הצגת המקור של הדף "דרגה (אלגברה ליניארית)"

{{מקורות|נושא=מדע וטכנולוגיה}}
{{פירוש נוסף|נוכחי=דרגה בהקשר של [[אלגברה ליניארית]]|ראו=[[דרגה (פירושונים)]]}}
ב[[אלגברה ליניארית]], '''דרגת העמודות''' <math>\ \rho_{C}(A)</math> של [[מטריצה]] <math>A</math> מוגדרת להיות [[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] מרחב העמודות שלה, כלומר, המספר המקסימלי של [[וקטור עמודה|וקטורי עמודה]] [[תלות ליניארית|בלתי תלויים ליניארית]] מבין עמודות המטריצה. באופן דומה, '''דרגת השורות''' <math>\ \rho_{R}(A)</math> של <math>\ A</math> היא ממד מרחב השורות שלה. דרגת העמודות שווה תמיד לדרגת השורות של המטריצה, ולכן מקובל לקרוא לערך המשותף שלהן '''דרגת המטריצה''' <math>\ A</math> ולסמנו <math>\ \mbox{rank}\left(A\right)</math>.

הדרגה של מטריצה <math>m \times n</math> היא לכל היותר <math>\min(m,n)\,\!</math>. מטריצה שדרגתה שווה לערך זה נקראת מטריצה מ'''דרגה מלאה'''. מטריצה שדרגתה נמוכה יותר נקראת מטריצה מ'''דרגה חסרה'''.

דרך פשוטה למצוא דרגה של מטריצה היא [[דירוג מטריצות|לדרג]] אותה לצורה הקנונית שלה ואז לספור את כל השורות שהן לא שורות אפסים. שיטה זו עובדת כיוון ש[[דירוג מטריצה |פעולות שורה]] לא משפיעות על [[מרחב וקטורי|המרחב]] ה[[קבוצה פורשת|נפרש]] של השורות (span) ולכן אחרי דירוג נוכל לראות בדיוק כמה שורות [[תלות ליניארית|בלתי תלויות ליניארית]] זו בזו, זה ייתן את [[ממד (אלגברה ליניארית)|מימד]] מרחב השורות שזהו כמובן הדרגה של המטריצה.

כיוון שממד מרחב הפתרונות של [[מערכת משוואות ליניאריות]] קשור באופן ישיר בדרגה של המטריצה המייצגת אותה, ניתן להבין אינטואיטיבית את מושג הדרגה כמדד ל-"[[מקרה מנוון|חוסר הניוון]]" של המערכת.    

== הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות ==
העובדה שדרגת העמודות ודרגת השורות של כל מטריצה הן שוות מהווה חלק חשוב של [[המשפט היסודי של האלגברה הליניארית]]. להלן מוצגת הוכחה לטענה זו, התקפה מעל כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].
 
תהי <math>A</math> מטריצה מסדר <math>m\times n</math> (עם <math>m</math> שורות ו-<math>n</math> עמודות). תהי <math>r</math> דרגת העמודות של ''<math>A</math>'' ויהיו הווקטורים <math>c_1,\ldots,c_r</math> בסיס כל שהוא למרחב העמודות של ''<math>A</math>''. נפעיל Rank factorization על המטריצה ''<math>A</math>'': נייצג את וקטורי הבסיס למרחב העמודות של ''<math>A</math>'' בצורה סכמטית כמטריצה ''<math>C</math>'' מסדר ''<math>m\times r</math>''. כל עמודה של ''<math>A</math>'' ניתנת להצגה כצירוף ליניארי של ''<math>r</math>'' העמודות של <math>C</math>. פירוש הדבר הוא שקיימת מטריצה <math>R</math> מסדר <math>r\times n</math> כך ש- <math>A=CR</math>. בשפה של [[העתקה ליניארית|העתקות ליניאריות]], הצגנו את ההעתקה הליניארית מ-<math> \mathbb R ^n </math> ל-<math> \mathbb R ^m </math> (המיוצגת על ידי ''<math>A</math>'') כ[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] של העתקה מ-<math> \mathbb R ^n </math> ל-<math> \mathbb R ^r </math> עם העתקה מ-<math> \mathbb R ^r </math> ל-<math> \mathbb R ^m </math>. המטריצה <math>R</math> היא המטריצה שבה העמודה ה- <math>i</math> נוצרת מהמקדמים שמייצגים את העמודה ה- <math>i</math> של ''<math>A</math>'' כצירוף ליניארי של <math>r</math> העמודות של ''<math>C</math>''. כעת, כל שורה <math>j</math> של ''<math>A</math>'' ניתנת להצגה כצירוף ליניארי של ''<math>r</math>'' השורות של ''<math>R</math>'', עם מקדמים ששווים למקדמי השורה ה- <math>j</math> של ''<math>C</math>''. לפיכך, השורות של ''<math>R</math>'' פורשות את מרחב השורות של ''<math>A</math>'', ולפי [[למת ההחלפה של שטייניץ]], דרגת השורות של ''<math>A</math>'' לא יכולה לעלות על ''<math>r</math>''. זה מוכיח שדרגת השורות של ''<math>A</math>'' קטנה או שווה לדרגת העמודות. את תוצאה זו ניתן ליישם לכל מטריצה, כך שנפעיל אותה על [[שחלוף (מתמטיקה)|המטריצה המשוחלפת]] של ''<math>A</math>''. כיוון שדרגת השורות של המטריצה המשוחלפת של ''<math>A</math>'' שווה לדרגת העמודות של ''<math>A</math>'' ודרגת העמודות של המטריצה המשוחלפת של ''<math>A</math>'' שווה לדרגת השורות של ''<math>A</math>'', ניתן להקיש גם את האי-שוויון ההפוך ומשניהם יחד את השוויון של דרגת השורות ודרגת העמודות של ''<math>A</math>''.

==משפטים הקשורים לדרגה==
*ב[[מטריצה ריבועית]] מסדר <math>n \times n</math>:
**דרגת המטריצה קטנה מ-<math>\ n</math> אם ורק אם ה[[דטרמיננטה]] שווה לאפס.
** דרגת המטריצה שווה ל-<math>\ n</math> אם ורק אם המטריצה היא [[מטריצה רגולרית]] (הפיכה).
* הרכבה של מטריצה מסדר <math>n \times m</math> ומטריצה הפיכה ריבועית <math>n \times n</math>, לא משנה את דרגת המטריצה.
*ל[[מערכת משוואות ליניאריות]] קיים פתרון, אם ורק אם דרגת [[מטריצת המקדמים]] שלה שווה לדרגת [[מטריצת המקדמים המצומצמת]] שלה.
*יהי <math>\ P</math> [[מרחב פתרונות|מרחב הפתרונות]] של מערכת משוואות ליניאריות הומוגנית A ב-<math>\ n</math> משתנים, אז <math>\ \mbox{rank}\left(A\right)=n-\dim\left(P\right)</math> (משפט זה ידוע כ"משפט הדרגה")
*אם <math>V</math> ו-<math>W</math> הם [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\mathbb{F}</math> ו-<math>T:V \to W</math> היא [[העתקה ליניארית]], מגדירים את הדרגה של <math>T</math> להיות ה[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] של ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] שלה: <math>\mbox{rank}\left(T\right)=\dim\mbox{Im}\left(T\right)</math>. אם <math>V</math> ו-<math>W</math> הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים ו-<math>A</math> היא [[מטריצה#מטריצה כייצוג של העתקה ליניארית|המטריצה המייצגת]] של <math>T</math> ביחס לבחירה כלשהי של בסיסים על <math>V</math> ו-<math>W</math>, אז מתקיים <math>\mbox{rank}\left(T\right)=\mbox{rank}\left(A\right)</math>, ללא תלות בבסיסים שנבחרו. לכן במקרה הסוף-ממדי, דרגה של מטריצה ודרגה של העתקה ליניארית הם מושגים שקולים.
*אי שוויון [[ג'יימס ג'וזף סילבסטר|סילבסטר]]: אם <math>A</math> מטריצה מסדר <math>m \times n</math> ו-''<math>B</math>'' מטריצה מסדר <math>n \times k</math> אז:
:<math>\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B)</math>
כאשר שוויון מתקבל רק אם ה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] של ''<math>A</math>'' מוכל כולו בתמונה של ''<math>B</math>''.
*בהינתן ''<math>A</math>'' ו-''<math>B</math>'' שתי מטריצות מאותו סדר, אז
:<math>\operatorname{rank}(A+ B) \le \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) </math>

* אם <math>A</math> מטריצה מסדר <math>m \times n</math> ו-''<math>B</math>'' מטריצה מסדר <math>n \times k</math> אז <math>\min\left\{\operatorname{rank}\left(A\right),\operatorname{rank}\left(B\right)\right\}\geq\operatorname{rank}\left(AB\right)</math>.

* לכל מטריצה ''<math>A</math>'' מעל [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]] מתקיים שוויון בין הדרגה שלה לזו של ה[[גרמיאן]] המתאים לה:
:<math>\operatorname{rank}(A^\mathrm{T} A) = \operatorname{rank}(A A^\mathrm{T}) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^\mathrm{T})</math>

* הדרגה של מטריצה  ''<math>A</math>'' היא מספר [[ערך סינגולרי|הערכים הסינגולריים]] השונים מאפס ב[[פירוק לערכים סינגולריים]] (SVD) שלה.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{אלגברה ליניארית}}

[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]