הצגת המקור של הדף "הבעיה השבע-עשרה של הילברט"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
'''הבעיה השבע-עשרה''' מבין [[23 הבעיות של הילברט|עשרים ושלוש הבעיות]] שהציג [[דויד הילברט]] בקונגרס המתמטי העולמי של שנת [[1900]], עוסקת בקשר בין [[יחס סדר|סדר]] ותכונת ה[[מספר חיובי|חיוביות]], לבין [[אריתמטיקה]] של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]]. השאלה הביאה את [[אמיל ארטין]] לפתח את תורת ה[[שדה סדור|שדות הסדורים]], העניקה דחיפה ל[[תורת המודלים]] ב[[לוגיקה מתמטית]], וקידמה רבות את המחקר ב[[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]].

* '''הבעיה'''. נניח כי <math>f \in \mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]</math> הוא [[פולינום]] ב-n משתנים, בעל מקדמים [[מספר ממשי|ממשיים]], כך שלכל הצבה של ערכים ממשיים <math>\ a_1,\dots,a_n</math> במקום המשתנים, מתקבל מספר שאינו שלילי. האם אפשר להציג את f כסכום של ריבועים של פונקציות רציונליות במשתנים <math>\ x_1,\dots,x_n</math>? ([[פונקציה רציונלית]] היא מנה של שני פולינומים).

אם הפונקציה היא סכום של ריבועים, כלומר <math>f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{i=1}^m g_i(x_1,\dots,x_n)^2</math>, אז היא בהכרח תקבל ערכים אי-שליליים בכל הצבה (משום שריבוע של מספר ממשי לעולם אינו שלילי). ב-[[1888]] גילה הילברט שהתשובה שלילית בחוג הפולינומים. כלומר: מן העובדה שפולינום הוא חיובי בכל הצבה לא נובע שאפשר להציג אותו כסכום של ריבועים של פולינומים (כאשר <math>n> 2</math>). ב-[[1893]] הוא הוכיח שהתשובה חיובית כאשר <math>n=2</math>: כל פולינום חיובי בשני משתנים, אפשר להציג כסכום של ארבעה ריבועים של פונקציות רציונליות בשני המשתנים.{{הערה|בתוצאות אלה אפשר להחליף את הממשיים בכל [[שדה סדור]] בעל סדר יחיד, כגון [[שדה סגור פיתגורי]] או [[שדה המספרים הרציונליים]], אלא שמספר הריבועים סופי, אך אינו דווקא 4.}}

בניסיון להשיב על הבעיה של הילברט, פיתחו [[אמיל ארטין]] ואוטו שרייר, באמצע [[שנות ה-20 של המאה ה-20]], את התאוריה של [[שדה סדור|שדות סדורים]], ובפרט [[שדה סגור ממשית|שדות סגורים ממשית]]. ב-[[1927]] הצליח ארטין לענות בחיוב לבעיה של הילברט, בעזרת [[משפט שטורם]] {{אנ|Sturm's theorem}} על [[שורש (של פונקציה)|אפסים]] של פולינומים.

ב-[[1953]] פתר [[סרגיי לאנג]] את הבעיה בעזרת תכונות של [[תחום שלמות|תחומי שלמות]] [[אלגברה אפינית|אפיניים]]. ב-[[1955]] חקר את הבעיה A. Robinson, שהראה שמספר הריבועים הדרושים להצגת פולינום חיובי חסום, ותלוי רק ב-n ובמעלת הפולינום. בהוכחה שלא פורסמה הכליל J. Ax את המשפט של הילברט על שני משתנים, והראה (בעזרת שיטות מ[[קוהומולוגיית גלואה]]) שמספר הריבועים הדרוש בשלושה משתנים אינו עולה על 8.

בשנות השישים פיתח [[אלברכט פיסטר (מתמטיקאי)|אלברכט פיסטר]] את התאוריה של [[תבנית פיסטר|תבניות פיסטר]], והראה שכל סכום של ריבועים מעל השדה <math>\ K=\mathbb{R}(x_1,\dots,x_n)</math> הוא למעשה סכום של <math>2^n</math> ריבועים לכל היותר (ראו [[מספר פיתגורס]]). מכיוון שכבר ידוע שכל פונקציה חיובית היא סכום של ריבועים, זוהי הוכחה לכך שמספר הריבועים הדרוש לייצוג פונקציה חיובית אינו עולה על <math>2^n</math>.

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{23 הבעיות של הילברט}}

[[קטגוריה:הבעיות של הילברט|17]]