הצגת המקור של הדף "גז פרמי"


'''גז פרמי''' הוא [[גז]] [[קוונט]]י המתאר מערכת של [[פרמיונים]] [[חלקיקים מובחנים ובלתי מובחנים|זהים]], שנעים בחומר באופן חופשי, ללא אינטראקציות. פרמיון הוא חלקיק בעל [[ספין (פיזיקה)|ספין]] חצי שלם (בניגוד ל[[בוזון]] לו יש ספין שלם) כמו [[אלקטרון]], [[פרוטון]] [[נייטרון|ונייטרון]] המתנהג בהתאם [[התפלגות פרמי-דיראק|להתפלגות פרמי-דיראק]]. פונקציה זו מתארת את תכונות והתנהגות החלקיקים ב[[שיווי משקל תרמודינמי]] בהינתן ה[[טמפרטורה]], [[פוטנציאל כימי|הפוטנציאל הכימי]] ומצבי האנרגיה האפשריים של המערכת. מודל זה פותח בהתאם ל[[עקרון האיסור של פאולי]] המהווה בסיס להבנת תכונות הפרמיונים, ונקרא על שם הפיזיקאי האיטלקי [[אנריקו פרמי]].

למודל זה שימושים רבים בעקבות ההתאמה הטובה למערכות שונות בטבע, כמו התנהגות האלקטרונים ב[[מתכות]] כ[[אלקטרונים חופשיים]]. גם האלקטרונים הנמצאים ב[[ננס לבן]] מתנהגים בהתאם למודל של גז פרמי.

== עקרון האיסור של פאולי ==
{{ערך מורחב|עקרון האיסור של פאולי}}
על פי [[מכניקת הקוונטים]], מערכת של חלקיקים ניתנת לתיאור על ידי [[פונקציית גל]] רב חלקיקית המתארת את [[מספר קוונטי|המספרים הקוונטים]] של המערכת. לדוגמה, בהינתן שני חלקיקים, ניתן לתארם על ידי פונקציית הגל: <math>\Psi(A,B)</math> או ביותר פירוט <math>\Psi(\vec r_A,\vec k_A,\vec r_B,\vec k_B)</math>, כאשר <math> \vec r_A</math> ,<math> \vec k_A</math> מתארים את בהתאמה את המיקום והתנע של חלקיק <math> A </math>, ובאותו האופן <math> \vec r_B</math> ,<math> \vec k_B</math> מתארים את המיקום והתנע של חלקיק <math> B </math>.

לפי הגדרת הפרמיונים בהתייחסות ל[[אינטראקציית שחלוף]], פרמיונים הם חלקיקים אנטי-סימטריים להחלפה. כלומר בהחלפת חלקיק <math>A </math> בחלקיק <math>B </math>, מתקבל כי פונקציית הגל משנה את סימנה: <math> \Psi(A,B)= - \Psi(B,A)</math>. מכך נובע שאם מחליפים שני פרמיונים בעלי מספרים קוונטים זהים <math>\vec r_A=\vec r_B, \vec k_A=\vec k_B</math> מקבלים כי <math>\Psi(\vec r_A,\vec k_A,\vec r_A,\vec k_A) =- \Psi(\vec r_A,\vec k_A,\vec r_A,\vec k_A) </math>, דבר המתאפשר רק אם <math>\Psi \equiv 0</math> .

כלומר שני פרמיונים אינם יכולים להימצא באותו [[מצב קוונטי]] בו-זמנית (בניגוד לבוזונים היכולים לעבור [[עיבוי בוז-איינשטיין]]). מסקנה זו היא שהובילה לפיתוח [[התפלגות פרמי-דיראק]] המהווה בסיס למודל של גז פרמי.

== התפלגות פרמי-דיראק ==
{{ערך מורחב|התפלגות פרמי-דיראק}}
[[קובץ:Fermi-Verteilung (Temperatur).svg|ממוזער|התפלגות פרמי-דיראק עבור טמפרטורות שונות|250x250px]]בהתאם להבנה כי כל מצב קוונטי יכול לאכלס פרמיון בודד, פותחה '''סטטיסטיקת פרמי-דיראק'''. [[פונקציה]] זו מתארת את התפלגות החלקיקים במערכת המצומדת לאמבט חום בטמפרטורה <math>T</math>  ואמבט חלקיקים בעל פוטנציאל כימי <math>\mu</math>. בהינתן מצב קוונטי בודד, ניתן לחשב את [[פונקציית החלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה]] של המצב [[פוטנציאל גראנד קנוני|בצבר הגראנד קנוני]] על ידי אכלוס ריק או אכלוס יחיד עם אנרגיה <math>\epsilon</math>:
<div style="text-align: center;">
<math>\mathcal{Z}={1+ e^{-(\epsilon-\mu) / k_B T} }</math>
 </div>
בעזרת פונקציית החלוקה החד-חלקיקית, אפשר לקבל את האכלוס הממוצע של כל מצב (בעל אנרגיה <math>\epsilon</math> מתאימה) על ידי התפלגות פרמי-דיראק:
<div style="text-align: center;">
<math> \mathcal{f}_{FD}(\epsilon, \mu, T)= \frac{1}{e^{(\epsilon-\mu) / k_B T} + 1} </math>
 </div>


לפי ביטוי זה, ככל שהטמפרטורה הולכת וקטנה, ההתפלגות נהיית יותר ויותר חדה. כאשר הטמפ' שואפת ל-0, מתקבל כי כל מצבי האנרגיה הקטנים מהפוטנציאל הכימי <math>\mu</math> מאוכלסים, בעוד המצבים בעלי אנרגיה הגדולה מערך זה ריקים. מצב זה נקרא גז '''פרמי מנוון'''. כאשר הטמפרטורה נמוכה, הפוטנציאל הכימי מתכנס לערך קבוע, שמקבל את הסימון <math>E_f</math> ונקרא [[רמת פרמי]].

במצב ההפוך, בו הטמפרטורה גדולה מאוד, פונקציית החלוקה הולכת וקרבה לאפס והאכלוס נהיה דליל. גבול זה הוא הגבול בו הגז נהיה [[גז אידיאלי|אידיאלי קלאסי]], והתפלגות פרמי דיראק קרובה ל[[התפלגות מקסוול-בולצמן]]. במצב כזה האכלוס דליל, כלומר רוב המצבים הקוונטים אינם מאוכלסים ולכן אין סתירה לעקרון האיסור של פאולי.

נהוג להגדיר את הגבול הקלאסי עבור [[צפיפות החומר|צפיפות חלקיקים]] המקיימת <math> \left \langle n \right \rangle \ll n_Q </math>, כאשר <math> n_Q = \left (\frac {2\pi m k_BT}{h^2} \right)^ \frac {3}{2} </math> היא [[צפיפות קוונטית|הצפיפות הקוונטית]].

בעזרת ההתפלגות ניתן לחשב גדלים כמו מספר החלקיקים או האנרגיה הכוללת של המערכת. בחישובים אלה יש לקחת בחשבון את [[צפיפות המצבים]] <math>D(\epsilon)</math>.<br />

== צפיפות המצבים ==
{{ערך מורחב|צפיפות המצבים}}
כאשר פותרים את הבעיה של [[בור פוטנציאל אינסופי|חלקיק בקופסה]] בעל יחס תנע-אנרגיה <math>\epsilon= \frac{p^2}{2m}</math> מקבלים כי האנרגיות האפשריות של החלקיק נתונות על ידי: <math>\epsilon_n = \frac{ \hbar^2}{2m} \frac{\pi^2 }{L^2}n^2</math>, כאשר <math>n=\sqrt {n_x^2+n_y^2+n_z^2}</math>. {{ש}}עבור ערכי <math>n</math> גדולים, מקבלים כי יש מספר רב של ערכי <math>n_x, n_y, n_z</math> אשר יתנו את אותו <math>n</math>. כלומר, מתקבלים אותן [[רמת אנרגיה|רמות אנרגיה]] עבור ערכי <math>n_x, n_y, n_z</math> שונים ונוצר ניוון בבעיה. בהתאם לכך, צפיפות המצבים <math>D(\epsilon)</math> סופרת את מספר המצבים הנמצאים בתחום האנרגיות <math>(\epsilon, \epsilon +d\epsilon)</math> ומאפשרת לקחת בחשבון את הניוון בעת חישובים של פרמטרים שונים של המערכת.

ישנן שתי דרכים עיקריות לחישוב <math>D(\epsilon)</math>:<br />
{{ש}}

==== סכימה על המצבים החד-חלקיקיים ====
כמתואר לעיל, אנרגיית החלקיק תלויה במספרים הקוונטים <math>n_x, n_y, n_z</math> . על כן, יש לחפש תחילה את כמות המצבים חד-חלקיקיים עם אנרגיה קטנה מ- <math>\epsilon</math>: <math>g(\epsilon) \equiv \int_{-\infty}^{\epsilon} D(\epsilon)\, d\epsilon</math> .

לדוגמה, עבור פרמיון בעל ספין כללי <math>j</math> בשלושה ממדים, ניתן לחשב ערך זה על ידי חישוב הנפח של כדור ברדיוס <math>n(\epsilon)</math> במרחב התלת-ממדי <math>n_x, n_y, n_z</math>. בעזרת שימוש בביטוי לאנרגיות האפשריות של המערכת, ניתן לבודד את מספר המצבים <math>n</math> כפונקציה של האנרגיה וגודל הקופסה:
<div style="text-align: center;">
<math>\epsilon_n = \frac{ \hbar^2}{2m} \frac{\pi^2 }{L^2}n^2 \Rightarrow n(\epsilon)= \frac{L}{\pi} \left (\frac{2m\epsilon}{\hbar^2} \right) ^{1/2}</math>
</div>

ערך זה משמש כרדיוס במרחב התלת-ממדי <math>n_x, n_y, n_z</math>. בעזרתו אפשר לחשב את מספר המצבים הקוונטים הכולל של המערכת עד אנרגיה <math>\epsilon</math>, על ידי חישוב הנפח של כדור ברדיוס <math>n(\epsilon)</math>:<div style="text-align: center;">
<math>g(\epsilon)= \left (2j+1 \right) \frac{1}{8} \frac{4\pi}{3} \left [n(\epsilon) \right]^3 = \left (2j+1 \right) \frac {V \left (2m\epsilon \right)^\frac{3}{2}}{6\pi ^2 \hbar ^3}</math>
</div>

כאשר:
* הפקטור <math>2j+1</math> מתאר את הניוון הנובע מהספין.
* הפקטור <math>\frac{1}{8}</math> מתאר סכימה של ערכי <math>n_x, n_y, n_z</math> חיוביים בלבד.
[[קובץ:Free-electron DOS.svg|ממוזער|270x270px|צפיפות המצבים כפונקציה של האנרגיה עבור חלקיק חופשי בשלושה ממדים]]
על-מנת לחשב את [[צפיפות המצבים]], המתארת את מס' המצבים ליחידת אנרגיה הנמצאים בתחום אנרגיות [[אינפיניטסימל]]י, יש להסתכל על מספר המצבים החד החלקיקים הנמצא בתחום <math>(\epsilon, \epsilon +d\epsilon)</math> . מספר המצבים מתואר על ידי ההפרש <math> g(\epsilon+d\epsilon) - g(\epsilon)</math> ולקבלת הצפיפות יש לחלק בגודל התחום:

<br />
<div style="text-align: center;">
<math>D(\epsilon) = \frac{g(\epsilon+d\epsilon)-g(\epsilon)}{d\epsilon} =\frac{dg(\epsilon)}{d\epsilon}</math>
</div>

כלומר:
<div style="text-align: center;">
<math>D(\epsilon) =\left (2j+1 \right) \frac {V \left (2m \right)^\frac{3}{2}}{4\pi ^2 \hbar ^3}\epsilon^ \frac{1}{2} \propto \epsilon^ \frac {1}{2}</math><br />
</div>

==== סכימה במרחב הפאזה ====
דרך נוספת לחישוב צפיפות המצבים היא בעזרת סכימה על מרחב הפאזה. בדומה ל[[גז אידיאלי]], מצב קוונטי אינפיניטסימלי מתואר על ידי ריבוע במרחב <math>x, p</math> . בהתאם ל[[עקרון האי-ודאות]], גדול הריבוע המינימלי למצב זה הוא <math>\Delta x \Delta p \sim h</math> ועל כן, צפיפות המצבים הבסיסית במרחב הפאזה עבור חלקיק תלת-ממדי היא <math>\frac {1}{h^3}</math>. לכן, קטע אינפיניטסימלי של אנרגיה ניתן להבעה על ידי:
<div style="text-align: center;">
<math>D(\epsilon) d\epsilon = \frac {d^3 x \cdot d^3 p} {h^3} \cdot I</math>
</div>
כאשר <math>I</math> נובע מהניוון במרחב הפאזה, ו-<math>D(\epsilon)</math> מסמן את הניוון בתחום האנרגיה הנתון.

{{ש}}עבור [[חלקיק חופשי]] לא יחסותי, לו האנרגיה אינה תלויה במיקום, ניתן להחליף <math>d^3 x \rightarrow V</math> (האנרגיה אינה תלויה במיקום ותיסכם כנפח באינטגרל) וכל שנותר הוא לפשט את הגודל <math>d^3 p </math>. {{ש}}במעבר לקואורדינטות כדוריות, <math>d^3 p \rightarrow 4\pi p^2dp</math> ובעזרת שימוש בקשר תנע-אנרגיה של חלקיק חופשי מתקבל כי <math>dp= \frac {m}{p} d\epsilon </math> . הצבה של הערכים חזרה למשוואה המקורית מניבה:

<div style="text-align: center;">
<math>
D(\epsilon)d\epsilon = I \frac{4\pi V m^\frac{3}{2} 2^\frac{1}{2}}{h^3} \epsilon^ \frac{1}{2} d\epsilon \Rightarrow D(\epsilon)=\left (2j+1 \right) \frac {V \left (2m \right)^\frac{3}{2}}{4\pi ^2 \hbar ^3}\epsilon^ \frac{1}{2}
</math>
</div>כאשר נעשה שימוש בהמרה של [[קבוע פלאנק]]: <math>\hbar \equiv \frac{h}{2 \pi}</math> ובכך שהניוון <math>I</math> נובע מהספין ועל כן שווה ל- <math>2j+1</math>.

בעזרת [[פונקציית צפיפות]] המצבים, ניתן לחשב גדלים מקרוסקופיים של המערכת כמו מספר החלקיקים הממוצע או האנרגיה הממוצעת:
<div style="text-align: center;">
<math>\left\langle N \right\rangle=\int D(\epsilon)\mathcal{f}_{FD}(\epsilon)d\epsilon</math>{{ש}}<math>\left\langle U \right\rangle=\int \epsilon D(\epsilon)\mathcal{f}_{FD}(\epsilon)d\epsilon</math>
</div>

== גז פרמי מנוון ==

כמתואר לעיל, לפונקציית ההתפלגות תלות בטמפרטורת המערכת. ניתן לראות כי כאשר <math>T \rightarrow 0</math> תלות זו נהיית קריטית וההתפלגות נהיית חדה. עבור ערכי אנרגיה <math>\epsilon < \mu</math> מתקבל כי <math>\mathcal{f}_{FD}(\epsilon) \rightarrow 1</math>, כלומר כל המצבים עם אנרגיה קטנה מערך זה מאוכלסים. לעומת זאת, עבור <math>\epsilon > \mu</math> מתקבל כי <math>\mathcal{f}_{FD}(\epsilon) \rightarrow 0</math>, כלומר מצבים אלו אינם מאוכלסים כלל. אכלוס זה הוא תוצאה ישירה מכך ששני פרמיונים אינם יכולים לאכלס את אותו המצב הקוונטי ועל כן עולים למצב האפשרי הבא. הם ממשיכים כך עד אשר ימלאו את כל המצבים האפשריים לרמת האנרגיה הנתונה.

אנרגיה זו מוגדרת בתור '''[[אנרגיית פרמי]]''' <math>\epsilon_F</math>: האנרגיה בה כל המצבים בעלי אנרגיה נמוכה ממנה מאוכלסים כאשר <math>T \rightarrow 0</math>. זהו מצב היסוד של המערכת הרב-חלקיקית.

ניתן לחשב אנרגיית פרמי עבור גז פרמיונים המכיל <math>N</math> חלקיקים חופשיים בשלושה ממדים בדומה לדרך בה חושבה כמות המצבים חד-חלקיקיים <math>g(\epsilon) </math>. מספר החלקיקים הכולל מתואר על ידי [[נפח]] כדור ברדיוס <math>n_F</math> המכיל את המספרים הקוונטים של כל החלקיקים ועל כן סוכם את כל חלקיקי המערכת:<div style="text-align: center;">
<math>N=(2j+1) \cdot \frac {1}{8} \cdot \frac {4\pi}{3}n_F ^3 \Rightarrow n_F = \left (\frac {6N}{(2j+1)\pi} \right)^ \frac{1}{3}
</math>
</div>

כאשר:
* הפקטור <math>2j+1</math> מתאר את הניוון הנובע מהספין.
* הפקטור <math>\frac{1}{8}</math> מתאר סכימה של ערכי <math>n_x, n_y, n_z</math> חיוביים בלבד.

האנרגיה של החלקיקים נתונה על ידי <math>\epsilon_n = \frac{ \hbar^2}{2m} \frac{\pi^2 }{L^2}n^2</math> ועל כן אנרגיית פרמי היא:
<div style="text-align: center;">
<math>\epsilon_F \equiv \frac{ \hbar^2}{2m} \frac{\pi^2 }{L^2}n_F^2 = \frac{ \hbar^2}{2m} \left (\frac{6\pi^2N}{(2j+1)V} \right)^ \frac{2}{3}</math>
</div>

עם שימוש בערך זה ניתן לחשב את האנרגיה הממוצעת של גז אלקטרונים בעלי ספין 1/2:
<div style="text-align: center;">
<math>U(T=0) = \int\epsilon D(\epsilon) \mathcal{f}_{FD}(T=0,\epsilon)d\epsilon = \int_ {0} ^{\epsilon_F} \epsilon D(\epsilon) d\epsilon= \frac {3}{5}N \cdot \epsilon_F \propto V ^{- \frac{2}{3}}</math>
</div>

כאשר מתקיים <math>\mathcal{f}_{FD}(T=0,\epsilon) \equiv 0</math> עבור <math>\epsilon>\epsilon_F</math>.{{ש}}

על-מנת לחשב את ה[[לחץ]], יש להשתמש [[אנרגיה חופשית של הלמהולץ|באנרגיה החופשית של המהולץ]] הנתונה על ידי <math>F=U-TS</math>. במצב בו <math>T \rightarrow 0</math> מתקבל כי <math> F=U</math> ובעזרת שימוש בקשר <math>\ P = - \left(\frac{ \partial F}{ \partial V} \right) _{S} = -\left(\frac{ \partial U}{ \partial V} \right) _{S}</math> ניתן לחשב את ה[[לחץ]]:
<div style="text-align: center;">
<math>P = \frac{2}{5}\frac{N}{V}E_{\mathrm{F}}= \frac{(3\pi^2)^{\frac {2}{3}}\hbar^2}{5m}\left(\frac{N}{V}\right)^{5/3}</math>
</div>
[[קובץ:ChandrasekharLimitGraph.svg|ממוזער|268x268 פיקסלים|יחס המסה-רדיוס בננס לבן. מעבר לצפיפות גבוהה מצריך שימוש במודל היחסותי. [[מסת צ'נדראסקאר]] מסומנת ''M''<sub>Ch</sub> .]]
{{ש}}
{{ש}}

כלומר בניגוד [[גז אידיאלי|גז אידיאלי קלאסי]], הלחץ אינו מתאפס בטמפרטורה <math>T \rightarrow 0</math>. לחץ זה נקרא לחץ הניוון והוא מונע מחלקיקים להידחס לנפחים קטנים יותר. תופעה זו היא שגורמת ל[[ננס לבן]] (אשר ניתן להתייחס אליו כמורכב מגז פרמי מנוון של אלקטרונים) לא לקרוס על אף [[כוח משיכה|כוח המשיכה]] הפועל עליו. כוח המשיכה גורם לדחיסת החומר בכוכב ומוביל לעלייה בכמות האלקטרונים ליחידת נפח. שימוש ב[[עקרון אי הוודאות]] עבור מיקום-תנע מראה שהקטנת הנפח תביא לעליה [[אנרגיה קינטית|באנרגיה הקינטית]] של החלקיקים ועל כן גם לעלייה בלחץ. לחץ זה גדל עד אשר הוא משתווה לכוח הכבידה ומונע מהכוכב להתמוטט ל[[כוכב נייטרונים]] או ל[[חור שחור]].

יש להדגיש כי עם עליית האנרגיה הקינטית, מהירות החלקיקים עולה ויש לקחת אפקטים יחסותיים בחשבון. על-מנת לנתח את המערכת במצב זה יש להשתמש בקשר תנע-אנרגיה של חלקיק יחסותי המתואר בהמשך.{{ש}}

{{ש}}

בעזרת אנרגיית פרמי, נהוג להגדיר גם את '''טמפרטורת פרמי''' על ידי: <math> T_F \equiv \frac{ \epsilon_F}{k_B} </math>.

זוהי הטמפרטורה הקובעת את [[סקאלה|סקלת]] הבעיה. כלומר עבור טמפרטורות המקיימות <math> T \ll T_F </math> ניתן להתייחס למערכת כגז פרמי מנוון. לדוגמה, הטמפרטורה האופיינית בליבת ננס לבן היא <math> T \thicksim 10^7 \left [ K \right ] </math> . שימוש [[צפיפות החומר|בצפיפות]] הממוצעת <math> \bar{n} \backsim 10^6 \left [ \frac{gr}{cm^3} \right ] </math> וב[[מסת האלקטרון]] מניבה טמפרטורת פרמי הגדולה מטמפרטורת הכוכב <math> T_F \thicksim 10^9 \left [ K \right ] </math> . לכן, ניתן להתייחס לאלקטרונים הנמצאים בטמפרטורה גדולה מאפס אך קטנה ביחס ל-<math> T_F
 </math> כגז פרמי מנוון.

== גז פרמי יחסותי ==
עד כה תואר המצב בו יחס התנע-אנרגיה הוא ריבועי, אך ניתן לעשות חישובים דומים גם עבור המקרה היחסותי בו היחס משתנה. על-פי [[תורת היחסות הפרטית]], האנרגיה של חלקיק בודד נתונה על ידי:
<div style="text-align: center;">
<math>E=\sqrt{(pc)^2+(m_0c^2)^2}</math>
</div>
כאשר:
* <math>m_0</math> היא [[מסת מנוחה|מסת המנוחה]] של החלקיק.
* <math>c</math> היא [[מהירות האור]].

במקרה האולטרה יחסותי, בו <math>pc \gg m_0c^2</math>, ניתן לקרב את ביטוי האנרגיה על ידי:
<div style="text-align: center;">
<math>E=\sqrt{(pc)^2+(m_0c^2)^2} \approx \left| p \right|c</math>
</div>

בעזרת קירוב זה מתקבל קשר ליניארי בין האנרגיה לבין התנע. שימוש באחרון, בקשר <math>p=hk</math> וביחס <math>k=\frac{\pi n }{L}</math> (המתקבל מ[[תנאי שפה]]) מאפשר לחשב את הגדלים הרלוונטיים שחושבו עבור גז פרמי לא יחסותי של חלקיקים חופשים, בשינוי [[יחס נפיצה|יחס הנפיצה]].

==קישורים חיצוניים==
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007538459205171|אלקטרוני גז}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מכניקת הקוונטים]]
[[קטגוריה:גז אידיאלי|פרמי]]
[[קטגוריה:פיזיקה סטטיסטית]]