הצגת המקור של הדף "הוכחה בדרך השלילה"

ב[[לוגיקה]] וב[[מתמטיקה]] '''הוכחה בדרך השלילה''' או '''הוכחה עקיפה'''{{הערה|{{צ-ספר|שם=יסודות החשיבה המתמטית : צעדים ראשונים במתמטיקה מתקדמת|מו"ל=מכון מופ"ת|שנת הוצאה=תשע"ג 2012|oclc=1241933369|מחבר=תלמה לויתן|פרק=8.1|שפה=עברית}}}} היא שיטת הוכחה לפיה אם [[הפרכה|הפרכת]] טיעון מסוים מובילה ל[[סתירה לוגית]] — הטיעון נכון. במילים אחרות: אם הנחת טיעון מסוים מובילה ל[[סתירה לוגית]], אזי ניגודה של הנחה זו בהכרח נכון. ב[[לטינית]] מכונה ''Reductio ad absurdum'' – רֶדּוּקְצְיוֹ אַדּ אַבְּסוּרְדּוּם - רדוקציה ל[[אבסורד]] ("צמצום לאבסורד"), כלומר טענה שמובילה למצב לא-הגיוני.

שיטה זו מבוססת על [[עקרון השלישי הנמנע|כלל השלישי מן הנמנע]] בלוגיקה, לפיו או שמשהו הוא נכון או שהוא אינו נכון, כלומר בהכרח רק אחד מהשניים הבאים מתקיימים: הטענה נכונה או ש[[שלילה (לוגיקה)|הטענה ההופכית]] לה נכונה. עם זאת, ישנם זרמים במתמטיקה דוגמת ה[[אינטואיציוניזם]] שאינם מקבלים שיטה זו. בפרט הם דוחים את הטיעון ששלילה של הטענה ההפוכה גוררת שהטענה נכונה. על כן הם אינם מקבלים הוכחה בדרך השלילה כהוכחה קבילה.

==במתמטיקה==
בתחום של [[לוגיקה מתמטית]] ו[[תורת המודלים]], הוכחה בדרך השלילה מסתמכת על ההנחה שבתוך [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל מתמטי]] ספציפי [[נוסחה (לוגיקה)|טענה מתמטית]] היא נכונה או לא נכון (ואין מצבי ביניים). 

הוכחה בדרך השלילה היא כלי חזק ושימושי מאוד במתמטיקה. על מנת להוכיח ישירות טענה - צריך לבנות [[היסק|היסק לוגי]] שבונה את הטענה המפורשת, ולעומת זאת על מנת להוכיח בשלילה מספיק לבנות היסק לוגי שמתחיל בטענה הנגדית ונגמר בטענה לא נכונה כלשהי וכך יש יותר אפשרויות לכוון אליהן בבנייה של ההיסק.

=== הוכחות מפורסמות שמשתמשות בדרך השלילה ===

* [[קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים]] - ההוכחות של [[אוקלידס]], [[לאונרד אוילר|אוילר]] ו[[הלל פורסטנברג|פורסטנברג]] מסתמכות כולן על הנחה בשלילה.
* [[השורש הריבועי של 2|שורש 2]] אינו מספר [[מספר רציונלי|רציונלי]] - אחת ההוכחות שידועה מן [[העת העתיקה|הזמן העתיק]] ומופיע בכתבי [[אריסטו]].
* [[משפט קנטור]] - מתורת הקבוצות שעוסק בעוצמות של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] ו[[קבוצת החזקה|קבוצות חזקה]].
* [[משפט ליוביל (קירוב דיופנטי)|משפט ליוביל]] - מאנליזה דיאופנטית שעוסק בקירוב שורשים של פולינום עם מקדמים שלמים.
* ל[[המשפט היסודי של האלגברה|משפט היסודי של האלגברה]] - יש מספר הוכחות שרובן מסתמכות על הנחה בשלילה.
* [[E (קבוע מתמטי)|e]] אינו מספר רציונלי - [[E (קבוע מתמטי)#הוכחת אי-רציונליות|ההוכחה הראשונה לאי רציונליות של <math>e</math>]] של [[לאונרד אוילר|אוילר]] מסתמכת על הנחה בשלילה

==בפילוסופיה==
ההוכחה הראשונה על דרך השלילה בפילוסופיה מיוחסת ל[[פילוסוף|פילוסופים]] האלאטים, אף על פי כן, נראה שכבר ה[[פיתגוראים]] השתמשו בה.

יש הטוענים{{דרוש מקור}} כי ראשון המשתמשים בה היה [[זנון מאליאה]], שכן הוא הוכיח את טענת מוֹרוֹ [[פארמנידס]] באמצעות 'רדוקציה אד אבסורדום' של טענות מתנגדיו. הטענות אותן [[הפרכה|הפריך]] באופן זה הן: ישנה תנועה בעולם. וכן: ישנו [[ריבוי טבעי|ריבוי]] בעולם. [[היסטוריון]] המתמטיקה סזאבו סבור כי כבר בשירו של פארמנידס ניכר מבנה הרדוקציה אד אבסורדום. פארמנידס מניח כי ישנו 'אין' (שהוא מזהה עם חלל ריק) ומוכיח כי מדובר בסתירה עצמית. כך הוא מוכיח כי אין בעולם ריק, לכן העולם מלא, ומכאן שהתנועה בו אינה אפשרית.

הוכחת טענה בדרך השלילה נפוצה ב[[מחלוקת|וויכוחים]] וב[[דיבייט]]ינג לשם השגת ניצחון על היריב הרעיוני. עם זאת, היא יכולה לשמש כדרך לבירור ה[[אמת (פילוסופיה)|אמת]], שכן ניתן להצביע בה על [[כשל לוגי|כשלים רעיוניים]] בדברי הדובר השני, כפי שתראינה שתי הדוגמאות הבאות:

:אבי: עליך לכבד את דעותיו של גדי, שכן כל הדעות תקפות במידה שווה ולא ניתן להכחישן.
:בני: מה לגבי דעתו של דוד? (כאשר דוד מחזיק בדעה שיש בדיון [[קונצנזוס]] על אי-נכונותה).
:אבי: אני מסכים שניתן להכחיש את דעתו של דוד.
:בני: אם ניתן להכחיש את דעותיו של דוד, הרי שלא נכון שלא ניתן להכחיש אף דעה. על כן, ניתן להכחיש את דעותיו של גדי, ואני יכול לעשות זאת עם נימוקים מספיקים.

דוגמה פשוטה יותר ללא צורך באזכור דעתו של דוד:

:אבי: עליך לכבד את דעותיו של גדי, שכן כל הדעות תקפות במידה שווה ולא ניתן להכחישן.
:בני:
:# אני מכחיש דעתך וטוען שהיא שגויה.
:# לפי הטיעון שלך, דעה 1 תקפה כמו כל שאר הדעות.
:# מצד שני, הדעה שלך גם נוגדת וסותרת את 1, שכן היא ההפך הגמור ממנה.
:# מסקנות 2 ו־3 סותרות זו את זו, ולכן ההנחה הבסיסית שלך שגויה ופסולה.

=== בדיונים על דת ומדע ===
דוגמאות נוספות להוכחה בדרך השלילה ניתן למצוא בדיוני [[דת ומדע]]. בקרב דתיים לעיתים נשמעת הטענה כי במקרה של אמונה [[דת|דתית]] שאי אפשר להפריכה, [[נטל ההוכחה]] עובר אל ה[[ספקנות|ספקן]] ועליו להוכיח שהאמונה לא נכונה. טענות מסוג זה ניתן לצמצם עד לאבסורד.

כך, [[קנקן התה של ראסל]] הוא [[אנלוגיה]] שטבע הפילוסוף הבריטי [[ברטראנד ראסל]], ונועדה לדחות את הרעיון כי יש משמעות לכך שאין אפשרות להפריך את [[קיומו של אלוהים]]. ב-[[1958]]  הציג זאת כך:
{{ציטוט|תוכן=איש אינו יכול להוכיח שאין בין כדור הארץ ומאדים קנקן תה מחרסינה הנע בתנועה אליפטית, אבל איש אינו חושב שהדבר מסתבר דיו כדי לייחס חשיבות כלשהי לטענה. אני חושב שהאל הנוצרי בלתי מסתבר באותה מידה.}}
כהמשך לדבריו של ראסל, צצו [[דת פארודית|דתות פארודיות]] המשתמשות בהוכחה על דרך השלילה כדי להגחיך את הדתות. כך קמו 'כנסיות' של [[מפלצת הספגטי המעופפת]] ו[[החד-קרן הוורודה הבלתי נראית]]. 

בדומה, נפוצה טענת [[יום חמישי האחרון]] הקוראת תיגר על ה[[בריאתנות]].<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Dr Jack Dikian|שם=The problem with last Thursday (thursdayism)|קישור=https://www.academia.edu/87972661/The_problem_with_last_Thursday_thursdayism_}}</ref> בריאתנים כגון [[פיליפ הנרי גוס]] והרב [[מנחם מנדל שניאורסון]] טענו כי הסימנים לקדמותו של היקום נוצרו עם בריאתו, והיקום רק נראה עתיק, בעוד הוא רק בן אלפי שנים בודדות.<ref>פיליפ הנרי גוס, בספרו "אומפלוס" (Omphalos)</ref><ref>מכתב הרבי מליובאוויטש, טבת תשכ"ב - נדפס באמונה ומדע עמ' 89. [http://www.chabad.org.il/Articles/Article.asp?ArticleID=1997&CategoryID=1006%7Cתרגום מאנגלית]</ref> במענה לכך, הטענה מצמצמת עד אבסורד את הטיעון הבריאתני, וקובעת כי [[גיל היקום]] למעשה אינו מוקדם מיום חמישי שעבר; כל הידוע לנו על מה שקדם ליום חמישי האחרון אינו אלא [[אשליה]], שכן באותו יום נוצרו כל העדויות לקדמותו של העולם, כולל הזכרונות האנושיים והרישומים הפיזיים לכך.

==ראו גם==
* [[הפרכה]]
* [[חוק האי-סתירה|חוק אי הסתירה]]
* [[עקרון השלישי הנמנע]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=אלימינציה}}
* {{קישור כללי|כתובת=https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Proof_by_contradiction|כותרת=Proof by contradiction|אתר=Art of Problem Solving}} {{אנגלית}}
* {{קישור כללי|כתובת=https://mathvault.ca/math-glossary/|כותרת=The Definitive Glossary of Higher Math Jargon|אתר=Math Vault}} {{אנגלית}}
* {{אנצ פילו|ניקולס רשר|reductio|Reductio ad Absurdum}}
* {{בריטניקה|reductio-ad-absurdum}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:שיטות הוכחה]]