הצגת המקור של הדף "דטרמיננטה"

[[קובץ:Determinant parallelepiped.svg|שמאל|ממוזער|250px|איור הממחיש את ביטוי נפחו של מקבילון תלת־ממדי בעזרת דטרמיננטה]]
ב[[אלגברה ליניארית]], ה'''דֵּטֶרְמִינַנְטָה''' של [[מטריצה ריבועית]], היא [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]] התלוי ברכיבי ה[[מטריצה]], ושווה לאפס [[אם ורק אם]] המטריצה אינה [[מטריצה הפיכה|הפיכה]].{{הערה|בדיקת ערך הדטרמיננטה של המטריצה של העתקה ליניארית, היא שיטה [[אלגוריתם|אלגוריתמית]] לוודא האם העתקה הפיכה.}} יתרה מזו, כאשר הדטרמיננטה של [[מקדם (מתמטיקה)|מקדמי]] [[מערכת משוואות ליניאריות]] שונה מאפס, [[נוסחת קרמר]] מחשבת ממנה ומהדטרמיננטה של מטריצה קרובה, את הפתרון היחיד של המערכת. את הדטרמיננטה מסמנים <math>|A|</math> או <math>\det(A)</math>.

הדטרמיננטה היא [[פונקציה כפלית]] (<small>כלומר, <math>\det(AB) = \det(A)\det(B)</math></small>), ובעלת משמעות [[גאומטריה|גאומטרית]]: אם <math>A</math> היא [[מטריצה ריבועית]] בעלת מקדמים [[מספר ממשי|ממשיים]], אז הדטרמיננטה שלה שווה ל[[נפח|נפחו]] (ה[[אוריינטציה (מתמטיקה)|מכוון]]) של ה[[מקבילון]] (ב[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]] ה-<math>n</math>-[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממדי]]), ש[[קודקוד|קודקודיו]] הם עמודות המטריצה {{בתמונה}}.

== היסטוריה ==

הדטרמיננטות מופיעות, בצורה לא מפורשת, כבר בלוחות חרס [[בבל]]יים מן המאה השנייה לפני הספירה ואף לפני-כן, שם נעשה בהן שימוש לפתרון מערכות של שתי משוואות ליניאריות.

ב[[המאה ה-16|מאה ה-16]] ניסח [[ג'ירולמו קרדאנו]] בעזרת דטרמיננטות את הפתרון למערכת של שתי משוואות בשני נעלמים; קרדנו הציג גרסה מוקדמת ולא מלאה של [[נוסחת קרמר]], עבור מטריצות בגודל <math>2\times 2</math>. 

הנוסחה לדטרמיננטה של מטריצות גדולות יותר הופיעה ב[[אירופה]] וב[[יפן]] בו זמנית, ב-[[1683]]. ביפן פרסם [[טאקאקזו סקי קווה]] {{אנ|Seki_Takakazu}} (1642-1708) הסבר על חישוב הדטרמיננטה של מטריצות מספריות מסדר המגיע עד <math>5\times 5</math>, לצורך פתרון של משוואות שונות. באותה שנה, הציג [[לייבניץ]] את הנוסחה הכללית לחישוב דטרמיננטה מסדר <math>3\times 3</math>, במכתב ל[[המרקיז דה לופיטל|מרקיז דה לופיטל]]. 

נוסחת קרמר הופיעה לראשונה, עבור מטריצות בגודל <math>3\times 3</math>, בספר שפורסם ב-[[1748]], כשנתיים לאחר מות המחבר [[קולין מקלורן]]. שנתיים אחר-כך פרסם [[גבריאל קרמר]] מאמר שבו תיאר בנספח, ללא הוכחה, את [[נוסחת קרמר|הכלל הקרוי על-שמו]] עבור מטריצות בגודל כלשהו.

[[ז'וזף לואי לגראנז'|לגראנז']] הציג את הפירוש של דטרמיננטה (מסדר <math>3\times 3</math>) כאלמנט נפח, במאמר מ-[[1773]] שעסק במכניקה. המונח '''דטרמיננטה''' מוצג לראשונה בספרו של [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]] על [[תורת המספרים]]; גאוס קרא לה כך משום שהיא קובעת (determines) את התכונות של ה[[תבנית ריבועית|תבניות הריבועיות]] שאותן חקר. עם זאת, הדטרמיננטה של גאוס אינה זהה להגדרה המקובלת היום. זו הופיעה בשם זה רק ב-[[1812]], בעבודתו של [[אוגוסטן לואי קושי|קושי]], שהוכיח לראשונה את הכלל החשוב <math>\det(AB) = \det(A) \det(B)</math>. 

הנושא הבשיל בשלושה מאמרים שפרסם [[קרל גוסטב יעקב יעקובי|יעקובי]] ב- [[1841]], בהם הוא הגדיר את הדטרמיננטה עבור מטריצה כללית ובאופן אלגוריתמי, שסייע לתפוצה הרחבה של הרעיון. את הסימון <math>|A|</math> עבור הדטרמיננטה של <math>A</math> הציע [[ארתור קיילי]] באותה שנה. 

ב-[[1896]] מיין [[פרדיננד פרובניוס]] את ההעתקות הליניאריות <math>T \,{:}\, \operatorname{M}_n(F) \rightarrow \operatorname{M}_n(F)</math> השומרות על הדטרמיננטה (במובן ש-<math>\det(T(X))=\det(X)</math> לכל מטריצה <math>X</math>), והראה שכולן מהצורה <math>T(X) = AXB</math> או <math>T(X) = AX^{\top}B</math>. 

הגדרה "[[אקסיומה|אקסיומטית]]", של הדטרמיננטה, כתבנית (היחידה) שהיא מולטי-ליניארית, אנטי-סימטרית ומנורמלת התגלתה על ידי [[קארל ויירשטראס]], והתפרסמה ב-[[1903]], לאחר מותו.

==הגדרה==

הדטרמיננטה של מטריצה בגודל <math>n\times n</math> מוגדרת על-פי הנוסחה <math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}\cdots a_{n,\sigma(n)}</math>, כאשר <math>A =(a_{ij})</math>. 

הסכום בנוסחה הוא על <math>n!</math> [[תמורה (מתמטיקה)|התמורות]] <math>\sigma</math> האפשריות של המספרים <math>\left\{1,2,\dots,n\right\}</math>. ה[[זוגיות של תמורה|סימן]] <math>\operatorname{sgn}(\sigma)</math> מתקבל על פי זוגיות התמורה. אם התמורה זוגית, <math> \operatorname{sgn}(\sigma)=1</math>, אם היא אי זוגית, <math>\operatorname{sgn}(\sigma)=-1</math>. הדטרמיננטה שווה, אם כך, לסכום של כל המכפלות האפשריות לאורך אלכסונים מוכללים של המטריצה, עם סימנים מתחלפים.

לדטרמיננטה יש גם הגדרה אקסיומטית: אפשר לראות את הפונקציה <math>A \mapsto \det(A)</math> כפונקציה של <math>n</math> העמודות של המטריצה, ואז זוהי הפונקציה היחידה שהיא ליניארית בכל המשתנים, מתחלפת (כלומר מחזירה 0 עבור מטריצה שיש בה שתי שורות זהות), ומנורמלת כך ש-<math>\det(I)=1</math> כאשר <math>I</math> היא [[מטריצת היחידה]]. בלשון מודרנית, הגדרה זו שקולה לכך שפעולתה של [[העתקה ליניארית|טרנספורמציה ליניארית]] מממד <math>n</math> על [[מכפלת יתד|מכפלת היתד]] <math>V^{\wedge n}</math> של המרחב <math>V</math> (שהיא מרחב חד-ממדי) היא [[כפל בסקלר]] השווה לדטרמיננטה.

== דוגמאות ==
=== דטרמיננטיות 2X2  ===
במקרה של מטריצה <math>2\times 2</math>, נוסחת הדטרמיננטה היא:
:<math>\begin{vmatrix} a & b\\c & d \end{vmatrix}=ad - bc\ </math>
בפרט מתקיים:
:<math>\begin{vmatrix} 1 & 2\\1 & 3 \end{vmatrix}= 1\cdot 3 - 2\cdot 1 = 1\ </math>
ולכן מטריצה זו הפיכה.

לעומת זאת המטריצה הבאה איננה הפיכה:
:<math>\begin{bmatrix} 1 & 2\\2 & 4\end{bmatrix}</math>
כעת, חישוב הדטרמיננטה ייתן אפס:
:<math>\begin{vmatrix} 1 & 2\\2 & 4\end{vmatrix} = 1\cdot 4 - 2\cdot 2 = 0</math> ולכן מטריצה זו אינה הפיכה.

=== דטרמיננטיות 3X3  ===
במקרה של מטריצה <math>3\times 3</math>, נוסחת הדטרמיננטה היא:
:<math>\begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg\ </math>
הנוסחה כוללת 6 מחוברים (מפני שיש 6 תמורות באורך 3), 3 עם סימן חיובי ו-3 עם סימן שלילי.

== חישוב הדטרמיננטה ==
=== דירוג המטריצה ===

הפיתוח לפי ההגדרה המפורשת דורש כ- <math>n\cdot n!</math> פעולות בשדה. לעומת שיטות אלה, שיטת הדירוג של גאוס מאפשרת לחשב את הדטרמיננטה בכ-<math>n^3</math> פעולות, על ידי [[דירוג מטריצות|דירוג המטריצה]] עד שמגיעים ל[[מטריצה משולשית]]: הדטרמיננטה של מטריצה משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי שלה.

הדירוג נעשה על ידי הפעלת פעולות אלמנטריות בשרשרת, ואלו משפיעות על הדטרמיננטה באופן הבא:
*החלפת מקומן של שתי שורות (או עמודות) במטריצה משנה את סימן הדטרמיננטה: אם <math>A'</math> התקבלה מהמטריצה <math>A</math> על ידי החלפת שתי שורות, אז <math>|A'|=-|A|</math>.
*הוספה של כפולה בסקלר של שורה (עמודה) אחת לשורה (עמודה) אחרת אינה משנה את ערך הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת.
*הכפלה של שורה (או עמודה) במטריצה בסקלר מכפילה את ערך הדטרמיננטה של המטריצה באותו סקלר: אם <math>A'</math> התקבלה מהמטריצה <math>A</math> על ידי הכפלת שורה כלשהי בסקלר <math>\lambda</math>, אז <math>|A'|=\lambda|A|</math>.

=== פיתוח לפי מינורים ===

את הדטרמיננטה אפשר לחשב בצורה [[רקורסיה|רקורסיבית]], הנקראת '''פיתוח לפי מינורים'''. הדטרמיננטה של מטריצה בגודל <math>1\times 1</math> הוא האיבר היחיד שלה. כעת נראה כיצד ניתן לחשב דטרמיננטה מסדר <math>n\times n</math> כאשר <math>n\geq 2</math>. ה[[מינור (אלגברה ליניארית)|מינור]] של איבר במטריצה <math>A</math> הוא הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת על ידי מחיקת השורה והעמודה של אותו איבר מהמטריצה, כך שמתקבלת מטריצה בגודל <math>(n-1)\times (n-1)</math> (את הדטרמיננטה הזו, של מטריצה קטנה יותר, אנו כבר יודעים לחשב). נסמן את המינור המתקבל ממחיקת הרכיב <math>A_{ij}</math> (שהוא הרכיב ה-<math>(i,j)</math> של המטריצה) ב-<math>A^{ij}</math>. הדטרמיננטה ניתנת כעת לחישוב בצורה <math>\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}A_{ij}A^{ij}</math> -- זהו '''פיתוח לפי השורה ה-<math>i</math>'''. פיתוח לפי העמודה ה-<math>j</math> מתקבל מנוסחה דומה: <math>\det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}A_{ij}A^{ij}</math>. 

לדוגמה, הפיתוח לפי השורה הראשונה של מטריצה מסדר <math>3\times 3</math> נותן את הנוסחה
<math>
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}
=
a_{11}
\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}
-
a_{12}
\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix}
+
a_{13}
\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix}
</math>.

הסיבוכיות בשיטה זו דומה לחישוב הדטרמיננטה על-פי ההגדרה, ולכן אין לה ערך מעשי, אלא אם יש במטריצה שורה או עמודה שכמעט כולה אפסים. עם זאת יש בה תועלת תאורטית לא מבוטלת. לדוגמה, נובע ממנה בקלות (באינדוקציה) שהדטרמיננטה של המטריצה ה[[שחלוף (מתמטיקה)|משוחלפת]] שווה לזו של המטריצה המקורית.

=== תכונות ===

* הדטרמיננטה כפלית, כלומר <math>|A\cdot  B| = |A|\cdot|B|</math>. לכן גם:
**  <math>|tA| = t^n|A|</math>, כאשר <math>t</math> סקלר ו-<math>n</math> הוא סדר המטריצה של <math>A</math>.
** <math>|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}</math>, אם <math>A</math> [[מטריצה הפיכה]].
** <math>|A^k|=|A|^k</math>, כאשר <math>k\geq1</math> טבעי.
* <math>|A^{\top}| = |A|</math>, כאשר <math>A^{\top}</math> היא [[מטריצה משוחלפת|המטריצה המשוחלפת]] של <math>A</math>.
* <math>|A|=0</math> אם ורק אם <math>A</math> מטריצה שאינה הפיכה.
* <math>|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{n-1}</math> כאשר <math>\operatorname{adj}(A)</math> היא [[מטריצה מצורפת|המטריצה המצורפת]] של <math>A</math> ו-<math>n</math> הוא סדר המטריצה של <math>A</math>.

'''[[זהות ויינשטיין-ארונסיין|משפט סילבסטר]]''' קובע שלכל שתי מטריצות <math>A \in M_{n \times k}(F)</math> ו-<math>B \in M_{k \times n}(F)</math> מתקיים השוויון <math>\operatorname{det}(I_n-AB) = \operatorname{det}(I_k-BA)</math>.

== הפירוש הגאומטרי של הדטרמיננטה ==
ניתן לראות בדטרמיננטה פונקציה של איברי המטריצה שערכה מבטא את פקטור ההגדלה ה[[נפח]]ית של [[טרנספורמציה ליניארית|הטרנספורמציה הליניארית]] המיוצגת על ידי המטריצה.
[[קובץ:Area parallellogram as determinant.svg|שמאל|200px|ממוזער|[[שטח]] ה[[מקבילית]] באיור הוא הדטרמיננטה של המטריצה המיוצגת על ידי וקטורי צלעות המקבילית. טרנספורמציות גזירה אינן משנות את [[גובה (גאומטריה)|גובה]] המקבילית ולכן גם לא משנות את שטחה; לעומת זאת, כפל שורה בסקלר מגדיל את אחת מצלעות המקבילית ולכן משנה את שטחה.]]
בצורה פורמלית, אם ''<math>A</math>'' היא מטריצה ממשית מסדר <math>n\times n</math>, אז כפל המטריצה בוקטורי [[הבסיס הסטנדרטי]] של המרחב <math>\mathbb{R}^n</math> ייתן את ווקטורי העמודה של המטריצה:
:<math>A\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}=\mathbf{a}_1, \quad A\begin{pmatrix}0\\1\\ \vdots \\0\end{pmatrix}=\mathbf{a}_2, \ldots, \quad  A\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}=\mathbf{a}_n. 
</math>

פירוש הדבר הוא שהטרנספורמציה המיוצגת על ידי <math>A</math> מעתיקה את [[היפרקובייה|קוביית היחידה ה-n ממדית]] ל[[מקבילון]] ה-''<math>n</math>'' ממדי שקואורדינטות קודקודיו מיוצגות על ידי ווקטורי העמודה של המטריצה <math>\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots,  \mathbf{a}_n</math>, ואשר הפנים שלו מוגדר על ידי התחום: <math>P = \{ c_1 \mathbf{a}_1 +\cdots+c_n\mathbf{a}_n \mid 0 \leq c_i\leq 1 \ \forall i \}.</math>. הדטרמיננטה תיתן את הנפח [[אוריינטציה (אלגברה ליניארית)|המכוון]] של המקבילון הזה, כלומר <math>\det(A) = \pm \text{vol}(P)</math> (הסימן מראה האם הטרנספורמציה הליניארית משמרת או הופכת את [[אוריינטציה (אלגברה ליניארית)|אוריינטציית]] המקבילון{{הערה|[[שיקוף (מתמטיקה)|שיקופים]] למשל, בשונה מסיבובים, אינם משמרים אוריינטציה של המקבילון.}}).

ניתן להיווכח בכך שהדטרמיננטה מקיימת את כל התכונות הנדרשות מפונקציית נפח - שכן פעולות אלמנטריות משנות את הדטרמיננטה באופן זהה לשינוי שהן גורמות לנפח המקבילון. הפעולה האלמנטרית של כפל שורה בסקלר <math>\lambda</math> שקולה להארכת אחת מ[[צלע (גאומטריה)|צלע]]ות המקבילון פי אותו פקטור; הפעולה מגדילה את שטח ה[[פאה (גאומטריה)|פאה]] המכילה את הצלע באותו פקטור, ובאופן רקורסיבי פועלת כמתיחה בפקטור <math>\lambda</math> על פנים המקבילון, באנלוגיה להליך חישוב הדטרמיננטה לפי [[מינור (אלגברה ליניארית)|מינור]]ים. הוספת כפולה של שורה לשורה אחרת ניתנת לייצוג על ידי כפל ב[[מטריצה אלמנטרית]] השקולה ל[[מאמץ גזירה|העתקת גזירה]], ולכן פועלת כטרנספורמציה אשר משנה את זוויות המקבילון אך אינה משפיעה על נפחו (ככל גזירה).

בדרך זו ניתן גם להבין את מושג ה[[מטריצה הפיכה|הפיכות]] של מטריצה בצורה שונה; מטריצה מסדר <math>n\times n</math> בעלת דטרמיננטה אפס מעתיקה את קוביית היחידה ה-''<math>n</math>'' ממדית למקבילון בעל נפח 0 שאינו יכול להיות ''<math>n</math>''-ממדי, מה שמעיד על כך שממד ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של ''<math>A</math>'' נמוך מ-''<math>n</math>''. פירוש הדבר הוא ש-''<math>A</math>'' מייצגת טרנספורמציה ליניארית שאינה [[פונקציה על|על]] ואינה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד ערכית]], ולכן אין לה מטריצה הופכית (אין [[פונקציה הפיכה|טרנספורמציה הופכית]] לטרנספורמציה שהיא מייצגת).

==הדטרמיננטה ב[[אנליזה וקטורית|אנליזה ווקטורית]]==

בשל הפירוש הגאומטרי של הדטרמיננטה שצוין לעיל, אם <math>S</math> קבוצה כלשהי במרחב הממשי <math>\mathbb{R}^n</math>, אז הנפח של <math>A\cdot S</math> שווה לנפח של <math>S</math> מוכפל בדטרמיננטה של <math>A</math> (עובדה המסבירה את הופעתו של ה[[יעקוביאן]] בחישובי [[אינטגרל רב-ממדי|אינטגרלים מרובים]]). 
*באמצעות דטרמיננטה של מטריצה <math>3\times 3</math> אפשר לרשום ביטוי שקל לזכור ומקל לחשב את [[מכפלה וקטורית|המכפלה הווקטורית]] ב-<math>\mathbb{R}^3</math> באופן הבא:
*:<math>\vec A\times\vec B=
\begin{vmatrix} 
\hat x & \hat y & \hat z \\
A_x & A_y & A_z \\
B_x & B_y & B_z \\
\end{vmatrix}
 =(A_yB_z-A_zB_y)\hat x-(A_xB_z-A_zB_x)\hat y+(A_xB_y-A_yB_x)\hat z
</math>

== הדטרמיננטה כפונקציית נפח ==
כפי שראינו עבור <math>A</math> [[מטריצה]] ממשית ריבועית מסדר 2, הדטרמיננטה שלה מייצגת את השטח של המקבילית הנפרשת על ידי ווקטורי השורות של A (או עמודותיה). למעשה, הגדירו את הדטרמיננטה של מטריצה כפונקציה שמקבלת מטריצה ומחזירה את "השטח המכוון" של המקבילון הנפרש על ידי השורות (עמודות) שלה. מי אמר שיש פונקציה יחידה כזאת? כפי שנראה, יש רק דרך אחת להגדיר פונקציה נפח וזאת הגדרת הדטרמיננטה שאותה אנו מכירים.

=== הגדרה ===
יהי <math>F</math> [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] ותהי <math>V:(F^{n})^{n} \to F</math>. נאמר ש- <math>V</math> [[פונקציה|פונקציית]] נפח אם ורק אם

# <math>V</math> ליניארית בכל אחד מהמשתנים (מולטי - ליניאריות).
# לכל <math>a_{1},a_{2},\dots,a_{n} \in F^{n}</math>, אם שניים מהם שווים אז <math>V(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = 0</math>.
# <math>V(e_{1}, \dots, e_{n}) = 1</math> כאשר <math>e_{1}, \cdots, e_{n}</math> הם איברי הבסיס הסטנדרטי של <math>F^{n}</math>.
(מן הליניאריות והתכונה השנייה נובע שאם B מתקבלת מ-A על ידי החלפת שתי שורות, אז <math>V(B)=-V(A)</math>).

נרשה לעצמנו להסתכל על איברים מ- <math>M_{n}(F)</math> כאל איברים מ- <math>(F^{n})^{n}</math> כך שכל מטריצה <math>A \in M_{n}(F)</math> מיוצגת כאל <math>n</math>-יה של ווקטורי השורות שלה. כך, '''נוכל''' '''להסתכל על כל פונקציית נפח כאל פונקציה מ- <math>M_{n}(F)</math> ל- <math>F</math>''' באופן שתיארנו.

=== הוכחה ===
נסמן את שורותיה של <math>A</math> ב- <math>a_{1},\dots,a_{n}</math> (בהתאמה) ושל <math>B</math> ב- <math>b_{1}, \dots,b_{n}</math> (גם בהתאמה). נניח ש- <math>B</math> התקבלה מ- <math>A</math> על ידי החלפת השורה ה- <math>i</math> עם ה- <math>j</math>. 

<math>V(A)=V(a_{1},\dots,a_{i},\dots,a_{j},\dots,a_{n})
 </math>

<math>=V(a_{1},\dots,a_{i},\dots,a_{j},\dots,a_{n}) + 0 </math>

<math>
=^{2}V(a_{1},\dots,a_{i},\dots,a_{j},\dots,a_{n}) + V(a_{1},\dots,a_{i},\dots,a_{i},\dots,a_{n})</math>

<math>

=^{1} V(a_{1},\dots,a_{i},\dots,a_{j} + a_{i},\dots,a_{n})
</math>

<math>

= V(a_{1},\dots,a_{i},\dots,a_{j} + a_{i},\dots,a_{n}) - 0</math>

<math>


=^{2} V(a_{1},\dots,a_{i},\dots,a_{j} + a_{i},\dots,a_{n}) - V(a_{1},\dots,a_{i} + a_{j},\dots,a_{j} + a_{i},\dots,a_{n})</math>

<math>



=^{1}V(a_{1},\dots,-a_{j},\dots,a_{j} + a_{i},\dots,a_{n})</math>

<math>




=^{1}-V(a_{1},\dots,a_{j},\dots,a_{j},\dots,a_{n}) -V(a_{1},\dots,a_{j},\dots,a_{i},\dots,a_{n})</math>

<math>





=^{2}0 -V(a_{1},\dots,a_{j},\dots,a_{i},\dots,a_{n}) </math>

<math>






=-V(a_{1},\dots,a_{j},\dots,a_{i},\dots,a_{n})</math>

<math>







=-V(b_{1},\dots,b_{i},\dots,b_{j},\dots,b_{n})=-V(B)</math>

<math>\blacksquare</math>

כעת בהינתן פונקציית נפח <math>







V</math> ומטריצה ריבועית מסדר <math>





n </math>, <math>







A = (a_{ij})_{n \times n}</math> מעל שדה <math>







F</math> שאת שורותיה נסמן ב- <math>







a_{1}, \dots, a_{n}</math> בהתאמה<math>







V(A) 
= V(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})
=V(\sum_{x_{1}=1}^n a_{x_1,1}e_{x_1}, \sum_{x_{2}=1}^n a_{x_2,2}e_{x_2},\dots,\sum_{x_{n}=1}^n a_{x_n,n}e_{x_n})
=^{1}\sum_{1 \leq x_{1},\dots,x_{n} \leq n}a_{x_{1},1}\cdots a_{x_{n},n}V(e_{x_{1}},\dots,e_{x_{n}})</math>

ומתכונה 2 של פונקציית הנפח ניתן להיווכח כי מספיק לסכום על אוסף [[תמורה (מתמטיקה)|התמורות]] - <math>





S_{n} </math>

<math>





V(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma(1), 1}\cdots a_{\sigma(2),2}V(e_{\sigma(1)}, \dots,e_{\sigma(n)})
=^{*}\sum_{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma(1), 1}\cdots a_{\sigma(2),2}\cdot sgn(\sigma)V(e_{1}, \dots,e_{n})
=^{3}\sum_{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma)a_{\sigma(1), 1}\cdots a_{\sigma(2),2} </math>

(*) - מחליפים <math>





k </math> שורות עד שמגיעים לרצף <math>





(e_{1},\dots, e_{n}) </math> ועם כל החלפה כופלים במינוס 1. מתכונות התמורה <math>





k </math> הוא מספר ההיפוכים של <math>





\sigma </math> ולכן, <math>





(-1)^{k} = sgn(\sigma) </math> 

ובכך הוכח כי פונקציית נפח היא '''יחידה'''.


עדיין לא הוכח שבכלל קיימת פונקציית נפח. ההוכחה מסורבלת אבל ניתן להוכיח שלכל <math>





n </math> טבעי קיימת פונקציית נפח יחידה <math>





V_{n} : M_{n}(F) \to F </math>. ואם <math>2\leq n</math>  לכל <math>





1 \leq i \leq n </math>

<math>





V_{n} = \sum_{j=1}^n(-1)^{i + j}V_{n-1}(A_{j,i}^{M}) </math> כאשר <math>





A_{j,i}^{M} </math> היא המטריצה המתקבלת מ- <math>A</math> על ידי מחיקת השורה ה- <math>





{i} </math> והעמודה ה- <math>





j </math>.

==ראו גם==
* [[מכפלה מעורבת]]
* [[מכפלה וקטורית]]
* [[פרמננטה]]
* [[ערך עצמי]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html היסטוריה של מטריצות ודטרמיננטות]
* {{לא מדויק|2011/11/10/determinants|דטרמיננטות}}
* {{לא מדויק|2024/12/03/computing_determinants|איך מחשבים דטרמיננטה?}}
* סרטונים המדגימים חישוב דטרמיננטה: [https://web.archive.org/web/20090630004406/http://www.bigsigma.com/demo/determinant-3x3-first-row פיתוח דטרמיננטה לפי שורה ראשונה] ו[https://web.archive.org/web/20090630004411/http://www.bigsigma.com/demo/determinant-3x3-sarrus-rule פיתוח דטרמיננטה לפי חוק סארוס]
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Determinant}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007550422505171|גורמים}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{אלגברה ליניארית}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:דטרמיננטות|*]]
[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]