספר החלקיקים''':

<math>N=\int_{0}^{\infty}{g_sg\left(\varepsilon\right)f_{FD}\left(\varepsilon\right)}d\varepsilon=\int_{0}^{\infty}{g_s\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\varepsilon^2\frac{1}{{z^{-1}e}^\frac{\varepsilon}{\tau}+1}d\varepsilon}=\frac{g_sV\tau^3}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^2}{{z^{-1}e}^x+1}dx}=-\frac{g_sV\tau^3}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(3\right)Li_3\left(-z\right)=-\frac{g_sV\tau^3}{\pi^2(\hbar{c)}^3}Li_3\left(-z\right)</math>

בנוסף, נשתמש בקשר עבור פרמיונים:

<math>\frac{pV}{\tau}=\ln{\mathcal{Q}}=\sum_{i}\ln{\left({1+e}^{-\varepsilon_i/\tau\ }\right)}</math>

(<math>\mathcal{Q}</math> היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)

לכן, מאותם שיקולים שנלקחו בחשבון בחישוב האנרגיה הפנימית, נקבל ביטוי ל'''לחץ''':

<math>p=\frac{\tau}{V}\int_{0}^{\infty}{g_s g\left(\varepsilon\right)\ln{\left({1+e}^{-\frac{\varepsilon}{\tau}}\right)}d\varepsilon}=\frac{g_s\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{x^2\ln{\left(1+e^{-x}\right)}dx}=\frac{g_s\tau^4}{6\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x+1}dx}=-\frac{g_s\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(4\right)Li_4\left(-z\right)=-\frac{g_s\tau^4}{\pi^2(\hbar{c)}^3} Li_4\left(-z\right)</math>

כמו כן, באמצעות שימוש במשוואת גיבס-דוהם <math>Nd\mu=-\sigma d\tau+Vdp</math>, ניתן לקבל את הקשר <math>\frac{\sigma}{V}=\left(\frac{\partial p}{\partial\tau}\right)_\mu</math>, כאשר <math>\sigma=\frac{S}{k_B}</math> היא ה'''אנטרופיה'''. מכאן:

<math>\sigma=V\left(\frac{\partial p}{\partial\tau}\right)_\mu=-\frac{4g_sV\tau^3}{\pi^2(\hbar{c)}^3} Li_4\left(-z\right)</math>

== גז בוזונים אולטרה-יחסותי ==
ל'''אנרגיה הפנימית''' ניתן להגיע מאותם שיקולים שנעשו עבור פרמיונים, אך כעת האכלוס הממוצע נתון על ידי התפלגות בוז-איינשטיין.

הביטוי להתפלגות בוז-איינשטיין הוא: <math>f_{BE}\left(\varepsilon\right)=\frac{1}{e^\frac{\varepsilon-\mu}{\tau}-1}=\frac{1}{{z^{-1}e}^{\varepsilon/\tau}-1}</math>

<math>U=\int_{0}^{\infty}{g_s g\left(\varepsilon\right)\varepsilon f_{BE}\left(\varepsilon\right)}d\varepsilon=\int_{0}^{\infty}{g_s\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\varepsilon^2\frac{\varepsilon}{{z^{-1}e}^{\varepsilon/\tau}-1}d\varepsilon}=\frac{g_sV\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x-1}dx}=\frac{g_sV\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(4\right)Li_4\left(z\right)=\frac{{3g}_sV\tau^4}{\pi^2(\hbar{c)}^3} Li_4\left(z\right)</math>
[[קובץ:גרף בוזונים ופרמיונים אולטרה יחסותיים.svg|ממוזער|400x400 פיקסלים|האנרגיה כתלות בטמפרטורה של גז בוזונים וגז פרמיונים, עבור המקרה של פוטנציאל כימי אפס]]

כאשר בוצעה החלפת משתנים <math>x=\frac{\varepsilon}{\tau}</math>. באותו אופן ניתן להגיע לביטוי עבור '''מספר החלקיקים''':

<math>N=\int_{0}^{\infty}{g_sg\left(\varepsilon\right)f_{BE}\left(\varepsilon\right)}d\varepsilon=\int_{0}^{\infty}{g_s\frac{V}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\varepsilon^2\frac{1}{{z^{-1}e}^\frac{\varepsilon}{\tau}-1}d\varepsilon}=</math>

<math>=\frac{g_sV\tau^3}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^2}{{z^{-1}e}^x-1}dx}=\frac{g_sV\tau^3}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(3\right)Li_3\left(z\right)=\frac{g_sV\tau^3}{\pi^2(\hbar{c)}^3}Li_3\left(z\right)</math>

נשתמש בקשר המקביל עבור בוזונים:

<math>\frac{pV}{\tau}=\ln{\mathcal{Q}}=-\sum_{i}\ln{\left({1-ze}^{-\varepsilon_i/\tau\ }\right)}</math>

(<math>\mathcal{Q}</math> היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)

כדי לקבל את '''הלחץ''':

<math>p=-\frac{\tau}{V}\int_{0}^{\infty}{g_sg\left(\varepsilon\right)\ln{\left({1-ze}^{-\frac{\varepsilon}{\tau}}\right)}d\varepsilon}=-\frac{g_s\tau^4}{2\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{x^2\ln{\left(1-{ze}^{-x}\right)}dx}=\frac{g_s\tau^4}{6\pi^2(\hbar{c)}^3}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x-1}dx}=\frac{g_s\tau^4}{6\pi^2(\hbar{c)}^3}\Gamma\left(4\right)Li_4\left(z\right)=\frac{g_s\tau^4}{\pi^2(\hbar{c)}^3}Li_4\left(z\right)</math>

וכפי שהוסבר לגבי פרמיונים, ממשוואת גיבס דוהם ניתן לקבל:

<math>\sigma=V\left(\frac{\partial p}{\partial\tau}\right)_\mu=\frac{4g_sV\tau^3}{\pi^2(\hbar{c)}^3}Li_4\left(z\right)</math>

== חשיבות המודל ==
=== התפשטות היקום המוקדם ===
למודל הגז היחסותי, וספציפית האולטרה-יחסותי, חשיבות בתיאור שלבים מוקדמים ב[[היווצרות היקום]], שכן ברגעים מוקדמים מסוימים ביקום, החלקיקים שנוצרו היו חלקיקים יחסותיים. בנוסף, בתנאים ששררו אז ניתן להניח <math>\mu=0</math>, וכן שהחלקיקים היו ב[[שיווי משקל תרמודינמי]] אחד עם השני. מנתונים אלו ניתן לקבל:
{| class="wikitable"
|+משתנים תרמודינמיים עבור בוזונים ופרמיונים, <math>\mu=0</math>
!
!בוזונים
!פרמיונים
|-
|אנרגיה פנימית
|<math>U=\frac{\pi^2}{30}\frac{g_sV\tau^4}{(\hbar{c)}^3}</math>
|<math>U=\frac{7\pi^2}{240}\frac{g_sV\tau^4}{(\hbar{c)}^3}</math>
|-
|מספר חלקיקים
|<math>N=\frac{\zeta\left(3\right)}{\pi^2}\frac{g_sV\tau^3}{(\hbar{c)}^3}</math>
|<math>N=\frac{3\zeta\left(3\right)}{4\pi^2}\frac{g_sV\tau^3}{(\hbar{c)}^3}</math>
|-
|לחץ
|<math>p=\frac{\pi^2}{90}\frac{g_s\tau^4}{(\hbar{c)}^3}</math>
|<math>p=\frac{7\pi^2}{720}\frac{g_s\tau^4}{(\hbar{c)}^3}</math>
|-
|אנטרופיה
|<math>\sigma=\frac{2\pi^2}{45}\frac{g_sV\tau^3}{(\hbar{c)}^3}</math>
|<math>\sigma=\frac{7\pi^2}{180}\frac{g_sV\tau^3}{(\hbar{c)}^3}</math>
|}

כאשר <math>\zeta (x)</math> היא [[פונקציית זטא של רימן]].

היקום ביצע התפשטות אדיאבטית (כי התהליך היה הפיך, ולא נכנס חום מכיוון שמתוך הגדרה, אין לחום מאין להיכנס), ובה התקיים <math>\sigma=const</math>. כפי שניתן לראות מהחישובים למעלה, בתנאים אלו האנטרופיה פרופורציונית לנפח ולחזקה השלישית של הטמפרטורה, כלומר <math>V\tau^3=const</math>. מכאן ניתן לרשום:

<math>\tau\left(t\right) a\left(t\right)=const</math>

כאשר <math>a(t)</math> הוא פרמטר ליניארי המתאר את הנפח המתפשט.

=== יציבות של ננסים לבנים ===
נושא בו יש חשיבות למודל של גז פרמיונים אולטרה-יחסותי הוא ניתוח הנוגע ל[[ננס לבן|ננסים לבנים]]- כוכבים שהגורם המונע את קריסתם הוא לחץ ניוון של אלקטרונים.

לפי הביטוי שנראה קודם, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים מנוונים מתקבל:

<math>p=\frac{\hbar c}{4}\left(3\pi^2\right)^\frac{1}{3}\ n^{4/3}</math>

(כאשר <math>n=\frac{N}{V}</math>)

פיתוח דומה עבור אלקטרונים לא יחסותיים מביא לתוצאה:

<math>p=\frac{\hbar^2}{5m_e}\left(3\pi^2\right)^\frac{2}{3}\ n^{5/3}\ </math>

מכיוון ש- <math>n\approx\frac{Z\rho}{Am_p}</math> (כאשר <math>Z</math> המספר האטומי של האטומים בכוכב, <math>A</math> מספר המסה שלהם, <math>\rho</math> הצפיפות של הננס הלבן ו- <math>m_p</math> מסת פרוטון), ניתן להגיע לתלות של הלחץ הפנימי בצפיפות הכוכב, עבור אלקטרונים לא יחסותיים ועבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים:

<math>p_{non-relativistic}\propto\rho^{5/3}</math>

<math>p_{ultra-relativistic}\propto\rho^{4/3}</math>

הלחץ הכבידתי (הלחץ החיצוני) נתון על ידי הביטוי:

<math>p_{gravitation}=-\frac{G}{5}\left(\frac{4\pi}{3}\right)^\frac{1}{3}M^\frac{2}{3}\ \rho^{4/3}</math>

כלומר, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים, הלחץ החיצוני והפנימי תלויים בצפיפות באותו אופן, וזה מצב שאינו יציב (בניגוד למצב עבור האלקטרונים הלא-יחסותיים, שהוא יציב). עניין זה מרמז על קיומה של מסה מעליה הננס הלבן אינו יציב. טיפול מדויק בנושא מוביל ל[[גבול צ'נדראסקאר]] - המסה המקסימלית בה ננס לבן יציב.

== ביבליוגרפיה ==
<div style="direction: ltr;">
*Pathria, R.K; Beale, Paul D., '''Statistical Mechanics''', Ed. 3 (2011), Elsevier Science & Technology
*Blundell, S.; Blundell, K., '''Concepts in Thermal Physics''' (2006), Oxford University Press

== לקריאה נוספת ==
* [[גז פרמי]]

[[קטגוריה:גזים]]