הצגת המקור של הדף "גרעין (אלגברה)"

'''גרעין''' (ב[[אנגלית]]: '''Kernel''') של [[הומומורפיזם]] בין [[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] הוא אוסף האיברים שההומומורפיזם מעביר אל האיבר הנייטרלי (לדוגמה: [[איבר האפס]] של [[מרחב וקטורי]], איבר האפס של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]], האיבר הנייטרלי של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]). הגרעין הוא תת-מבנה של המבנה שממנו מוגדר ההומומורפיזם, וחלות עליו גרסאות שונות של [[משפטי האיזומורפיזם|משפט האיזומורפיזם הראשון]], על-פי סוג המבנה שבו מדובר. נהוג לסמן את הגרעין של העתקה <math>f:A\to B</math> ב-<math>\text{Ker}(f)</math> או <math>\ker(f)</math> (לעיתים משמיטים את הסוגריים ורושמים <math>\ker f</math>).

==דוגמאות==
*אם <math>T:V\to W</math> הומומורפיזם של [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]], הגרעין שלו <math>\text{Ker}(T)=\{v\in V:T(v)=0\}</math> הוא תת-מרחב של <math>V</math>, שממדו <math>\dim(V)-\text{rank}(T)</math>.
*אם <math>f:G\to H</math> הומומורפיזם של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], הגרעין <math>\text{Ker}(f)=\{x\in G:f(x)=e_H\}</math> הוא [[תת-חבורה נורמלית]], וחבורת המנה <math>G/\text{Ker}(f)</math> איזומורפית לתמונה <math>\text{Im}(f)</math>.
*אם <math>f:R\to S</math> הומומורפיזם של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]], הגרעין <math>\text{Ker}(f)=\{x\in R:f(x)=0\}</math> הוא [[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]] דו-צדדי, ו[[חוג מנה|חוג המנה]] <math>R/\text{Ker}(f)</math> איזומורפי לתמונה <math>\text{Im}(f)</math>.
*אם <math>f:M \to N</math> הומומורפיזם של [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]] מעל חוג R, הגרעין <math>\text{Ker}(f)=\{x\in M: f(x) = 0\}</math> הוא תת-מודול של <math>M</math>, ומודול המנה <math>M/\text{Ker}(f)</math> איזומורפי לתמונה <math>\text{Im}(f)</math>.
*ניתן להגדיר גרעין גם עבור [[קבוצה מנוקדת]] (pointed set). אם <math>f:(X,x_0)\to(Y,y_0)</math> [[פונקציה]] בין קבוצות עם נקודות אז <math>\text{Ker}(f)=\{x\in X:f(x)=y_0\}</math>.
ההכללה המשותפת למקרים אלה נתונה ב[[תורת הקטגוריות]] על ידי מושג ה[[גרעין (תורת הקטגוריות)|גרעין]] הקטגורי.

==ראו גם==
*[[מרחב פתרונות]]

==קישורים חיצוניים==
*{{MathWorld}}

[[קטגוריה:אלגברה]]