הצגת המקור של הדף "הוכחה שגויה"

ב[[שעשועי מתמטיקה]], '''הוכחה שגויה''' היא "[[הוכחה]]" המובילה ל[[סתירה (לוגיקה)|סתירה]] ברורה, וזאת משום שהיא מכילה [[כשל לוגי|שגיאות]]. כרגיל בהטעיות, השגיאה אינה מוצגת באופן גלוי, והיא עשויה להיות חבויה היטב בין פרטים רבים, עד שמציאתה מהווה אתגר, המנוצל לצרכים [[פדגוגיה|פדגוגיים]] או לשם [[שעשוע]]. בנוסף, ההוכחות השגויות מראות את חשיבותה של כתיבה [[ריגורוזיות|ריגורוזית]] ב[[מתמטיקה]].

==דוגמאות==
'''שימו לב:''' ה"הוכחות" המופיעות כאן אינן נכונות מבחינה מתמטית. בכולן ישנה [[טעות]] באחד או יותר משלבי ההוכחה, ולכן השימוש במילה "הוכחה" בהמשך אינו נאמן להגדרתו ה[[לוגיקה|לוגית]].

===אלגברה===
נפוצות מספר רב של הוכחות, לכאורה, המבוססות על [[אריתמטיקה#פעולות אריתמטיות|פעולות אלגבריות]] שגויות (אסורות בנסיבות מסוימות). המשותף להוכחות בתחום זה הוא שלאורך ההוכחה מתבצעת פעולה שגויה, אך היא מוחבאת, כך שמקריאת רצף ההוכחה קשה להבחין בה. להלן מספר דוגמאות לפעולות שגויות כאלו ולשימוש בהן בהוכחות שגויות:

* '''הוצאת שורש''': ב[[אלגברה]], לכל [[מספר ממשי]] [[מספרים חיוביים ושליליים|חיובי]] <math>a</math> יש שני [[שורש ריבועי|שורשים]]: <math>\pm \sqrt{a}</math>, ואולם ל[[שורש ריבועי|פונקציית השורש הריבועי]] יש רק ערך אחד – חיובי. תוך ניצול עובדה זו באופן שגוי, ניתן להוכיח, לדוגמה, כי: <math>\ -1 = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1^2} = 1</math> (בפועל, <math>-1 \ne \sqrt{(-1)^2}</math>, משום ש־<math>\ a^2</math> תמיד אי־שלילי עבור <math>a</math> ממשי).{{ש}}להלן הוכחה שגויה נוספת הקשורה בשורש ריבועי:
{{יישור טקסט|מרכז|
:<math>-1 = -1 \,</math>
:<math>-\frac{1}{1} = -\frac{1}{1}</math>
:<math>\frac{1}{-1} = \frac{-1}{1}</math>
:<math>\sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}}</math>
:<math>\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}</math>
:<math>\sqrt{1}\cdot\sqrt{1} = \sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}</math>
:<math>\sqrt{1}^2 = \sqrt{-1}^2</math>
:<math>\displaystyle{1 = -1}</math>
}}
:הטעות הראשונה בהוכחה נמצאת במעבר ה[[לוגיקה|לוגי]] מהשורה השלישית לשורה הרביעית. כאשר אנו נמצאים בתחום [[מספרים ממשיים|המספרים הממשיים]], פונקציית השורש (הריבועי) אינה מוגדרת על מספרים שליליים. לכן, פעולת הוצאת השורש הריבועי לכל אחד משני אגפי ה[[שוויון]] אינה תקפה ואינה חוקית.{{ש}}אף על פי שדי במציאת טעות אחת בהוכחה כדי [[הפרכה|להפריכה]], טעות ברורה נוספת נמצאת במעבר בין השורה הלפני־אחרונה לשורה האחרונה. כל [[מספר ריבועי]] (בתחום המספרים הממשיים) הוא אי־שלילי, ולכן, לא הגיוני בעליל ש־<math>\sqrt{-1}^2 = -1</math> (וזאת, מבלי להיכנס בכלל לכך, שהביטוי <math>\sqrt{-1}</math> אינו מוגדר בתחום המספרים הממשיים).
:אילו היינו נמצאים בתחום [[המספרים המרוכבים]], הטעות הראשונה בהוכחה הייתה המעבר הלוגי מהשורה הרביעית לשורה החמישית – שכן [[חזקה (מתמטיקה)#חוקי החזקות|חוקי חֲזָקות ושורשים]] אינם נכונים באופן כללי כאשר הבסיס אינו מספר ממשי חיובי, ולכן אין להניח שהשורש של המנה שווה לִמנת השורשים.


* '''זהויות שגויות''': ישנן [[זהות (מתמטיקה)|זהויות]] הנכונות ל[[מקרה פרטי|מקרים פרטיים]] מוכרים, אך לא ל[[הכללה (מתמטיקה)|מקרה הכללי]]. לדוגמה, הזהות <math>\ (ab)^r=a^rb^r</math> עבור <math>r</math> ממשי, נכונה רק כאשר <math>a</math> ו־<math>b</math> ממשיים חיוביים (בגלל התלות בענף ה[[לוגריתם]] המוגדר).


* '''חלוקה באפס''': [[כפל|הכפלה]] של כל מספר ב־[[0 (מספר)|0]] היא 0, ולכן ה[[פונקציה הפוכה|פעולה ההפוכה]] של [[חלוקה באפס|חילוק באפס]] איננה מוגדרת (היא אינה חד־ערכית). אחרת, ניתן היה [[היסק|להסיק]] שכל שני מספרים שווים – <math>a=b</math>, מכיוון שכאשר כופלים את שני צדי השוויון ב־0 מתקבל השוויון <math>0=0</math>, שהוא נכון (פסוק אמת – [[טאוטולוגיה (לוגיקה)|טאוטולוגיה]]). גם במקרה זה, בהוכחות שקריות, נהוג להסוות את פעולת החלוקה באפס, כדי שה[[כשל לוגי|שגיאה]] בהוכחה לא תהיה ברורה מאליה; לדוגמה, בהוכחה הבאה לכך ש־<math>2=1</math>:

:: ניקח שני מספרים שווים <math>a, b</math>.
:: <math>a = b</math>
:: <math>a \cdot a = a \cdot b</math>
:: <math>a^2 = ab \,</math>
:: <math>a^2 - b^2 = ab - b^2 \,</math>
:: <math>(a - b)(a + b) = b(a - b) \,</math>
:: <math>a + b = b \,</math>
:: מכיוון ש־<math>a = b</math>:
:: <math>b + b = b \,</math>
:: <math>2b = b \,</math>
:: <math>2 = 1 \,</math>

:הטעות הראשונה בהוכחה נמצאת במעבר הלוגי מהשורה החמישית לשורה השישית. מאחר שהתחלנו וקבענו מראש ש־<math>a = b</math>, אזי <math>a - b = 0</math>, ולכן, הצמצום / החלוקה ב־<math>a - b</math> היא חלוקה אסורה ב־0.{{ש}}אף על פי שדי במציאת טעות אחת בהוכחה כדי להפריכה, טעות ברורה נוספת נמצאת במעבר בין השורה הלפני־אחרונה לשורה האחרונה. מהשורה הלפני־אחרונה ניתן להסיק באופן מיידי, על ידי העברת אגפים, ש־<math>b=0</math>, ויחד עם זאת, אנחנו מחלקים בו (שוב, חלוקה אסורה ב־0).

===גאומטריה===
[[קובץ:Loyd64-65-dis b.svg|ממוזער|250px|הדגמה של [[ריבוע]] ש[[שטח|שטחו]] 64 יח', שבעזרת חלוקתו ושינוי סדר הצורות המרכיבות אותו, שטחו גדֵל או קטֵן ב-1 ל-65 יח' ו-63 יח', בהתאמה.]]
ב[[חידות חיתוך והרכבה]], העוסקות בחיתוך צורה אחת והרכבתה לצורה אחרת, מתקיים "[[חוק שימור השטח]]": ה[[שטח]] של הצורה המקורית חייב להיות שווה לשטחה של הצורה החדשה. יחד עם זאת, ישנם חיתוכים רבים שבהם לכאורה חוק זה לא מתקיים. בספרות שעשועי המתמטיקה מתייחסים לחיתוכים אלו בתור "[[קסם|קסמים]]" או [[פרדוקס]]ים – כלומר, הוכחות הסותרות את חוק שימור השטח, אך בחינה מדוקדקת של החיתוכים מראה שלמעשה אלו הוכחות שקריות – הן מבוססות על טעות (קשה לזיהוי) בחישוב השטחים.

באיור משמאל ניתן לראות דוגמה קלאסית לחיתוכים מסוג זה, שהומצאה על ידי [[סם לויד]]. החיתוך מראה כיצד לחלק [[ריבוע]] 8x8 לארבעה חלקים (שני [[משולש]]ים ושני [[טרפז]]ים) שמהם ניתן, לכאורה, להרכיב [[מלבן]] בגודל 5x13. אולם, שטח הריבוע המקורי הוא 64 יח' ושטח המלבן הוא 65 יח' – ומכאן, שעל ידי חיתוך והרכבה הצלחנו, לכאורה, להגדיל את שטח הצורה. הטעות בחיתוך היא, שה[[שיפוע|שיפועים]] של המשולש ושל הטרפז אינם זהים. השיפוע של המשולש הוא 0.375=3/8, ואילו שיפוע הטרפז הוא 0.4=2/5. מכאן שהטרפז והמשולש לא "מתחברים" באופן חלק כדי ליצור מלבן (יש "חור" דקיק לאורך כל אלכסון המלבן, שאינו שייך לאף צורה, ושטחו שווה בדיוק לשטח (המזויף) שהתווסף למלבן של 1 יח') .

באיור ניתן לראות גם הרכבה נוספת של אותם חיתוכים ממש, שנתגלתה על ידי בנו של סם לויד, היוצרת צורה, שלכאורה, השטח שלה הוא 63 יח'. גם כאן, הסיבה נעוצה בהבדלי השיפועים של הצורות המרכיבות את הצורה.

===טורים===
במתמטיקה, [[טור (מתמטיקה)#טורים אינסופיים|טור אינסופי]] הוא [[סכום]] עם מספר [[אינסוף|אינסופי]] של מחוברים. קיימים טורים אינסופיים שסכומם [[מספר]] סופי. לדוגמה, הטור <math>\sum_{i=1}^\infty {\frac{1}{2^i}}</math>:  <math>\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=1</math>. טורים אינסופיים נעדרים מספר תכונות [[אינטואיציה|אינטואיטיביות]] המיוחסות לסכומים (כמו שתמיד הסכום הוא קבוע אחד ויחיד), ולכן, הם עומדים בבסיסן של הוכחות שגויות רבות.
*'''סכום מופרך''': הסכום של טור אינסופי של מספרים אינו בהכרח מספר (סופי או אינסופי). ייחוס תוצאה מספרית לסכום הטור והפעלת כלים [[אלגברה|אלגבריים]] פשוטים ומוכרים מעולם המספרים עליהם, עשוי להוביל לתוצאות מופרכות. לדוגמה:

::נסמן: <math>\ 1+2+4+8\cdots=S</math>. אז:
::<math>\ 2+4+8\cdots=S-1</math>
::<math>\ 2(1+2+4\cdots)=S-1</math>
::<math>\ 2S=S-1</math>
::<math>\ S=-1</math>
::<math> 1+2+4+8\cdots=-1</math>
(ראו גם [[סכום המספרים הטבעיים]]). 

*'''קיבוציות''': תכונה מוכרת ומאפיינת של פעולת ה[[חיבור]] היא תכונת ה[[פעולה אסוציאטיבית|קיבוציות]]. כאשר נתון סכום סופי של מספרים, אין צורך לחברם לפי סדר הופעתם, אלא ניתן לחבר את האיברים לפי איזה סדר שנחפוץ בו. כלל זה לא בהכרח תקף ל[[טור אינסופי|סכומים אינסופיים]], ושימוש בו עלול להוביל לתוצאות שגויות. לדוגמה:
::מצד אחד:
::<math>1-1+1-1+1-1 \cdots = (1-1)+(1-1)+(1-1) \cdots = 0+0+0 \cdots = 0</math>
::מצד שני:
::<math> 1-1+1-1+1-1\cdots =1-[1-1+1-1+1 \cdots ] = 1-[(1+1)-(1+1)-(1+1) \cdots ] = 1-0=1</math>
:למעשה אף אחת מן התוצאות אינה נכונה. לאמיתו של דבר, מ[[תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי]], הטור הזה אינו מתכנס לשום מספר ממשי. למעשה, מתחבא פה חיבור אינסופי של אפסים, אז מ[[חוק הפילוג]] מתקבל שהביטוי הוא מהצורה <math>\infty \cdot 0</math> שהיא [[לא מוגדר|בלתי מוגדרת]].

*'''חילופיות''': תכונה מוכרת ומאפיינת נוספת של פעולת החיבור היא תכונת ה[[פעולה קומוטטיבית|חילופיות]]. כאשר יש סכום סופי של מספרים, ניתן להחליף את סדר הופעתם והסכום יישאר זהה. גם כלל זה אינו בהכרח תקף לגבי טורים אינסופיים. תוצאה זו קרויה [[משפט רימן (תורת הטורים)|משפט רימן]].

== ראו גם ==
* [[פרדוקס]]
* [[כשל לוגי]]
* [[פרדוקס הסוס]]
* [[טרחן כפייתי]]

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [http://www.cut-the-knot.org/proofs/index.shtml הוכחות שגויות באתר Cut-the-knot] {{אנגלית}}
* [http://www.ahajokes.com/math_jokes.html הוכחות שגויות באתר AhaJokes.com] {{אנגלית}}
* [https://web.archive.org/web/20071101040235/http://www.jokes-funblog.com/categories/49-Math-Jokes הוכחות שגויות באתר Jokes-funblog.com] {{אנגלית}}
* {{לא מדויק|/2011/06/05/pi_equals_4/|למה פאי לא שווה 4?}}

[[קטגוריה:הוכחה]]
[[קטגוריה:כשלים לוגיים]]