הצגת המקור של הדף "דיברגנץ"

ב[[אנליזה וקטורית]], ה'''דיברגנץ''' (ב[[אנגלית]]: '''Divergence''') הוא [[אופרטור]] המופעל על [[שדה וקטורי]]. הדיברגנץ משייך לכל [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] במרחב ערך מספרי המתאר את צפיפות המקורות של השדה הווקטורי שעליו הוא מופעל.

==סימון==
אם <math>\vec F</math> [[פונקציה]] וקטורית שהדיברגנץ שלה הוא הפונקציה הסקלרית <math>f</math>, מסמנים <math>f = \operatorname{div} \vec{F} = \vec \nabla \cdot \vec F </math>, כאשר <math>\vec{\nabla}</math>הוא [[נבלה_(סימן)|הנבלה]].

ניתן לראות מהסימון כי הדיברגנץ הוא סקלר, מכיוון ש[[מכפלה סקלרית]] של ווקטור (<math>\vec{\nabla}</math>) בווקטור (<math>\vec F</math>) מחזירה סקלר.

==מבוא אינטואיטיבי==
הדיברגנץ מאפשר לכמת את צפיפות המקורות של שדה. באנלוגיה מתחום ה[[נוזל]]ים והזרימה, אם מחזיקים בתוך זורם שלד של קובייה (רק המקצועות, ללא הפאות), ומבקשים לדעת כמה מים נטו יוצאים או נכנסים לתוך הקובייה, מודדים כמה מים זורמים דרך כל פאה ובאיזה כיוון (מים שיוצאים החוצה נספרים בסימן חיובי ואילו מים שנכנסים לקובייה נספרים בסימן שלילי), אם בסך הכל יוצאים מים מהקובייה, ניתן לספור את השטף שנפלט ממנה, ואילו אם בסך הכל נכנסים מים לקובייה, ניתן לכמת את השטף שנבלע מתוכה (מנוקז דרכה).

כלומר, באמצעות מדידת השטף דרך שטח מסוים, יודעים כמה "ברזים" או "חורי ניקוז" יש בתוך הנפח הכלוא בתוכו. כדי לחשב את צפיפות ה"ברזים"/"חורי ניקוז", מחלקים בנפח הקובייה. הדיברגנץ מודד בדיוק את אותו דבר - את צפיפות ה"ברזים" או "חורי ניקוז" - ב[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] במרחב. כדי לחשב את הגודל הזה, "בונים" סביב הנקודה קובייה [[אינפיניטסימל]]ית, ואז לוקחים את ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] כאשר הנפח שלה שואף ל-0, ומקבלים את הדיברגנץ.

תופעה זו, שכמות המקורות בנפח נתון שווה לשטף הכולל היוצא (או הנכנס) מדפנות אותו הנפח, היא עובדה בעלת חשיבות רבה ב[[אנליזה וקטורית]], ונקראת [[משפט הדיברגנץ]] (או משפט גאוס).

==הגדרה פורמלית==
יהי <math>\vec F</math> שדה וקטורי גזיר ברציפות, ויהי <math>V</math> תחום במרחב הכולל נקודה <math>p</math> אשר שפתו <math> \ \partial V</math>.

הדיברגנץ של השדה <math>\vec F</math> בנקודה <math>p</math> הוא:
: <math>\nabla \cdot\vec F (p) = \lim_{V \to 0}\frac{\oiint_{\partial V}\vec{F} \cdot d\vec a}{V}</math>

ב[[מרחב אוקלידי]] תלת־ממדי המתואר על ידי [[מערכת צירים קרטזית|קואורדינטות קרטזיות]], הדיברגנץ הוא:

: <math>\nabla \cdot \vec{F}(x,y,z) = \frac{\partial{F}_{x}}{\partial x} + \frac{\partial{F}_{y}}{\partial y} + \frac{\partial{F}_{z}}{\partial z}</math>

כאשר <math>\vec F = \{ {\ F}_{x}, {\ F}_{y}, {\ F}_{z}\}</math>, כלומר <math>{F}_{x}</math>, {{כ}}<math>{F}_{y}</math> ו־<math>{F}_{z}</math> הם רכיביו הקרטזיים של <math>\vec F </math>.

הכללה למערכת [[קואורדינטה|קואורדינטות]] [[אורתוגונליות|אורתוגונלית]] כלשהי:

<math>\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\left[ \frac{\partial }{\partial q_{1}}\left( F_{1}h_{2}h_{3} \right)+\frac{\partial }{\partial q_{2}}\left( F_{2}h_{3}h_{1} \right)+\frac{\partial }{\partial q_{3}}\left( F_{3}h_{1}h_{2} \right) \right]</math>

כאשר:
* <math>h_{i}</math> הוא גודל הווקטור <math>\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}}</math>
* <math>F_{i}</math> הוא רכיב הווקטור בכיוון <math>q_{i}</math>

נקבל אם כן עבור [[קואורדינטות גליליות]]:

<math>\nabla\cdot\vec{F}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(rF_r\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta}+\frac{\partial F_z}{\partial z}</math>

ועבור [[קואורדינטות כדוריות| קואורדינטות כדוריות]]:

<math>\nabla\cdot\vec{F} = \frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 F_r\right) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta\, F_\theta) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}</math>

==תכונות==
* ערכי הדיברגנץ:
*# אם <math>\vec \nabla \cdot \vec F = 0 </math>, אז <math>\vec F</math> ייקרא "שדה חסר מקורות", כלומר שמספר "החלקיקים" שנכנסים לנפח אינפיניטסימלי (בהשפעת השדה הווקטורי) שווה למספר החלקיקים היוצאים מהנפח.
*# דיברגנץ חיובי – מספר "החלקיקים" שנכנסים לנפח אינפיניטסימלי (בהשפעת השדה הווקטורי) קטן ממספר החלקיקים שיוצאים – הנפח משמש "ברז" (מקור).
*# דיברגנץ שלילי – מספר "החלקיקים" שנכנסים לנפח אינפיניטסימלי (בהשפעת השדה הווקטורי) גדול ממספר החלקיקים שיוצאים – הנפח משמש "חור ניקוז" (מִבלע).
* יהיו <math>\mathbf{F}</math> ו-<math>\mathbf{G}</math> שדות וקטוריים כלשהם, ויהי <math>\varphi</math> [[שדה סקלרי]] כלשהו. מתקיימות התכונות הבאות:
# הדיברגנץ הוא [[אופרטור ליניארי]], קרי: <math>\nabla \cdot (\alpha \mathbf{F} + \beta \mathbf{G}) = \alpha (\nabla \cdot \mathbf{F}) + \beta (\nabla \cdot \mathbf{G})</math>
# בכלל מכפלה אחד נעשה שימוש גם באופרטור [[גרדיאנט]]:
::<math>\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F})</math>
: או ברישום אחר:
::<math>\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F})</math>
:3. כלל מכפלה עבור [[מכפלה וקטורית]] עושה שימוש גם באופרטור [[רוטור (מתמטיקה)|קרל]]:
::<math>\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G})</math>
: או ברישום אחר:
::<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \operatorname{curl}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} \;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{curl}(\mathbf{G})</math>

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [https://youtu.be/bWJLPsKhhak?list=PLW6KNQoisKdsaND4eIPz3Ye9cA4ShlOy8&t=2562 HIT משפט הדיברגנץ] - הסבר אינטואיטיבי על משפט הדיברגנץ בעברית
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Divergence}}
* {{בריטניקה}}
* {{MathWorld}}

{{אנליזה וקטורית}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אנליזה וקטורית]]
[[קטגוריה:אופרטורים דיפרנציאליים]]