הצגת המקור של הדף "דמיון מטריצות"

'''דמיון''' הוא [[יחס שקילות]] בין [[מטריצה ריבועית|מטריצות ריבועיות]] מאותו גודל, המוגדר באופן כזה ששתי מטריצות דומות זו לזו אם הן מייצגות את אותה [[טרנספורמציה ליניארית]], ב[[בסיס (אלגברה)|בסיסים]] שונים. 

המונח 'דמיון' בהקשר זה אינו מוצלח, משום שמדובר במקרה פרטי של יחס ה[[מחלקת צמידות|צמידות]] מ[[תורת החבורות]], אלא שהמונח [[השתרשות|השתרש]] ללא תקנה. גם ב[[אנגלית]] מקובל לקרוא למטריצות דומות similar matrices, בעוד שצמידות היא conjugacy. 

== הגדרה ==

מטריצות ריבועיות <math>\ A, B</math> בגודל <math>\ n \times n</math> הן '''דומות''' אם קיימת [[מטריצה הפיכה|מטריצה ריבועית הפיכה]] <math>\ P</math>, כך ש-<math>\ A = P^{-1}BP</math>. 

יחס הדמיון הוא [[יחס שקילות]], משום שהוא [[יחס רפלקסיבי|רפלקסיבי]] (כל מטריצה דומה לעצמה: ניקח <math>\ P=I</math>, [[מטריצת היחידה]]), [[יחס סימטרי|סימטרי]] (אם <math>\ A = P^{-1}BP</math> אז <math>\ B = P A P^{-1}</math>) ו[[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]] (אם <math>\ A = P^{-1}BP</math> וגם <math>\ B = Q^{-1}CQ</math> אז <math>\ A = P^{-1}(Q^{-1}CQ)P = (QP)^{-1}C(QP) </math>, כך ש-<math>\ A</math> דומה ל-<math>\ C</math>).

== מטריצות והעתקות ליניאריות ==

כל [[העתקה ליניארית]] ממרחב וקטורי <math>\,V</math> (בעל ממד סופי) אל עצמו, אפשר לייצג במטריצה ריבועית. הייצוג תלוי בבחירת [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] למרחב, וכשמייצגים את אותה העתקה בשני בסיסים, מתקבלות מטריצות דומות. מטריצות דומות אינן אלא הצגות שונות לאותו אובייקט. זוהי הסיבה לחשיבות של בעיית המיון של מטריצות למחלקות דמיון, כלומר, מציאת דרך לקבוע מתי שתי מטריצות נתונות דומות זו לזו.

==מאפיינים ומיון למחלקות==

למטריצות דומות יש אותו [[פולינום אופייני]] (ולכן גם אותם [[דטרמיננטה]], [[עקבה (אלגברה)|עקבה]] ו[[ערך עצמי|ערכים עצמיים]]), אותו [[פולינום מינימלי]], ואותה [[דרגה (אלגברה ליניארית)|דרגה]]. בדרך כלל תכונות אלו אינן מספיקות כדי להבטיח דמיון: אם לשתי מטריצות בגודל <math>\ 2\times 2</math> או <math>\ 3\times 3</math> יש אותם פולינום אופייני ופולינום מינימלי, אז הן דומות, אבל למטריצות גדולות יותר טענה זו אינה נכונה.

מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה [[צורה רציונלית]]. כאשר הפולינום האופייני מתפרק לגורמים ליניאריים (וזה תמיד כך מעל [[שדה סגור אלגברית]]), מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה [[צורת ז'ורדן]]. 

==דמיון למטריצות מיוחדות==

מטריצה הדומה ל[[מטריצה אלכסונית]] (מטריצה שכל איבריה שמחוץ לאלכסון הראשי שווים לאפס) נקראת "[[מטריצה לכסינה]]" (או: "מטריצה ניתנת ללכסון"). תנאי הכרחי ומספיק לכך הוא שכל ה[[ערך עצמי|ערכים העצמיים]] של המטריצה נמצאים בשדה המדובר, ושהריבוי הגאומטרי של כל אחד מהם שווה לריבויו האלגברי. בפרט, זה קורה כאשר למטריצה בגודל <math>\ n\times n</math> ישנם n ערכים עצמיים שונים.

אחד המשפטים החשובים באלגברה ליניארית קובע שמעל [[שדה סגור אלגברית]], כל מטריצה דומה ל[[צורת ז'ורדן|מטריצת ז'ורדן]] אחת ויחידה ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] סדר הבלוקים).

=== התלות בשדה הבסיס ===

א-פריורי, השאלה אילו מטריצות דומות זו לזו תלויה גם ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] שמעליו הן מוגדרות. לכאורה, היה צריך לומר ששתי מטריצות <math>\ A</math> ו- <math>\ B</math> בעלות רכיבים בשדה <math>\ \mathbb F</math> הן 'דומות מעל <math>\ \mathbb F</math>', אם קיימת מטריצה <math>\ P</math> הפיכה, בעלת מקדמים '''באותו שדה''', המקיימת את התנאי <math>\ A = P^{-1}BP</math>. נראה כאילו זה אפשרי שמטריצות תהיינה דומות מעל הרחבה של <math>\ \mathbb F</math> (המאפשרת יותר חופש בבחירת <math>\ P</math>), גם אם אינן דומות מעל <math>\ \mathbb F</math>. אלא שבפועל המצב פשוט יותר: אם שתי מטריצות המוגדרות מעל <math>\ \mathbb F</math> דומות מעל איזשהו שדה (גדול ככל שיהיה), אז הן דומות כבר מעל <math>\ \mathbb F</math>. ההוכחה לעובדה זו דורשת את התאוריה של [[צורה רציונלית|צורות רציונליות]] של מטריצות.

==ראו גם==

* [[אלגברה ליניארית]]
* [[מטריצה]]
* [[טרנספורמציה ליניארית]]
* [[ערך עצמי]]

{{אלגברה ליניארית}}

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]
[[קטגוריה:יחסי שקילות]]
[[קטגוריה:מטריצות]]