הצגת המקור של הדף "הגדרת הגבול לפי קושי"

[[קובץ:Límite 01.svg|250px|ממוזער|בכל פעם שנקודה <math>x</math> נמצאת בתוך <math>\delta</math> יחידות של <math>c</math> אז <math>f(x)</math> נמצאת בתוך <math>\varepsilon</math> יחידות של <math>L</math>]]
'''הגדרת הגבול על פי קושי''' הנקראת לעיתים גם '''הגדרת הגבול באפסילון ודלתא''' (<math>\varepsilon,\delta</math>) היא הגדרה יסודית ב[[חשבון אינפיניטסימלי]] המהווה פורמליזציה של המושג '''[[גבול של פונקציה|גבול]]'''. הגדרה זו נוסחה על ידי [[אוגוסטן לואי קושי]] בספרו מ-[[1821]], "קורס באנליזה" {{אנג|Cours d'Analyse}}. אף על פי שקושי מעולם לא השתמש ב[[אפסילון]] ו[[דלתא]], נהוג להשתמש בהן לטיעונים ב[[הוכחה|הוכחות]].

הגדרת הגבול המקורית ניתנה לראשונה כהגדרה רשמית על ידי [[ברנרד בולצאנו]] בשנת [[1817]], ונוסחה באופן סופי על ידי [[קארל ויירשטראס]]{{הערה|{{קישור כללי|הכותב=[[אוגוסטן לואי קושי]]|כותרת=Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal|כתובת=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0|תאריך=[[1823]]|שפה=צרפתית|תאריך_וידוא=2020-06-06|archive-date=2009-05-04|archive-url=https://www.webcitation.org/5gVUmywgY?url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0|url-status=dead}}}}<ref name="grabiner">{{Citation|title=Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus|first=Judith V.|last=Grabiner|journal=The American Mathematical Monthly|date=March 1983|volume=90|pages=185–194|url=http://www.mr-ideahamster.com/classes/assets/a_evepsilon.pdf|archiveurl=https://www.webcitation.org/5gVUmZmxc?url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf|archivedate=2009-05-04|access-date=2009-05-01|doi=10.2307/2975545|number=3|jstor=2975545}}</ref>. הוא נתן ניסוח [[ריגורוזיות|ריגורוזי]] לתפיסה הבלתי פורמלית שהביטוי התלוי <math>f(x)</math> מתקרב לערך <math>L</math> כאשר המשתנה <math>x</math> מתקרב לערך <math>c</math> אם ניתן לקרב כרצוננו את <math>f(x)</math> ל-<math>L</math> על ידי לקיחת <math>x</math> קרוב מספיק ל-<math>c</math>.

== הגדרה ==
{{משוואה|הזחה = auto|משוואה = {{גופן|4|דוד|לפונקציה <math>f</math> קיים '''גבול''' <math>L</math> בנקודה <math>a</math> אם לכל <math>0<\varepsilon</math> קיים <math>0<\delta</math> כך שאם <math>0<|x-a|<\delta</math> אזי <math>\bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon</math>.}}|ריווח תא = 6|צבע מסגרת = #0073CF|צבע רקע = #F5F9FF}}
בכתיב מתמטי:
{{משוואה|הזחה = auto|משוואה = <math display="block"> \lim_{x \to a}f(x) = L \in \R \iff \forall \varepsilon >0 \ \exist \delta>0 :0<|x-a|<\delta\implies\displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon </math>|ריווח תא = 6|צבע מסגרת = #50C878|צבע רקע = #ECFCF4}}


=== הסבר אינטואיטיבי ===
במילים אחרות, נאמר שהגבול של פונקציה <math>f(x)</math>, שווה ל־<math>L</math>, כאשר <math>x</math> שואף ל־<math>a</math> (<math> \lim_{x \to a}f(x) = L \, </math>), אם נוכל להביא את <math>f(x)</math> קרוב ל־<math>L</math> ככל שנרצה, אם ניקח <math>x</math> קרוב מספיק ל־<math>a</math> שאינו שווה ממש ל־<math>a</math>.<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich|title=Calculus|last=Spivak|first=Michael|date=2008|publisher=Publish or Perish|isbn=978-0914098911|edition=4th|location=Houston, Tex.|page=[https://archive.org/details/calculus4thediti00mich/page/90 90]}}</ref>

כשאנו אומרים ששני מושגים "קרובים", כמו <math>f(x)</math> ל־<math>L</math> או ''<math>x</math>'' ל-<math>a</math>, אנו מתכוונים שההפרש (או ה[[מרחק]]) ביניהם הוא קטן כרצוננו. כאשר <math>f(x)</math>, <math>L</math>, <math>x</math> ו־<math>a</math> הם [[שדה המספרים הממשיים|מספרים ממשיים]], המרחק בין שני מספרים הוא ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של ה[[חיסור|הפרש]] בין השניים. לפיכך, כאשר אנו אומרים ש־<math>f(x)</math> קרוב ל־<math>L</math> אנו מתכוונים ש-<math>|f(x)-L|</math> קטן כרצוננו וכשאנו אומרים ש־''<math>x</math>'' ו־<math>a</math> קרובים, אנחנו מתכוונים ש-<math> |x-a|</math> קטן כרצוננו<ref name="Calculus">{{Cite book|url=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich|title=Calculus|last=Spivak|first=Michael|date=2008|publisher=Publish or Perish|isbn=978-0914098911|edition=4th|location=Houston, Tex.|page=[https://archive.org/details/calculus4thediti00mich/page/96 96]}}</ref>.

כשאנו אומרים שנוכל לקרב כרצוננו את <math>f(x)</math> ל־<math>L</math>, אנו מתכוונים שעבור '''כל''' מרחק <math>\varepsilon</math>, שאינו אפס, אנו יכולים להפוך את המרחק בין <math>f(x)</math> ל־<math>L</math> (<math>|f(x)-L|</math>) לקטן מ־<math>\varepsilon</math>.{{הערה|שם=Calculus}}

כשאנו אומרים שנוכל לקרב כרצוננו את <math>f(x)</math> ל־<math>L</math> על ידי הדרישה ש-<math>x</math> צריך להיות מספיק קרוב, אבל לא בדיוק <math>a</math>, אנו מתכוונים לכל מרחק <math>\varepsilon</math> שאינו אפס, יש מרחק <math>\delta </math> שאינו אפס, כך שאם המרחק בין <math>x</math> ל-<math>a</math> הוא פחות מ-<math>\delta </math> אז המרחק בין <math>f(x)</math> ל-<math>L</math> קטן מ- <math>\varepsilon </math> .{{הערה|שם=Calculus}}

== היסטוריה ==
[[קובץ:F(x)=x*x.jpg|250px|ממוזער|גרף הפונקציה <math>f(x)=x^2</math>]]
אף על פי שהיוונים בחנו את תהליך הגבול, כמו בשיטה הבבלית ל[[הוצאת שורש ריבועי|חישוב שורש ריבועי]], נראה שלא היה להם מושג הדומה לגבול המודרני.{{הערה|1={{קישור כללי|הכותב=ג'ון סטילוול|כותרת=Mathematics and its history|כתובת=https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil|תאריך=1989|עמודים=38-39|מידע נוסף=ב[[הוצאת שפרינגר]]{{ש}} {{ISBN{{!}}978-1-4899-0007-4}}}}}} הצורך במושג הגבול עלה ב[[המאה ה-17|מאה ה-17]] כאשר [[פייר דה פרמה]] ניסה למצוא את ה[[שיפוע]] קו ה[[משיק]] בנקודה מסוימת של פונקציה באמצעות גודל שאינו אפס, אך כמעט אפס. כמקובל, השיפוע מסומן באות <math>m</math>, הפונקציה מסומנת באות <math>f</math>, הנקודה מסומנת באות <math>x</math> והגודל האפסי מסומן באות <math>E</math>. למשל עבור הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> פרמה ביצע את החישוב הבא:<math display="block">\begin{align}
m & = \frac{f(x+E)-f(x)}{E} \\
& = \frac{(x+E)^2-x^2}{E}\\
& = \frac{x^2+2xE+E^2-x^2}{E} \\
& = \frac{2xE+E^2}{E} = 2x+E = 2x.
\end{align}</math>

המפתח לחישוב שלמעלה הוא שמאחר ש-<math>E</math> הוא לא אפס, אפשר לחלק את <math>f(x+E)-f(x)</math> ב-<math>E</math>, אך מאחר ש-<math>E</math> קרוב כרצוננו ל-<math>0</math>, אז <math>2x+E</math> זה בעצם <math>2x</math>.{{הערה|1={{קישור כללי|הכותב=ג'ון סטילוול|כותרת=Mathematics and its history|כתובת=https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil|תאריך=1989|עמודים=104|מידע נוסף=ב[[הוצאת שפרינגר]]{{ש}} {{ISBN{{!}}978-1-4899-0007-4}}}}}} גדלים כמו <math>E</math> נקראים [[אינפיניטסימל]]ים. הבעיה בחישוב זה היא שמתמטיקאים מהתקופה לא הצליחו להגדיר באופן ריגוזורי גודל עם התכונות של <math>E</math>.{{הערה|1={{קישור כללי|הכותב=ג'ון סטילוול|כותרת=Mathematics and its history|כתובת=https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil|תאריך=1989|עמודים=106|מידע נוסף=ב[[הוצאת שפרינגר]]{{ש}} {{ISBN{{!}}978-1-4899-0007-4}}}}}} אף על פי שהיה נהוג 'להזניח' אינפיניטימליים גדולים יותר ונראה היה כי זה מניב תוצאות נכונות.

בעיה זו הופיעה שוב מאוחר יותר ב[[המאה ה-17|מאה ה-17]] במרכז התפתחות [[חשבון אינפיניטסימלי|החשבון האינפיניטסימלי]], שכן חישובים כמו של פרמה נחוצים לחישוב [[נגזרת|נגזרות]]. [[אייזק ניוטון]] פיתח לראשונה חישוב באמצעות גודל אינפיניטסימלי הנקרא [[:en:Method_of_Fluxions|fluxion]]. הוא פיתח אותו בהתייחס לרעיון של "רגע קטן עד אינסוף בזמן..."<ref name="ReferenceA">{{Cite book|title=The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals|last=Buckley|first=Benjamin Lee|date=2012|isbn=9780983700487|page=31}}</ref> עם זאת, מאוחר יותר דחה ניוטון את הרעיון לטובת תאוריית יחסים הקרובה להגדרת הגבול המודרנית בשימוש <math>\varepsilon\text{–}\delta </math>.<ref name="ReferenceA" /> יתרה מזו, ניוטון היה מודע לכך שגבול היחס בין גדלים אינפיניטסימלים אינו יחס כשלעצמו, כפי שכתב:

:{{ציטוטון|אותם יחסים סופיים... למעשה אינם יחסים של גדלים סופיים, אלא גבולם... אליהם הם יכולים להתקרב כל כך, עד שההבדל ביניהם קטן יותר מכל גודל נתון...}}{{מקור}}

בנוסף, ניוטון דיבר על גבולות במונחים הדומים להגדרת האפסילון-דלתא.<ref>{{Citation|title=Newton and the Notion of Limit|first=B.|last=Pourciau|journal=Historia Mathematica|volume=28|number=1|pages=18–30|year=2001|doi=10.1006/hmat.2000.2301}}</ref> [[גוטפריד וילהלם לייבניץ]] פיתח אינפיניטסימל משלו וניסה לספק לו בסיס ריגורוזי, אך הוא עדיין נתקל בחוסר שביעות רצון מצד כמה מתמטיקאים ופילוסופים.<ref>{{Cite book|title=The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals|last=Buckley|first=Benjamin Lee|date=2012|isbn=9780983700487|page=32}}</ref>

ל[[אוגוסטן לואי קושי]] הייתה תפיסה מעט פרימיטיבית יותר, והוא נתן הגדרה לגבול באמצעות מונח אותו כינה "גודל מִשְׁתַּנֶּה",{{הערה|"variable quantity"}} ולא באמצעות אפסילון-דלתא.{{הערה|1=(Grabiner, 1981)}} חלק מההוכחות של קושי מכילות אינדיקציות לשיטת האפסילון-דלתא. השאלה אם גישתו היסודית יכולה להיחשב כ"מבשרת" של ויירשטראס היא נושא למחלוקת אקדמית. גראבינר טוען שכן, בעוד שוג'יבור (2005) לא.{{הערה|שם=grabiner}} נקאן טוען שוויירשטראס וקושי העניקו את אותו השם לתפיסות שונות של מושג הגבול.<ref>Nakane, Michiyo. Did Weierstrass's differential calculus have a limit-avoiding character? His definition of a limit in ''ε''−''δ'' style. BSHM Bull. 29 (2014), no. 1, 51–59.</ref> בסופו של דבר, הקרדיט ניתן לוויירשטראס ובולצאנו על מתן בסיס ריגוזורי לחישוב גבול בצורה המודרנית של <math>\varepsilon\text{–}\delta</math>.{{הערה|שם=grabiner}}<ref>{{Citation|first=A.-L.|last=Cauchy|author-link=Augustin Louis Cauchy|title=Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal|place=Paris|year=1823|url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0|chapter=Septième Leçon - Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées <math>\frac{\infty}{\infty}, \infty^0, \ldots</math> Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée|chapter-url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90196z/f45n5.capture|archiveurl=https://www.webcitation.org/5gVUmywgY?url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0|archivedate=2009-05-04|access-date=2009-05-01|page=44}}</ref>. מאז לא היה עוד צורך להתייחס לאינפיניטסימל <math>E</math><ref>{{Cite book|title=The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals|last=Buckley|first=Benjamin Lee|date=2012|isbn=9780983700487|page=33}}</ref> והחישוב של פרמה הפך לחישוב של הגבול הבא:

<math display="block">\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>

אין זה אומר שהגדרת הגבול הייתה נקייה מבעיות. אף על פי שלא היה עוד צורך באינפיניטסימלים, היא חייבה את בניית [[שדה המספרים הממשיים]] על ידי [[ריכרד דדקינד]].<ref>{{Cite book|title=The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals|last=Buckley|first=Benjamin Lee|date=2012|isbn=9780983700487|pages=32–35}}</ref> זה גם לא אומר שלאינפיניטסימלים אין יותר מקום במתמטיקה המודרנית, שכן מתמטיקאים מאוחרים יותר הצליחו ליצור באופן ריגוזורי גדלים אינפיניטסימלים כמספרים היפר־ממשיים או כ[[מספר סוריאליסטי|מספרים סוריאליסטיים]]. יתרה מזאת, ניתן לפתח באופן ריגוזורי חשבון עם גדלים כאלה ויש להם שימושים מתמטיים אחרים.<ref>{{Cite book|title=Structure and randomness : pages from year one of a mathematical blog|url=https://archive.org/details/structurerandomn00taot|last=Tao|first=Terence|date=2008|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-4695-7|location=Providence, R.I.|pages=[https://archive.org/details/structurerandomn00taot/page/95 95]–110}}</ref>

== דוגמאות ==
=== דוגמה 1 ===
[[קובץ:X*sin(x^-1).jpg|250px|ממוזער|גרף הפונקציה <math>x\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}</math> בסביבת אפס]]
נראה כי <math>\lim_{x\to 0} x\sin{\left(\frac{1}{x}\right)} = 0</math>.

יהי <math>0 < \varepsilon</math>. עלינו למצוא <math>0 < \delta</math> כך שלכל <math>|x-0| < \delta </math> מתקיים <math>\left|x\sin\left(\frac{1}{x}\right) - 0\right| < \varepsilon </math>.

נשים לב כי:

<math>\left|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)\ -\ 0\right|\ =\left|x\sin \ \left(\frac{1}{x}\right)\right|</math>

מתכונות [[ערך מוחלט]]:

<math>\ \left|x\ \cdot \sin \ \left(\frac{1}{x}\right)\right|\ =\ |x|\left|\sin \left(\frac{1}{x}\right)\right|\ < \varepsilon </math>

מכיוון שפונקציית ה[[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]] חסומה בין 1 ל-1-, הערך המוחלט שלה חסום בין 0 ל-1 ולכן:

<math>\ |x|\left|\sin \left(\frac{1}{x}\right)\right|\ \le |x| \cdot 1 = |x| < \varepsilon</math>

לפיכך, אם ניקח <math>\delta = \varepsilon</math>, אז <math>|x| =|x-0| < \delta</math>, ומתקיים <math>\left|x\sin{\left(\frac{1}{x}\right)} - 0\right| \leq |x| < \varepsilon </math>. [[מש"ל]].

=== דוגמה 2 ===
נוכיח <math> \lim_{x\to a} x^2 = a^2</math> עבור כל <math>a \in \R</math>.

יהי <math>\varepsilon>0</math>. עלינו למצוא <math>\delta >0 </math> כך שלכל <math>|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>|x^2-a^2|<\varepsilon </math>.

נתחיל בפישוט: <math> |x^2-a^2| = |(x-a)(x+a)|=|x-a||x+a| </math>.

נראה כי הביטוי <math>|x-a|</math> חסום על ידי <math>\delta</math>, כך שנוכל להניח מראש חסם של 1 ובהמשך לבחור משהו קטן מזה עבור <math>\delta</math>.<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich|title=Calculus|last=Spivak|first=Michael|date=2008|publisher=Publish or Perish|isbn=978-0914098911|edition=4th|location=Houston, Tex.|page=[https://archive.org/details/calculus4thediti00mich/page/95 95]|url-access=registration}}</ref>

אז אנחנו מניחים <math> |x-a| < 1 </math> . ידוע שלכל <math>x</math> ו־<math>y</math> ממשיים מתקיים: <math> |x| - |y| \leq |x-y| </math>. ובפרט, <math> |x| - |a| \leq |x-a| < 1</math> לכן, <math> |x| < 1 + |a| </math>.

לפי [[אי-שוויון המשולש]] מתקיים: <math> |x+a| \leq |x| + |a| < 1 + |a| + |a| = 2|a| + 1 </math> לפיכך, אם אנו מניחים כי<math> |x-a| < \frac{\varepsilon}{2|a| +1}</math> אז <math>|x^2-a^2| <\varepsilon </math>.

לסיכום, נקבע <math> \delta = \min{\left(1,\frac{\varepsilon}{2|a| +1}\right)}</math>

ולכן אם <math> |x-a|<\delta</math>, אז:

<math>
\begin{align}
|x^2-a^2| &= |x-a||x+a| \\
 &< \frac{\varepsilon}{2|a| +1}(|x+a|)\\
 &< \frac{\varepsilon}{2|a| +1}(2|a|+1)\\
 &=\varepsilon
\end{align}
</math>

לפיכך, מצאנו <math>\delta</math> כך ש־<math> |x-a| < \delta</math> ולכן <math>|x^2-a^2| <\varepsilon </math> . אם כן, הראינו כי <math> \lim_{x\to a} x^2 = a^2</math> עבור כל מספר ממשי <math>a</math>.

=== דוגמה 3 ===
נוכיח כי <math>\lim_{x \to 5} (3x - 3) = 12</math>

אנו רוצים להראות שאם <math>0<|x-5|< \delta</math> אז <math>|\left(3x-3\right)-12|< \varepsilon</math>.

נשים לב כי <math>|\left(3x-3\right)-12|=|3x-15|</math>, כלומר נדרש <math>|3x-15|\le \varepsilon </math>. נחלק ב-3: <math>|x-5|<\frac{\varepsilon }{3}</math> אם נבחר <math>\delta=\frac{\varepsilon }{3}</math> נקבל שאם <math>0<|x-5|< \delta</math> אזי <math>|\left(3x-3\right)-12|< \varepsilon</math>, כנדרש. מש"ל.

== לקריאה נוספת ==
* {{קישור כללי|הכותב=ג׳ודית גרבינר|כותרת=The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus|כתובת=https://books.google.co.il/books?id=XuFcx-laQmIC&redir_esc=y|תאריך=[[1982]]|מידע נוסף=בהוצאת Courier Corporation, {{ISBN|978-0-486-14374-3}}|שפה=אנגלית}}
* {{קישור כללי|הכותב=גרט שוברינג|כותרת=Conflicts Between Generalization, Rigor, and Intuition|כתובת=https://books.google.co.il/books?id=rMWe3okqPOcC&redir_esc=y|תאריך=2005|מידע נוסף=ב[[הוצאת שפרינגר]], {{מסת"ב|978-0-387-22836-5}}|שפה=אנגלית}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי]]