הצגת המקור של הדף "גל טרוכואידי"

[[קובץ:Trochoidal wave.svg|ממוזער|שמאל|400px|פני השטח של גל טרוכואידי (בכחול עמוק) המתקדם לצד ימין. המסלולים של האלמנטים בסמוך לפני המים הם מעגלים סגורים (בציאן), ווקטורי מהירות הזורם מוראים באדום (בעבור הנקודות השחורות). גובה הגל - ההבדל בין גובה השיא לגובה השפל, מסומן ב-''H'', [[אורך גל|אורך הגל]] ב-<math>\lambda</math> ומהירות המופע ב-''c''.]]
ב[[מכניקת הזורמים]], '''גל טרוכואידי''' או '''גל גרסטנר''' הוא פתרון מדויק של [[משוואות אוילר (מכניקת הזורמים)|משוואות אוילר]] בעבור [[גל (מים)|גלי כבידה]] [[פונקציה מחזורית|מחזוריים]] ב[[זורם]]. התאוריה של גלים טרוכואידים מתארת גל מתקדם בעל צורה קבועה על פני השטח של שכבת [[זרימה בלתי דחיסה|זורם בלתי דחיס]] בעלת עומק אינסופי. פני השטח של המים בפתרון הגלי הזה הם בצורת [[טרוכואיד]] מהופך - עם שיאים חדים יותר ושפלים שטוחים יותר. הפתרון הזה נתגלה לראשונה על ידי גרסטנר ב-1802, ונתגלה מחדש באופן בלתי תלוי על ידי [[ויליאם ג'ון מקורן רנקין]] ב-1863.

שדה הזרימה המקושר לגל הטרוכואידי אינו אי-רוטציוני - יש לו [[ערבוליות]]. הערבוליות היא בחוזק ופילוג אנכי כזה שהמסלולים של אלמנטי הזורם הם מעגלים מושלמים. זה עומד בניגוד לתצפית האמפירית השגרתית של [[סחיפת סטוקס]] המקושרת לתנועה הגלית. למעשה, ניתן להבין את פילוג הערבוליות כ"פיצוי" על היעדר סחיפת סטוקס. בנוסף, [[מהירות מופע|מהירות המופע]] של הגל אינה תלויה ב[[אמפליטודה]] של הגל הטרוכואידי, בשונה מתאוריות גלים לא ליניאריות אחרות (כמו אלו של גלי סטוקס ו[[סוליטון|סוליטונ]]ים) ותצפיות שלהן. מסיבות אלו - כמו גם בשל העובדה שפתרון בעבור עומק סופי חסר - גלים טרוכואידים הם בעלי חשיבות מעשית מוגבלת לצרכים הנדסיים, וחשיבותם נחה בהיותם הדגמה חשובה לעקרונות התאוריה של גלי מים.

== גזירת פרופיל הגל מעקרונות ראשוניים ==
נצא מההנחה שמסלולי אלמנטי הזורם הם מעגלים מושלמים ונסיק ממנה את צורת הגל. נתחיל מהתנאי הקינמטי על מהירות הזורם בפני המים (ראו גם [[תאוריית הגלים של איירי#גזירת פונקציית הפוטנציאל]]), כאשר הפעם לא נזניח את תלילות הגל:

<math>u_z = \frac{\partial\eta}{\partial t}\ + u_x\frac{\partial\eta}{\partial x}</math>

כיוון שמסלול האלמנט הוא מעגל מושלם, נכון להניח ש-:
<math>u_z = Vsin(kx - \omega t), u_x = Vcos(kx - \omega t) </math>.

כלומר מתקיים:

<math>Vsin(kx - \omega t) = \frac {{\partial \eta}}{{\partial t}} + Vcos(kx - \omega t)\frac {{\partial \eta}}{{\partial x}}</math>

אם נעזר בהנחה שהגל נע אופקית במהירות התקדמות קבועה, אז ניתן להראות ש-:

<math>\frac {{\partial \eta}}{{\partial t}} = -c \frac {{\partial \eta}}{{\partial x}}</math> 

כאשר ''c'' היא מהירות התקדמות הגל, וכך נקבל:

<math>\frac {{\partial \eta}}{{\partial x}} = \frac {{Vsin(kx - \omega t)}}{{-c + Vcos(kx - \omega t)}}</math>

ניזכר כעת ב[[תיאור פרמטרי של עקום|הצגה הפרמטרית]] של עקום טרוכואידי:

<math>x = a\theta - b \sin(\theta) \,</math>

<math>y = a - b \cos(\theta) \,</math>

ונקבל: 
<math>dx = (a - b \cos(\theta)) d\theta \,</math>

<math>dy =  b \sin(\theta) d\theta \,</math>

כלומר:

<math>\frac {{dy}}{{dx}} = \frac {{b \sin(\theta)}}{{a - b \cos(\theta)}}</math>

וזוהי בדיוק הצורה האלגברית של הפתרון שהתקבל לשיפוע פרופיל הגל! כלומר פני הגל הם בהכרח טרוכואידים. הפרמטר ''a'' של הטרוכואיד (רדיוס המעגל המתגלגל) הוא:

<math>a = \frac {{\lambda}}{{2\pi}}</math> 

בעוד הפרמטר ''b'' הוא מחצית גובה הגל <math>b = \frac {{H}}{{2}}</math>.

שים לב גם שהפתרון הטרוכואידי מתכנס לפתרון הטריגונומטרי (היינו פונקציית סינוס) בגבול שבו היחס ''b/a'' שואף לאפס; כלומר גלים טרוכואידים מתכנסים לגלי איירי כאשר היחס בין אמפליטודת הגל לאורך הגל קטן מאוד.

== השוואה עם תאוריות גלים אחרות ==
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע}}

== ראו גם ==
* [[תאוריית הגלים של איירי]]

[[קטגוריה:מכניקת הזורמים]]