הצגת המקור של הדף "גלגול (מכניקה)"

{{תקציר פורטל|פיזיקה}}[[קובץ:Rolling animation.gif|ממוזער|ההנפשה מתארת את תנועת הגלגול כ[[סופרפוזיציה]] של שתי תנועות: העתקה של הגלגל ביחס למשטח, וסיבוב של הגלגל ביחס למרכז המסה של עצמו.]]
[[קובץ:Moglfm2207 rodadura.jpg|ממוזער|200x200px|האיור מציג את המהירויות הרגעיות בנקודות שונות על פני דיסקה המתגלגלת גלגול טהור ואת ההקבלה לציר הרגעי הנח.]]
ב[[מכניקה]], '''גלגול''' הוא סוג של [[תנועה (פיזיקה)|תנועה]] המתקיימת כאשר שני גופים, שקיים מגע רצוף ביניהם, נעים האחד ביחס לשני בתנועה המשלבת [[תנועה מעגלית|סיבוב]] סביב מרכז המסה ותנועה של מרכז המסה עצמו. בדרך כלל מקובל להתייחס לתנועה שבה לאחד מהגופים יש סימטריה סביב אחד מציריו, בעוד הגוף האחר הוא משטח ישר, כמו גלגול של [[כדור (גאומטריה)|כדור]] או [[גלגל]] על רצפה, אם כי, תתכנה גם אפשרויות אחרות. 

בתנאים אידיאליים, שטח המגע בין הגופים מצטמצם [[נקודה (גאומטריה)|לנקודה]] אחת בלבד (או [[ישר|לקו ישר]], במקרה של [[גליל (גאומטריה)|גליל]] או [[חרוט]]), ובנוסף המהירות היחסית בין הגופים בנקודת המגע היא אפס וכתוצאה מכך לא מתקיימת החלקה. תנועת גלגול כזו נקראת '''גלגול טהור,''' בגלגול טהור [[חיכוך|כוח החיכוך]] אינו מבצע [[עבודה (פיזיקה)|עבודה]] ולכן אין איבוד [[אנרגיה]] שכן נקודת המגע נחה ביחס למשטח. במציאות, עקב [[מעוות|עיוותים]] באזור המגע, מתקיימת תמיד מידה מסוימת של החלקה. כתוצאה מכך, וכתוצאה מתהליכים פנימיים נוספים{{הערה|הכוונה בעיקר ל[[היסטרזיס]] או ל[[מעוות|מַעֲוות]] פלסטי}}, חלק מ[[אנרגיה קינטית|האנרגיה הקינטית]] האצורה במערכת הופך ל[[חום (פיזיקה)|חום]].

==פיזיקה של תנועת גלגול פשוטה==

[[קובץ:Velocitats Roda.svg|ממוזער|200x200px|שדה המהירויות של גלגל המתגלגל בגלגול טהור, בקו הכולל את נקודת המגע ומרכז המעגל. המהירות בנקודת המגע שווה לאפס והולכת וגדלה באופן [[פונקציה ליניארית|ליניארי]] ככל שהמרחק מנקודה זו גדל.]]
תנועת הגלגול הפשוטה ביותר היא של דיסקה מעגלית [[גוף קשיח|קשיחה]], המתחילה להתגלגל על גבי [[מישור (גאומטריה)|משטח ישר]], [[סימטריה|כשציר הסימטריה]] שלה מקביל למשטח כשמהירותה היחידה בתחילת התנועה היא מהירות קווית <math>v_0</math>. תנועה זו משלבת תנועה סיבובית של הדיסקה סביב [[מרכז מסה|מרכז המסה]] שלה, ותנועה של מרכז המסה עצמו במקביל למשטח. כאשר הגלגול הוא גלגול טהור המסלול אותו מתווה כל נקודה על פני היקף הדיסקה נקרא [[ציקלואידה]].

=== זמן מעבר לגלגול טהור ===
כאשר דסקה זו מתחילה בגלגול עם החלקה, כלומר שיש לדיסקה מהירות בנקודת המגע בין המשטחים, ישנו איבוד אנרגיה בעקבות החיכוך. איבוד האנרגיה יגרום לאיבוד מהירות, עד שהדיסקה תתקבע על מצב של גלגול טהור. במקרה כזה, הזמן שייקח לה לעבור מגלגול עם החלקה לגלגול טהור הוא: <math>t=\frac {Iv_0}
{g\mu(mR^2+I)} </math> כאשר <math>I</math> מייצג את [[מומנט התמד|מומנט ההתמד]] של הדיסקה, כלומר את התנגדות הדסקה לסיבוב, R את רדיוסה, <math>v_0</math> את מהירותה ההתחלתית ו <math>
\mu </math>את מקדם החיכוך של הקרקע עם הדסקית.

'''הוכחה:'''{{ש}}
מהירות מרכז המסה של הדסקה כתוצאה מהחיכוך לפי [[חוקי התנועה של ניוטון|החוק השני של ניוטון]] היא:
<math>\vec{F}=\vec{f}_k=m\vec{a}(t)</math>

נבצע אינטגרציה על שני האגפים
<math> v(t)=v_0-{\frac{f_k}{m}}t=v_0-g\mu t</math>.

מהירותה הסיבובית של הדיסקה נוצרת כתוצאה ממומנט כח החיכוך, לכן נחשב את המומנט: <math>\tau=f_k\times R =mg\mu\times R =mg\mu R=I\alpha </math>

מביצוע אינטגרציה מקבלים: <math>\omega(t)=\frac{mg\mu R}{I}t </math>.

המהירות של נקודת המגע בין הדסקה לרצפה מורכבת מחיבור הווקטורים של מהירות מרכז המסה והמהירות הסיבובית, והגדרת גלגול טהור הוא שאין איבוד אנרגיה מהחיכוך ולכן כדי שלא ייווצר חיכוך על נקודת המגע להיות נחה כלומר נדרש שהמהירות היחסית בין נקודת המגע למשטח תהיה שווה לאפס. תנאי זה מתקיים כאשר חיבור הווקטורים הוא אפס. <math>\vec\omega(t)\times \vec R+\vec v(t)=0</math> או <math>\omega(t) R =v(t) </math>. נציב את הנתונים בתנאי ונבודד את הזמן:

<math>\frac{mg\mu R^2}{I}t=v_0-g\mu t </math>

<math>t\Bigl(\frac{mg\mu R^2}{I}+g\mu\Bigl)=v_0 </math>

<math>t=\frac {v_0}{\Bigl(\frac{mg\mu R^2}{I}+g\mu\Bigl)}=\frac {Iv_0}
{g\mu(mR^2+I)} </math>

=== תנועת דסקה סביב ציר רגעי נח ===
תכונה נוספת היא שדסקה המתגלגלת גלגול טהור מבצעת תנועה [[איזומורפיזם|המקבילה]] לתנועה סיבובית סביב ציר המגע הרגעי בעודו נח, באותה המהירות הסיבובית בה היא מסתובבת סביב מרכז המסה שלה.

==== הוכחה ====
נוכיח תחילה שהמהירות הסיבובית של כל נקודה על הדיסקה ביחס לציר הנח היא אכן <math>\omega_0</math>, לאחר מכן נוכיח כי [[אנרגיה קינטית|האנרגיה הקינטית]] של הדיסקה ביחס לציר הנח אכן שומרת על האנרגיה הקינטית המקורית.

[[הנחה (לוגיקה)|נניח]] שהגלגל נע ברגע מסוים במהירות <math>\omega_0 ; v_0</math>ושמהירותו סביב הציר הרגעי הנח היא <math>\omega_A</math>.

נבחן את הנקודה העליונה בדיסקה [[ללא הגבלת הכלליות]]. לפי הגדרת המהירות הזוויתית מהירותה הרגעית של כל נקודה בדסקה נתונה במשוואה: <math>\vec v=\vec{\omega}\times \vec{r}</math>כאשר <math>\vec{r}</math> הוא המרחק בין הנקודה לנקודת המגע ו- <math>\mathbf{\vec\omega}</math>
הוא וקטור [[מהירות זוויתית|המהירות הזוויתית]] של הגוף.

לכן הנקודה העליונה של הדיסקה מקיימת את המשוואה: <math>\vec \omega_A \times 2\vec R =\vec v_0+\vec \omega_0\times\vec R </math>

כיוון שהתנאי לגלגול טהור במקרה זה, כפי שהוכח לעיל, הוא <math>\omega(t)\times R=v(t) </math> מכאן ש:

<math>2R\omega_A =v_0+\omega_0 R=2v_0 </math>

<math>\omega_A =\frac{2v_0}{2R}=\frac{v_0}{R}\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\;\omega_0 </math>

===== הוכחת שוויון האנרגיות הקינטיות =====
מההוכחה לעיל נובע: <math>K_A=\frac{I_A}{2}\omega_A^2=\frac{I_A}{2}\omega_0^2</math>

נשתמש [[משפט שטיינר|במשפט הצירים המקבילים של שטיינר]]:

<math>K_A=\frac{I_A}{2}\omega_0^2=\frac{I_0+mR^2}{2}\omega_0^2=\frac{I_0}{2}\omega_0^2+\frac{m}{2}(\omega_0R)^2</math>

<math>K_A=\frac{I_0}{2}\omega_0^2+\frac{m}{2}v_0^2=K_0</math>

==מקרים מיוחדים==
[[קובץ:Cone rolling over a cone.svg|ממוזער|200x200px|חרוט מתגלגל על פני חרוט אחר. תנועת החרוט הנייד מורכבת משתי תנועות סיבוביות: סביב ציר הסימטריה של החרוט הנייח, וסביב ציר הסימטריה של עצמו.]]

'''תנועת גלגול של דיסקה על פני דיסקה אחרת.'''
ייתכנו שני מקרים:
# דיסקה אחת נייחת והדיסקה השנייה מתגלגלת על פניה{{הערה|זוהי דוגמה למקרה בו תנועת הגלגול היא תוצאה של שתי תנועות סיבוב ללא תנועה קווית. שתי התנועות במקרה זה הן: תנועת סיבוב של הדיסקה הניידת סביב מרכז הדיסקה הנייחת, ותנועת סיבוב של אותה דיסקה סביב מרכז המסה שלה.}}. זהו מצב אקוויוולנטי לגלגול של דיסקה על פני משטח ישר, פרט לעובדה שבמקרה זה המשטח הוא [[מעגל]]י.
# צירי הסיבוב של שתי הדיסקיות נייחים, ושתי הדיסקיות מסתובבות. במקרה זה, המהירות הרגעית בנקודת המגע אינה שווה לאפס, המהירות בשתי נקודות המרוחקות ביותר מנקודת המגע שווה למהירות בנקודת המגע, והפוכה לה בכיוונה.

'''תנועת גלגול של חרוט על פני חרוט אחר.'''
במקרה זה אחד החרוטים חייב להיות [[קבוצה קמורה|קמור]] בעוד האחר יכול להיות [[קעור]], קמור, או משטח ישר (זהו בעצם מקרה פרטי של חרוט שזווית הראש שלו שווה ל- [[פאי| '''<math>\ \pi</math>''']]). ייחודה של תנועת הגלגול של חרוט היא, ש[[מרכז הכובד|מרכז המסה]] שלו מבצע תנועה מעגלית בניגוד לדיסקה, או גליל, שמרכז המסה שלהם נע בקו ישר. ייחוד נוסף הוא שקיימת נקודה על פני החרוט, ([[קודקוד|הקדקוד]] שלו), הנמצאת במנוחה במהלך התנועה כולה.

'''גלגול של גופים חסרי סימטריה צירית.'''
תנועת גלגול אינה מותנית בכך ששני הגופים, או אפילו אחד מהם, יהיו בעל סימטריה צירית. שתי דוגמאות ידועות הן [[משולש רולו]] (Reuleaux triangle) ו[[גופי מייסנר]] (Meissner bodies). ה[[ספריקון]] (Sphericon) וה[[אולואיד]] (Oloid) הם חברים בקבוצה מיוחדת של גופים מתגלגלים, שבמהלך תנועתם [[פריסה (גאומטריה)|פורסים]] את כל [[שטח פנים|שטח הפנים]] שלהם, כך שבמהלך כל מחזור גלגול, כל נקודה על [[משטח (טופולוגיה)|פני השטח]] שלהם נוגעת במשטח עליו הם מתגלגלים.

==שימושים==
כיון שבאזור המגע של שני גופים המתגלגלים זה על גבי לזה, כמעט ולא מתקיימת תנועה יחסית, [[חיכוך#חיכוך קינטי|כוח החיכוך הקינטי]] המתנגד לתנועה הוא מזערי. ניתן לנצל זאת בהתקנים בהם נדרשת תנועה יחסית בין רכיבים הנמצאים במגע זה עם זה.

'''גלגל''' - מוצר העתיק ביותר, והנפוץ ביותר, המנצל את היתרונות המכניים הגלומים בתנועת גלגול. כיוון שכוח החיכוך הנוצר בתנועה זו נמוך במאות אחוזים מכוח החיכוך הנוצר בתנועת החלקה, מאפשר השימוש בגלגל לשנע מטענים ממקום למקום תוך השקעה של אנרגיה מינימלית.

'''[[מסב#מסב גלילה|מסב גלילה]]''' - הוא חלק ב[[מכונה]] שמטרתו, בין היתר, למזער את כוח החיכוך בין שני אלמנטים של המכונה הנעים האחד ביחס לשני. המסב בנוי, בדרך כלל, משתי טבעות [[עצמים קונצנטריים|קונצנטריות]], שביניהן נמצאים גופי גלילה בעלי סימטריה צירית, כגון כדורים, גלילים, חרוטים וכו'. כל אחת מהטבעות מחוברת לאלמנט אחר של המכונה, ובשעה שאחד האלמנטים, או שניהם, נמצאים בתנועה, מתחילים גופי הגלילה להתגלגל על פני שתי הטבעות בו זמנית, ומאפשרים הפחתה של ממש בכוח החיכוך.

'''[[גלגל שיניים]]''' - הוא חלק במכונה שמטרתו לאפשר העברת [[מומנט]] בין שני [[ציר (הנדסה)|צירים]], או יותר, במכונה. בהיקפם של גלגלי השיניים נמצאות בליטות (השיניים), המתוכננות באופן כזה שכאשר שני גלגלי שיניים משולבים ונעים בתנועה סיבובית האחד ביחס לשני, הבליטות של גלגל אחד נעות בתנועת גלגול מושלמת על פני הבליטות של הגלגל השני.

'''[[גלגלת]]''' - היא מתקן שמטרתו לאפשר שינוי בכוונו של [[כבל (מבנה)|כבל]] משיכה, באופן שממזער את התנגדות כוח החיכוך. בהיבט של תנועת הגלגול זהו מקרה מיוחד בו אחד העצמים במערכת (הכבל) הוא גמיש, ולכן מתקיים מצב בו בין שני גופי המערכת (הגלגל והכבל) קיים מגע לאורך קו, ולא מגע נקודתי בלבד. מצב דומה ניתן למצוא גם ב[[מזקו"ם|כלי רכב זחלי]] וב[[מסוע]].

==לקריאה נוספת==
* Halliday, David; Resnick, Robert (2013), Fundamentals of Physics, Chapters 10, 11: Wiley

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:מכניקה]]
[[קטגוריה:סיבוב]]