הצגת המקור של הדף "גידול של חבורה"

'''גידול של חבורה''' הוא האופן שבו [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], בדרך כלל אינסופית, מכוסה על ידי מילים הולכות ומתארכות ב[[יוצרים של חבורה|קבוצת יוצרים]] נתונה.

== פונקציית הגידול והקצב ==
תהי G חבורה הנוצרת על ידי קבוצת יוצרים סופית, X. בדרך כלל מניחים שהקבוצה סימטרית להיפוך. מסמנים ב-<math>B_X(n)</math> את קבוצת האיברים שאפשר להציג כמכפלה של לכל היותר <math>n</math> איברים של X. '''פונקציית הגידול''' המתאימה ל-X היא הפונקציה <math>\ f(n) = |B_X(n)|</math>. כאשר G אינסופית, זוהי פונקציה עולה ממש. מגדירים יחס שקילות על הפונקציות העולות, לפיו <math>\ f \equiv g</math> אם יש קבוע c כך ש-<math>\ f(n) \leq c\cdot g(cn)</math>, וגם להפך. כל פונקציות הגידול של אותה חבורה שקולות זו לזו.

לחבורה נוצרת סופית יש פונקציית גידול פולינומי אם ורק אם היא נילפוטנטית-למעשה (virtually nilpotent). מכאן נובע שבמקרה כזה המעלה של פונקציית הגידול היא מספר שלם. המספר <math>\lim \sqrt[n]{|B_X(n)|}</math> הוא '''קצב הגידול המעריכי''' (ביחס ל-X). הקצב הוא 1 כאשר פונקציית הגידול היא '''תת-מעריכית'''. יש חבורות שקצב הגידול שלהן ביחס לכל קבוצת יוצרים X גדול מ-1, אבל האינפימום שווה ל-1. אם האינפימום של הקצבים האלה גדול מ-1, החבורה היא בעלת '''גידול מעריכי'''. לדוגמה, לחבורה חופשית (לא אבלית) יש גידול מעריכי. ב[[חבורה אמנבילית|חבורה לא אמנבילית]] קצב הגידול ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית גדול מ-1.

== טור הילברט ==
תהי f פונקציית הגידול של החבורה ביחס לקבוצת יוצרים סופית X. '''טור הילברט''' של החבורה (ביחס ל-X) הוא טור החזקות <math>\ \sum_{n=0}^{\infty} f(n)x^n</math>. הטור מעניין במיוחד כאשר הוא מייצג פונקציה רציונלית במשתנה x. חבורה נקראת 'פאן-רציונלית' אם טור הילברט שלה רציונלי ביחס לכל קבוצת יוצרים. החבורות הבאות ידועות כפאן-רציונליות:

* חבורות אבליות-למעשה (virtually-abelian)<ref>{{צ-מאמר|שם=Growth series of finite extensions of ℤnare rational|קישור=https://doi.org/10.1007/BF01394026|כתב עת=Inventiones mathematicae|שנת הוצאה=1983-06-01|עמ=251–269|כרך=73|doi=10.1007/BF01394026|מחבר=M. Benson}}</ref>
* [[חבורה היפרבולית|חבורות היפרבוליות]]
* [[חבורת הייזנברג]]<ref>{{צ-מאמר|שם=The Heisenberg group is pan-rational|קישור=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870819300829|כתב עת=Advances in Mathematics|שנת הוצאה=2019-04-13|עמ=219–263|כרך=346|doi=10.1016/j.aim.2019.01.046|מחבר=Moon Duchin, Michael Shapiro}}</ref>

ל[[חבורת באומסלג-סוליטר]] <math>\ B(1,n)</math>יש גידול רציונלי ביחס לקבוצת היוצרים הסטנדרטית. עם זאת, לחבורת הייזנברג מסדר 5 טור הילברט טרנסצנדנטי ביחס לקבוצת היוצרים הסטנדרטית<ref>{{צ-מאמר|שם=Rational and transcendental growth series for the higher Heisenberg groups|קישור=https://doi.org/10.1007/s002220050090|כתב עת=Inventiones mathematicae|שנת הוצאה=1996-09-01|עמ=85–109|כרך=126|doi=10.1007/s002220050090|מחבר=Michael Stoll}}</ref>.

בכל חבורה עם גידול רציונלי, [[בעיית המילה]] פתירה. מאידך, יש חבורות פתירות (עם <math>\ G'''=1</math>) שבהן בעיית המילה אינה פתירה (Kharlampovich 1981), וממילא עם פונקציית גידול שאינה רציונלית.

טור הילברט מוגדר גם עבור [[חבורה למחצה]]; עבור [[חבורה למחצה]] עם יחס אחד, הוא רציונלי (Backelin).

== ראו גם ==
* [[ממד גלפנד-קירילוב]]

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
[[קטגוריה:תורת החבורות]]
[[en:growth of group]]