הצגת המקור של הדף "גרדיאנט"

{{סימון מתמטי}}
[[קובץ:Gradient2.svg|ממוזער|220px|שמאל|המחשה של גרדיאנט. באיורים האלה, השדה הסקלרי מתואר באמצעות שינוי הצבע, כאשר אֲזורים כהים יותר הם ערכים גדולים יותר של הפונקציה. החיצים הכחולים מתארים את הגרדיאנט הנגזר מהשדה הסקלרי. החיצים פונים אל עבר האזורים הגבוהים יותר.]]
'''גְרָדִיאֵנְט''' הוא [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של מושג ה[[נגזרת]] עבור [[חשבון אינפיניטסימלי]] של מספר מרובה של משתנים<!-- יש להוסיף כאן לינק כאשר יהיה לאן -->. הגרדיאנט הוא [[אופרטור]] [[וקטור (אלגברה)|וקטורי]] המופעל על [[שדה סקלרי]]. הגרדיאנט של שדה סקלרי הוא [[שדה וקטורי]] המשייך לכל נקודה במרחב וקטור.

כיווּן וקטור הגרדיאנט מצביע אל הכיוון שבו השינוי בשדה הסקלרי מקסימלי (חיובי). גודל וקטור הגרדיאנט הוא כשיעור השינוי המקסימלי.

==אינטואיציה==
נתבונן לדוגמה, באזור הררי. הגובה של כל נקודה ברכס ההרים יתואר על ידי פונקציה (שדה סקלרי). בכל נקודה, ניתן להסתכל על הכיוון שבו השיפוע לפונקציה שהותאמה לה הוא הגדול ביותר. זהו למעשה הכיוון שבו הגובה משתנה בצורה המהירה והחזקה ביותר. אם נשחרר כדור בנקודה זו, הוא יתגלגל בדיוק לכיוון ההפוך (שיפוע חזק ביותר לכיוון השלילי). באופן זה ניתן להתאים לכל נקודה וקטור בכיוון השיפוע הגדול ביותר, וגודלו נקבע על פי גודל השיפוע. וקטור זה הוא וקטור הגרדיאנט.

דוגמה נוספת היא בניית כבישים וגגות כך שהמים יתנקזו באופן יעיל. יש ליצור שיפוע קטן על מנת שהמים יזרמו אל פתח הניקוז. המסלול שהמים מבצעים בדרכם אל המרזב, הוא הכיוון שבו הגובה משתנה בצורה הכי מהירה, שהוא גם וקטור הגרדיאנט. 

==סימון==
הגרדיאנט של פונקציה סקלרית  <math>\ f</math>מסומן על ידי :
<math display="block"> \operatorname{grad} \ f = \nabla \ f = \vec \nabla \ f</math> 
כאשר <math>{\nabla}</math> מסמל את אופרטור הגזירה דֶל (סמל המשולש עצמו נקרא בשם "[[נבלה (סימן)|נבּלה]]"). כאשר משתמשים במערכת קואורדינטות, וקטורי הבסיס אינם פונקציות של המיקום במרחב, הגרדיאנט נתון כ[[וקטור (אלגברה)|ווקטור]] של [[נגזרת חלקית|נגזרות חלקיות]]. למשל ב[[מרחב אוקלידי]] תלת־ממדי 
<math display="block"> {\nabla} \equiv \hat{x}\frac{\partial}{\partial x} +\hat{y} \frac{\partial}{\partial y }
 + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z} \equiv \left( \ \partial_x ,\ \ \partial_y ,\ \ \partial_z \right)</math>

מן ההגדרה נובע שהגרדיאנט הוא וקטור, כיוון שהפעלת וקטור הנגזרות החלקיות (אופרטור הגזירה דֶל) על הפונקציה סקלרית מחזירה וקטור (הגרדיאנט).

==הגדרה פורמלית במרחב האוקלידי התלת־ממדי==
במרחב אוקלידי תלת־ממדי, הגרדיאנט של שדה סקלרי כלשהו שמתואר על ידי [[מערכת צירים קרטזית|קואורדינטות קרטזיות]] <math>\ \psi(x,y,z)</math> מוגדר כך: <br> 
:: <math>{\nabla} \psi(x,y,z) \equiv \frac{\partial \psi(x,y,z)}{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial \psi(x,y,z)}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial \psi(x,y,z)}{\partial z}\hat{z}</math>
כאשר <math>\{\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}\}</math> הם [[וקטור יחידה|וקטורי היחידה]] המקבילים לצירים. 

באופן כללי, עבור <math>\ f</math> [[פונקציה]] סקלרית כלשהי מעל [[מרחב וקטורי]] בעל <math>\ n</math>ממדים, ניתן להגדיר את הגרדיאנט כך: 
: <math>\operatorname{grad}f(a) \equiv \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \dots , \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)</math>

== למה וקטור גרדיאנט נותן את הכיוון שבו השינוי הוא מקסימלי? ==
נסתכל על ההגדרה של [[נגזרת כיוונית]], ונשאל מהו הווקטור שבו ה[[מכפלה סקלרית|מכפלה הסקלרית]] עם וקטור הגרדיאנט תהיה מקסימלית? מהגדרת המכפלה הסקלרית, ברור שהמקסימום יתקבל כאשר הזווית בין הווקטורים תהיה אפס ([[קוסינוס]] מקבל ערך מקסימלי באפס), ומכאן נובע שהווקטור שבו המכפלה הסקלרית תהיה מקסימלית היא וקטור הגרדיאנט עצמו.

==דוגמה==
[[אנרגיה פוטנציאלית|הפוטנציאל]] הוא שדה סקלרי <math>\ U(\vec{r})</math>, והכוח שפועל על [[חלקיק]] שנמצא בהשראת אנרגיה פוטנציאלית הוא הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית <math>\ \vec{F}(\vec{r}) = -{\nabla}U(\vec{r})</math> (ראה דוגמאות ספציפיות בערך [[אנרגיה פוטנציאלית]]). לכן, הכוח שיפעל על הגוף ימשוך אותו לכיוון שבו הפוטנציאל יקטן הכי הרבה.

'''דוגמה נוספת (חישובית):'''

יהי <math>f(\mathbf{r}) = |\mathbf{r}| = r</math> [[שדה סקלרי]] (ה[[נגזרת|גזיר]] בכל מקום פרט ל־<math>\mathbf{r}=0</math>). אז הגרדיאנט שלו (ב[[קואורדינטות קרטזיות]]) הוא:
: <math>{\nabla} f = \frac{\partial r}{\partial x} \hat{\mathbf{e}}_x + \frac{\partial r}{\partial y} \hat{\mathbf{e}}_y + \frac{\partial r}{\partial z} \hat{\mathbf{e}}_z = \frac{ x \hat{\mathbf{e}}_x + y \hat{\mathbf{e}}_y + z \hat{\mathbf{e}}_z }{ \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2} } = \frac{\mathbf{r}}{r} = \hat{\mathbf{r}}</math>
שכן <math>\frac{\partial}{\partial x} r = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \frac{2 x}{2 \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}</math>.{{ש}}כדאי לשים לב שהחישוב הוא מיידי ב[[קואורדינטות כדוריות]], ששם הגרדיאנט נתון על ידי הנוסחה:
: <math>\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat{\mathbf{r}} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \hat{\mathbf{ \theta}} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \hat{\mathbf{\phi}}</math>
ומאחר ש־<math>\frac{\partial r}{\partial \theta} = 0 = \frac{\partial r}{\partial \phi}</math> מקבלים ש־
: <math>\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat{\mathbf{r}} = \frac{\partial r}{\partial r} \hat{\mathbf{r}} = \hat{\mathbf{r}} </math>.
כצפוי, בשתי הדרכים קיבלנו תוצאה זהה.

== גרדיאנט באנליזה על יריעות ==
את הגרדיאנט יותר טבעי להגדיר דווקא כ[[פונקציונל]] הנקרא "[[דיפרנציאל (מתמטיקה)|דיפרנציאל]]": 
: <math>\ df = \sum_{\mu} \frac{ \partial f}{ \partial x^\mu} dx^\mu </math>

פונקציונל זה מקבל וקטור v ומחזיר את הסקלר:
: <math>\ ( df ) (\vec{v}) = \lang df , \vec{v} \rang = \sum_{\mu} v^\mu \frac{ \partial f}{ \partial x^\mu} </math>
האות <math>\mu</math> הכתובה בכתיב עילי מייצגת [[אינדקס (מתמטיקה)|אינדקס]] רץ שמייצג [[קואורדינטה]] של וקטור ולא [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]]. 

במרחב עם [[מטריקה]], אפשר להגדיר את הגרדיאנט כווקטור על ידי "[[הורדה והעלאה של אינדקסים|העלאת אינדקסים]]", כלומר, על ידי התאמת וקטור <math>{\nabla} f</math> ל־df כך ש־
: <math>\ df( \vec{v} ) = g( \vec{v} , {\nabla} f) </math>
כאשר g היא המטריקה: [[תבנית ביליניארית]] סימטרית וחיובית בהחלט.

ב[[קואורדינטות]] אפשר לכתוב את וקטור הגרדיאנט כך:
: <math>\ {\nabla} f = \sum_{\mu , \nu} g^{\mu \nu} (df)_{\nu} \partial_\mu = \sum_\mu \left( \sum_{\nu} g^{\mu \nu} \frac{ \partial f}{\partial x^\nu} \right) \partial_\mu </math>
כאשר <math> g^{\mu \nu} </math> הוא האיבר בשורה ה־<math>\mu</math> והעמודה ה־<math>\nu</math> של המטריקה ההופכית (היינו ה[[מטריצה]] ההופכית למטריקה, g<sup>-1</sup>) ו־<math>\partial_\mu = \frac{\partial \vec{r} }{\partial x^\mu}</math> הם הווקטורים המשיקים הפורשים את [[המרחב המשיק]] בנקודה.

==גרדיאנט במערכת קואורדינטות אורתוגונליות==
נניח מערכת [[קואורדינטות]] [[אורתוגונליות|אורתוגונלית]] <math>(q_1 , q_2 , q_3)</math>. כלומר, וקטורי היחידה המתאימים מקיימים:
: <math>\hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j = \delta_{ij}</math> 
כאשר 
: <math>\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \textrm{ If } \ i=j \\ 0 & \textrm{ If } \ i \neq j \end{cases} </math> 
הוא ה[[דלתא של קרונקר]].

הווקטורים המשיקים הם <math>\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} = h_i \hat{\mathbf{e}}_i </math>.

נרשום צורה כללית לגרדיאנט של פונקציה סקלרית <math>f</math>:
: <math>\nabla f = \sum_{i=1}^{3} f_i \hat{\mathbf{e}}_i </math>
ונמצא את המקדמים <math>f_1 , f_2 , f_3</math>.

לשם כך נחשב את ה[[דיפרנציאל (מתמטיקה)|דיפרנציאל]] של <math>f</math>:
: <math>df = \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial f}{\partial q_i} dq_i</math>

מתקיים ש־<math>df = \nabla f \cdot d\mathbf{r}</math> אבל
: <math>d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}dq_i = \sum_{i=1}^{3} h_i \hat{\mathbf{e}}_i dq_i </math>
ולכן, כיוון שווקטורי היחידה המשיקים הם אורתוגונליים <math>\hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j = \delta_{ij}</math> מתקיים
: <math>\sum_{i=1}^{3} \frac{\partial f}{\partial q_i} dq_i = df = \nabla f \cdot d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^{3} f_i h_i dq_i</math> 
מכיוון ש־<math>dq_1, dq_2 , dq_3</math> בלתי־תלויים נשווה מקדמים איבר איבר ונקבל
: <math>f_i = \frac{1}{h_i} \frac{\partial f}{\partial q_i} </math>
ומכאן נקבל
: <math>
\nabla f= \sum_{i=1}^{3} \frac{1}{h_i} \frac{ \partial f}{\partial q_i} \hat{\mathbf{e}}_i =
\frac{1}{h_1} \frac{\partial f}{\partial q^1} \hat{\mathbf{e}}_1+
\frac{1}{h_2} \frac{\partial f}{\partial q^2} \hat{\mathbf{e}}_2 +
\frac{1}{h_3} \frac{\partial f}{\partial q^3} \hat{\mathbf{e}}_3
</math>
כנדרש.

הערה: ההכללה ל[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] n־י מיידית. עובדים עם הצגת הסכומים כ־<math>\Sigma</math> ונותנים לכל אינדקס לרוץ מ־1 עד n.

=== הוכחה המבוססת על [[גאומטריה דיפרנציאלית]] ===
נניח מערכת [[קואורדינטות]] [[אורתוגונליות|אורתוגונלית]] <math>(q^1 , q^2 , q^3)</math>. 

הווקטורים המשיקים הם: <math>\partial_{q^i} = \frac{ \partial \mathbf{r} }{\partial q^i} = h_i \hat{\mathbf{e}}_i</math> כאשר <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> הם וקטורים משיקים [[וקטור יחידה|מנורמלים]] ו־<math>h_i</math> הם ה־[http://mathworld.wolfram.com/ScaleFactor.html scale factors].

ה[[טנזור מטרי|טנזור המטרי]] במקרה של קואורדינטות אורתוגונליות
: <math> g = \mbox{diag}(h_1^2 , h_2^2 , h_3^2)</math> 
הוא [[מטריצה אלכסונית]], ונזכור ש־
: <math>\ dq^i = \sum_j g^{ij} \partial_{q^j}</math>
כאשר <math>g^{ij} = g^{-1} = \mbox{diag}( 1/h_1^2 , 1/h_2^2 , 1/h_3^2 )</math> היא ה[[מטריצה]] ההופכית ל־g.

נציב בהגדרת הגרדיאנט,
: <math> \nabla f = \sum_i \frac{ \partial f}{\partial q^i} dq^i = \sum_{ij} g^{ij} \frac{\partial f}{\partial q^i} \partial_{q^j} = \sum_{ij} \frac{1}{h_i^2} \delta^{ij} \frac{\partial f}{\partial q^i} \partial_{q^j} = \sum_i \frac{1}{h_i^2} \frac{ \partial f}{\partial q^i} h_i \hat{\mathbf{e}}_i</math>
(המעבר השלישי נעשה כי <math>g^{ij}</math> [[מטריצה אלכסונית]], <math>g^{ij} = (1/h_i^2) \delta^{ij}</math> כאשר <math>\delta^{ij}</math> היא [[הדלתא של קרונקר]]) {{ש}}
ובסך הכול נקבל
: <math>
\nabla f=
\frac{1}{h_1} \frac{\partial f}{\partial q^1} \hat{\mathbf{e}}_1+
\frac{1}{h_2} \frac{\partial f}{\partial q^2} \hat{\mathbf{e}}_2 +
\frac{1}{h_3} \frac{\partial f}{\partial q^3} \hat{\mathbf{e}}_3
</math>

== קשרים בין אופרטורים ==
** [[דיברגנץ]], גרדיאנט ו[[לפלסיאן]]: <math>\operatorname{div} \ \operatorname{grad} = \Delta</math>

== משפט הגרדיאנט ==
[[משפט הגרדיאנט]] גורס שאם <math>f(\mathbf{r}) = f(x,y,z)</math> היא [[שדה סקלרי]] (פונקציה <math>f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}</math> ) חלק מספיק (גזיר ברציפות), אז לכל [[עקומה|מסילה]] שמתחילה בנקודה '''A''' ומסתיימת בנקודה '''B''' ה[[אינטגרל קווי|אינטגרל הקווי]] על <math>\nabla f</math> לאורך המסילה איננו תלוי במסילה עצמה אלא רק בנקודות הקצה, ומתקיים
: <math>\int_\mathbf{A}^\mathbf{B} \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(\mathbf{B})-f(\mathbf{A})</math>

לשדה הווקטורי <math>\nabla f</math> קוראים "[[שדה וקטורי משמר]]" או בהקשר של [[פיזיקה]] "[[כוח משמר]]" ומתקיים
: <math>\nabla \times \nabla f = 0</math>

== ראו גם ==
* [[פונקציונל]]
* [[טנזור]]
* [[קואורדינטות]]
* [[דיברגנץ]]

== לקריאה נוספת ==
* מורי ר. שפיגל, '''אנליזה וקטורית''', [[סדרת שאום]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Gradient}}
* {{MathWorld}}

{{אנליזה וקטורית}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:אופטימיזציה רציפה]]
[[קטגוריה:אנליזה וקטורית]]
[[קטגוריה:אופרטורים דיפרנציאליים]]
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]