הצגת המקור של הדף "הגבול של sin(x)/x"

כאשר ערכה של ה[[זווית]] x (ב[[רדיאן|רדיאנים]]) הולך ומתקרב לאפס, ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין ה[[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]] (<math>\sin(x)</math>) של <math>x</math> לבין <math>\ x</math> הולך ומתקרב ל-<math>\ 1</math>. בלשון [[מתמטיקה|מתמטית]], אומרים שה[[גבול של פונקציה|גבול]] של המנה <math>\ \frac{\sin(x)}{x}</math> כאשר <math>\ x</math> שואף לאפס, שווה ל-<math>\ 1</math>, ובנוסחה:
<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1</math>.

גבול זה שווה, לפי ההגדרה, לנגזרת של פונקציית הסינוס בנקודה 0. בעזרת הגבול הזה אפשר לחשב את הנגזרת של פונקציית הסינוס בכל הישר, ודרך כך לקבל עובדות בסיסיות אחרות ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] של [[פונקציה טריגונומטרית|פונקציות טריגונומטריות]], כגון [[טור טיילור|טורי טיילור]] שלהן וגבולות רבים אחרים המערבים פונקציות טריגונומטריות.

==הוכחת הזהות==
הפונקציה <math>\sin(x)/x</math> [[פונקציה זוגית|זוגית]] (הצבת x- במקום x אינה משנה את התוצאה), ולכן מספיק לחשב את ה[[גבול מימין]]. 

לטענה <math>\lim_{x\to0} \sin(x)/x = 1</math> קיימות מספר [[הוכחה|הוכחות]] מהירות, המסתמכות על עובדות ידועות, אלא שחלקן נובעות מן הזהות הזו עצמה. המכשלה הנפוצה ביותר היא השימוש ב[[כלל לופיטל]]: הנגזרת של פונקציית הסינוס היא פונקציית הקוסינוס, ועל-פי הכלל, הגבול של המנה <math>\ \frac{\sin(x)}{x}</math>, כאשר x שואף לאפס, שווה לגבולה של מנת הנגזרות, <math>\ \frac{\cos(x)}{1}</math>, השווה בתורו ל-1. אלא שאם מגדירים את פונקציית הסינוס באופן גאומטרי, כדי למצוא את הנגזרת שלה (בנקודה אפס או באופן כללי) אין מנוס משימוש בגבול שאותו אנו מנסים להוכיח כאן.

בגישה אחרת, אנליטית, מגדירים את פונקציות הסינוס והקוסינוס על-פי טורי טיילור הידועים שלהן, כלומר <math>\ \sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+\dots</math> ו- <math>\ \cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\dots</math>. אז מוכיחים שהפונקציות מקיימות את ה[[זהות טריגונומטרית|זהויות הטריגונומטריות]] המוכרות, כגון <math>\ \sin^2(x)+\cos^2(x)=1</math>. הוכחת הזהויות אינה קשה משום שהטורים [[התכנסות בהחלט|מתכנסים בהחלט]] בכל [[הישר הממשי]]. ההגדרה כוללת בתוכה גם את הגבול שבכותרת, שהרי את הגבול של היחס <math>\ \frac{sin(x)}{x}</math> אפשר לקרוא מן המקדם של x בנוסחה לסינוס. הבעיה היא שהפונקציות <math>\ \sin(tx),\cos(tx)</math> מקיימות אותן זהויות טריגונומטריות, עבור כל ערך של t, ולכן קשה לקשור בשיטה זו את הפונקציות אל המשמעות הגאומטרית המקובלת שלהן.

הוכחתה של זהות יסודית כל-כך מצריכה באופן טבעי התבוננות זהירה ב[[הגדרה|הגדרות]] של המושגים שבהם משתמשים, ובהם - [[זווית]], [[רדיאן]], [[אורך]], [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]] ואפילו [[פאי]]. משום כך, נזכיר כאן את ההגדרות הדרושות בניסוח הטענה ובהוכחתה. להלן מובאות שתי הוכחות אפשריות, שבאחת מהן משתמשים בהשוואה של שטחים, ובשנייה בהשוואה של אורכי ישרים וקשתות. שתי השיטות מבוססות על ההגדרה הבאה של זווית: שני ישרים נפגשים ביניהם ב"זווית x", אם x הוא אורך ה[[קשת (גאומטריה)|קשת]] שהם גוזרים מ[[מעגל]] ברדיוס 1 סביב נקודת החיתוך שלהם.

[[קובץ:sinx_over_x.svg|שמאל|ממוזער|200px|בניית העזר הבסיסית]]

===בסיס ההוכחה===
הן ההוכחה מבוססת האורך והן ההוכחה מבוססת השטח משתמשות באותה בניית עזר, ופועלות להשגת מטרה משותפת: הוכחת [[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי-השוויון]] <math>\ \sin(x)<x<\tan(x)</math> עבור x חיובי וקטן{{הערה|אי-השוויון נכון לכל x בקטע <math>0 < x< \frac{\pi}{2}</math>; כיוון שמטרתנו היא לחשב את הגבול באפס, די להוכיח את אי-השוויון עבור x קטן מספיק.}}

כעת נחלק ב-<math>\ \sin(x)</math> ונקבל <math>\ 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}</math>, כלומר <math>\ \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 </math>, והגבול המבוקש נובע על-פי [[כלל הסנדוויץ']].

בניית העזר המשמשת בשתי ההוכחות מוצגת בתמונה משמאל. אנו בונים על [[מעגל היחידה]] [[משולש שווה-שוקיים]] AOB, כאשר O הוא מרכז המעגל ו-AO=OB הם [[רדיוס]]ים שהזווית ביניהם היא <math>\ x</math>. נסמן ב־C את מפגש הגובה היורד מ־B אל הצלע AO, עם הצלע, וב- D את מפגש האנך העולה מ־AO בנקודה A, עם הישר OB.

על-פי הגדרת הסינוס והקוסינוס, אורך הצלע BC הוא <math>\ \sin x</math>, ואורך הצלע AD הוא <math>\ \tan x</math>. בשלב זה מתפצלת ההוכחה עבור כל אחת משתי הגישות השונות. מן הבחינה העקרונית, שתי השיטות נסמכות על רעיונות בעלי מורכבות דומה, ואפשר לטעון שהעדפת שיטה אחת או אחרת היא עניין של טעם.

===הוכחה מבוססת שטח===
בגישה זו, ההוכחה של אי-השוויון <math>\ \sin(x)<x<\tan(x)</math> מתבצעת על ידי השוואת שטחי המשולש AOB, ה[[גזרה (עיגול)|גזרה]] AOB (התחומה על ידי הרדיוסים AO ו-OB והקשת AB) והמשולש AOD.

שטח המשולש AOB הוא <math>\ \sin(x)/2</math> (הגובה BC כפול הצלע OA שאורכה יחידה, חלקי 2). בצורה דומה, שטח המשולש הגדול יותר, AOD, הוא <math>\ \tan(x)/2</math>.

החישוב המרכזי הוא זה של שטח הגזרה AOB, ובו טמונה מורכבות ההוכחה. בשל הסימטריה של המעגל, שטח של גזרה הנשענת על זווית של <math>\ x</math> רדיאנים מהווה <math>\ \frac{x}{2\pi}</math> משטח המעגל הכולל. על כן, אם ידוע כי שטח מעגל היחידה הוא <math>\ \pi</math>, הרי ששטח הגזרה הוא <math>\ \frac{x}{2\pi}\cdot\pi=\frac{x}{2}</math>.

כיוון שבבירור המשולש AOB מוכל בגזרה AOB שמוכלת במשולש AOD מתקבל על ידי השוואת שטחיהם אי השוויון <math>\ \frac{\sin(x)}{2}< \frac{x}{2}<\frac{\tan(x)}{2}</math> וממנו נובעת התוצאה המבוקשת.

נותר להוכיח את הקביעה ששטח מעגל היחידה הוא <math>\ \pi</math>. גישה אחת להוכחה זו מבוססת על "[[שיטת המיצוי]]" שפיתחו הגאומטריקנים היוונים, המחלקת את המעגל למשולשים שמספרם הולך ורב, ומראה שהשגיאה בהערכת השטח, הכוללת את הפערים שבין גזרות למשולשים, חסומה בטבעת שאפשר לעשותה דקה כרצוננו. סכום אורכיהם של בסיסי המשולשים שואף להיקף המעגל, <math>\ 2\pi</math>, ואילו הגובה בכל אחד מהמשולשים שואף לרדיוס שאורכו יחידה, ולכן סכום שטחי המשולשים שואף ל-<math>\ \pi</math>. שיטה דומה עוטפת את המעגל מבחוץ ומבפנים ב[[מצולע משוכלל|מצולעים משוכללים]].

===הוכחה מבוססת אורך===
[[קובץ:sinx_over_x-par.svg|שמאל|ממוזער|200px|חלוקת הקשת לקשתות משנה, והקטעים המתאימים להן]]
כיוון שהצלע BC היא סינוס x מהגדרתו, הקשת BA היא x ואילו הצלע AD היא [[טנגנס]] x כי שני המשולשים שהאנכים יוצרים דומים ואז אורך הצלע AD הוא סינוס חלקי קוסינוס וזו הגדרתו של הטנגנס, כל שנותר להראות הוא שהצלע BC קצרה מהקשת BA, שקצרה מהצלע AD. לשם כך אין מנוס מלהגדיר במדויק מהו '''אורך''' של קו שאינו ישר, [[מסילה (מתמטיקה)|מסילה]]. אורכה של מסילה הוא המספר הקטן ביותר הגדול מסכום המרחקים <math>\ |P_1P_2|+\dots+|P_{n-1}P_n|</math> '''לכל''' [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] סופית של נקודות <math>\ P_1,\dots,P_n</math> על המסילה. (הגדרה זו, הגם שהיא מובלעת בחישובי [[שטח]]ים ו[[נפח]]ים מאז [[אוקלידס]], לא הופיעה בצורתה זו במפורש, אלא בתקופתם של [[אייזק ניוטון|ניוטון]] ו[[גוטפריד וילהלם לייבניץ|לייבניץ]], מייסדי ה[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]]).

כעת, כיוון שהמשולש ACB ישר-זווית, מתקיים <math>\ \sin(x)=|BC|<|AB|=2\sin(x/2)</math>, אבל <math>\ 2\sin(x/2)<x</math> כיוון שהקשת שאורכה x מחברת את הנקודות AB, שהמרחק ביניהן <math>\ 2\sin(x/2)</math>. בכך סיימנו להוכיח את חלקו השמאלי של האי-שוויון.
[[קובץ:sinx_over_x-i.svg|שמאל|ממוזער|200px|השוואת קטעים]]
כדי להוכיח את אי-השוויון באגף ימין, נבחין שהמרחק בין A ל-D הוא <math>\ \tan(x)</math>. נראה שהקשת x קצרה מן הקטע AD. נניח שהנקודות <math>\ P_1,\dots,P_n</math> פזורות לאורך הקשת AB ומסודרות לפי קרבתן ל־A. נעביר את הרדיוסים מהנקודה O אל הנקודות האלה, ונמשיך אותם עד שיפגשו בקטע AD. את נקודות המפגש נסמן <math>\ Q_1,\dots,Q_n</math>. כעת נשאר להראות שסכום המרחקים <math>\ |P_iP_{i+1}|</math> קטן מסכום המרחקים <math>\ |Q_iQ_{i+1}|</math>.
עבור כל <math>\ i=1,\dots,n-1</math>, אפשר להעביר במרובע <math>\ P_iP_{i+1}Q_{i+1}Q_i</math> את הישר <math>\ Q_{i}R</math> ה[[ישרים מקבילים|מקביל]] לצלע <math>\ P_iP_{i+1}</math>; הזוויות <math>\ \angle P_{i+1}P_{i}Q_i, \angle P_iP_{i+1}Q_{i+1}, \angle Q_iRQ_{i+1}</math> כולן [[זווית קהה|קהות]] ושוות זו לזו, כבאיור משמאל. מכאן ברור ש- <math>\ |P_iP_{i+1}|<|Q_iR|<|Q_iQ_{i+1}|</math>. כשמסכמים את אי-השוויונים האלה, מתקבל <math>\ \sum|P_iP_{i+1}|<\sum|Q_iQ_{i+1}|=|AD|</math>, כדרוש.

== חישוב הנגזרת של arcsin ==

את הנגזרת של הפונקציה arcsin, ההפוכה לסינוס, אפשר לחשב באמצעות [[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] וחישוב [[עקומה#אורך של עקומה|אורך הקשת]] של המעגל כאינטגרל על [[אלמנט האורך]]. אכן, נוסחת המעגל היא <math>\ x^2+y^2 = 1</math>, כלומר <math>\ y = \sqrt{1-x^2}</math>. לכן אורך הקשת שמעל לקטע <math>0 \leq x \leq a</math> שווה לאינטגרל <math>\ \int_0^a \sqrt{1+y'(x)^2} dx = \int_0^a \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx</math>. מאידך, אם נסמן את הזווית המתאימה לקשת הזו ב-<math>\ \theta</math>, נקבל ש-<math>\ a = \sin\theta</math>, כלומר <math>\ \theta = \arcsin a</math>. אם כך, <math>\ \arcsin a = \int_0^a \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx</math>. נגזור את שני האגפים, ונקבל <math>\arcsin(a)' = \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}</math>. לכן הנגזרת לפונקציה ההפוכה, פונקציית הסינוס, היא <math>\ \sin(\theta)' = \sqrt{1-\sin(\theta)^2} = \cos(\theta)</math> (את הסימן יש למצוא לפי כיוון התנועה לאורך המעגל). בפרט, <math>\ \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = (\sin \theta)'|_{\theta = 0} = \cos(0) = 1</math>.

חסרונה של השיטה הזו בכך נסמכת על מושגים באינטגרציה, שבתורם משתמשים בשיטות מיצוי וגבולות כלליות יותר מאלו שהופיעו בהוכחות הקודמות.

==ראו גם==
* [[sinc]]

==קישורים חיצוניים==
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sinx%2Fx גרף של הפונקציה]
* {{לא מדויק|2008/01/20/lim_sin_x_over_x/|הונאה מעבר לגבול}}
* [http://meyda.education.gov.il/files/Mazkirut_Pedagogit/matematika/25.pdf פרק בספר למורים "ללמוד וללמד אנליזה"]

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{טריגונומטריה}}

[[קטגוריה:משפטים בטריגונומטריה]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה]]
[[קטגוריה:הוכחות]]

[[ru:Замечательные пределы#Первый замечательный предел]]
[[de:Grenzwert_(Funktion)#Wichtige_Grenzwerte]]