הצגת המקור של הדף "האלכסון של קנטור"

{{סימון מתמטי}}
'''האלכסון של קנטור''' היא [[הוכחה|הוכחתו]] של [[גאורג קנטור]] משנת [[1891]] שה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]] אינם [[קבוצה בת מנייה|בני מנייה]]. כלומר, לא קיימת [[פונקציה חד-חד-ערכית]] בינם לבין ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]].

הוכחה זו מראה שיש לפחות שתי [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמות]] [[עוצמה אינסופית|אינסופיות]] שונות, כלומר שני גדלים שונים של אינסוף: העוצמה של המספרים הטבעיים, שאותה סימן קנטור באות העברית <math>\!\ \aleph_0</math> (קרי: [[אלף אפס|אָלֶף אֶפֶס]]), ועוצמת הממשיים, שאותה סימן באות <math>\!\ \aleph</math> (זה הסימון המקובל בקרב המתמטיקאים עד היום). [[משפט קנטור]] מראה שקיימים [[אינסוף]] גדלים שונים של אינסוף, שכן לכל [[קבוצה אינסופית]], [[קבוצת החזקה]] שלה היא בעלת עוצמה גדולה יותר.

[[פול דו בואה ריימון]] הוא זה שהתחיל את המחקר בתחום זה. קנטור הוכיח את הטענה עוד ב-[[1874]] עם [[הוכחת האי-מנייה הראשונה של קנטור|הוכחה מוכרת פחות]]. עם זאת לאלכסון של קנטור ערך מוסף שכן הרעיון שבבסיסה, שנקרא "[[לכסון (שיטת הוכחה)|לכסון]]", שימש בעוד הוכחות רבות נוספות.

==הוכחה==
[[קובץ:Diagonal argument 2.svg|ממוזער|250px|האלכסון של קנטור – מניחים שיש רשימה של כל ה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]] בין [[0 (מספר)|0]] ל-[[1 (מספר)|1]], ומראים שיש מספר ממשי שלא מופיע ברשימה. m מייצג [[ספרה|ספרות]] שהן 0 ו-w מייצג ספרות שאינן 0.]]
ההוכחה כאן מתבססת על [[הצגה עשרונית|ההצגה העשרונית]] של המספרים הממשיים, אך היא עובדת עם כל [[בסיס ספירה]] שאינו [[בסיס אונרי]]. כל מספר ממשי ניתן להציג כסדרה אינסופית של ספרות (לעיתים כולן 0 החל ממקום מסוים). ניתן [[הוכחה|להוכיח]] שה[[קטע (מתמטיקה)|קטע]] הפתוח (0,1), המכיל את כל המספרים בין [[0 (מספר)|0]] ל-[[1 (מספר)|1]], שווה ב[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתו]] לכל [[הישר הממשי]] (כלומר קיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בינו לבין כל ה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]]). בקטע זה, ההצגה של כל מספר מתחילה בספרה 0, אחריה [[נקודה עשרונית]] ואחריה [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה אינסופית]] של ספרות. נשמיט את כל המספרים שמסתיימים בסדרה אינסופית של 9, שכן סדרות אלו מייצגות מספר ממשי שניתן לייצגו בדרך אחרת{{הערה|ראו הערך [[0.999...]]}}. כעת יש לנו התאמה חד-חד-ערכית ועל בין הסדרות האינסופיות של הספרות לבין המספרים הממשיים בקטע (0,1), שכן כל מספר ממשי בקטע מיוצג על ידי סדרת ספרות אחת בדיוק.

כעת נוכיח [[הוכחה בדרך השלילה|בדרך השלילה]] שהמספרים הממשיים בקטע (0,1) אינם [[קבוצה בת מנייה|בני מנייה]]; כלומר, נניח שלכל מספר ממשי בקטע ניתן להתאים [[מספר טבעי]] כלשהו. עתה יש לנו רשימה אינסופית של מספרים בקטע שאת הפריטים שלה נסמן כך: <math>\!\, r_1,r_2,r_3,\dots</math>. כעת נראה שיש מספר שאינו נמצא ברשימה.

נבנה את המספר הזה כך:
נבחן את הרשימה. אם הספרה במקום ה-n בפיתוח העשרוני של המספר <math>\!\, r_n</math> היא 0, במספר שלנו הספרה ה-n תהיה 1. אחרת, היא תהיה 0.

בצורה פורמלית, אם <math>\!\, r_n=0.r_n^1r_n^2\dots</math> הוא הפיתוח העשרוני של המספר <math>\!\, r_n</math>, (הספרות העליונות הן אינדקסים שמציינים את מיקום הספרה בפיתוח של המספר) הרי שהמספר שלנו יוגדר בתור <math>\!\, r=0.r^1r^2\dots</math> כאשר
<math>r^n =\left\{ \begin{matrix} 1 & r_n^n=0 \\ 0 & r_n^n \ne 0 \end{matrix} \right.</math>

דוגמה:
נניח שסדרת המספרים שלנו היא כזו:
:<math>\!\,r_1=0.\mathbf{0}105110\dots</math>
:<math>\!\,r_2=0.4\mathbf{1}32043\dots</math>
:<math>\!\,r_3=0.82\mathbf{4}5026\dots</math>
:<math>\!\,r_4=0.233\mathbf{3}126\dots</math>
:<math>\!\,r_5=0.4107\mathbf{0}46\dots</math>
:<math>\!\,r_6=0.99378\mathbf{2}8\dots</math>
:<math>\!\,r_7=0.010513\mathbf{0}\dots</math>
:<math>\!\,\dots</math>

הספרות הבולטות הן הספרות שמעניינות אותנו. בדוגמה הנוכחית, המספר שאנו בונים ייראה כך: <math>\!\,r=0.1000101\dots</math>

לפי הפיתוח העשרוני שלו, המספר אותו בנינו נמצא בקטע (0,1). אך לא ייתכן שהוא נכלל ברשימה שערכנו, שכן עבור כל מספר טבעי n דאגנו שהמספר שבנינו יהיה שונה מהמספר <math>\!\, r_n</math> בספרה אחת לפחות. נוצרה סתירה כיוון שהנחנו שכל המספרים בקטע ערוכים ברשימה ובכל זאת מצאנו אחד שאינו ברשימה. מכאן שההנחה כי אפשר בכלל לערוך רשימה לא נכונה ולכן הקטע (0,1) איננו בן מנייה.

==ראו גם==
*[[מונחים בתורת הקבוצות]]
==קישורים חיצוניים==
* {{לא מדויק|2007/08/29/cantor_diagonal/|האלכסון - אסון}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{תורת הקבוצות}}

[[קטגוריה:הוכחות]]
[[קטגוריה:אינסוף]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת הקבוצות|אלכסון של קנטור]]