הצגת המקור של הדף "הבעיה השביעית של הילברט"

'''הבעיה השביעית''' מבין [[23 הבעיות של הילברט|עשרים ושלוש הבעיות]] שהציג [[דויד הילברט]] ב[[הקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים|קונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים]] של שנת [[1900]] עוסקת ב[[מספר טרנסצנדנטי|מספרים טרנסצנדנטיים]]. הבעיה מורכבת משתי שאלות:
* ב[[משולש שווה-שוקיים]], אם ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין [[זווית]] הבסיס לזווית הראש הוא [[מספר אלגברי]] [[מספר אי-רציונלי|אי-רציונלי]], האם היחס בין הבסיס לשוק הוא תמיד מספר טרנסצנדנטי?
* האם המספר <math>\alpha^\beta</math>, כאשר <math>\alpha</math> אלגברי (שונה מאחד ואפס) ו-<math>\beta</math> אלגברי אי-רציונלי, כדוגמת <math>2^\sqrt2</math> או <math>e^\pi = (-1)^{-i}</math>, הוא תמיד מספר טרנסצנדנטי?

הילברט מציין שחקר השאלות הללו בפתח [[המאה ה-20]] מתבקש בעקבות ההישגים של [[שארל הרמיט]] (שהוכיח את ה[[טרנסצנדנטיות של e]]) ושל [[פרדיננד לינדמן]] (שהוכיח את [[משפט לינדמן]] ואת הטרנסצנדנטיות של [[פאי]]) בסוף [[המאה ה-19]]. הוא מנבא שההוכחה לטענות תהיה קשה מאוד ודרך לפתרון הבעיה יביא לפיתוחן של שיטות חדשות לחלוטין בחקר המספרים האי-רציונליים והמספרים הטרנסצנדנטיים.

הבעיה נפתרה על ידי [[אלכסנדר גלפונד]] ב-[[1934]], ובאופן בלתי תלוי על ידי [[תאודור שניידר]] ב-[[1935]]. התשובה החיובית לבעיה נקראת על שמם [[משפט גלפונד-שניידר]].

==הקשר בין השאלות==
פתרון חיובי של השאלה השנייה פותר לחיוב גם את שאלה הראשונה. הילברט ציין כי השאלה הראשונה היא למעשה ניסוח [[גאומטריה|גאומטרי]] לשאלה, האם <math>e^{i\pi x}</math> מספר טרנסצנדנטי כאשר x מספר אלגברי אי-רציונלי. זאת בשל הקשר ההדוק בין ה[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]] לפונקציית ה[[אקספוננט]] המתבטא ב[[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]]. לפי [[זהות אוילר]] <math>e^{i\pi x} = (-1)^x</math>, לכן זהו מקרה פרטי של השאלה השנייה.

==קישורים חיצוניים==
*[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob7 הניסוח המקורי של הילברט בתרגום לאנגלית]
{{23 הבעיות של הילברט}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:הבעיות של הילברט|7]]
[[קטגוריה:מספרים טרנסצנדנטיים]]