הצגת המקור של הדף "הומומורפיזם פרובניוס"

ב[[אלגברה מופשטת]], וב[[תורת גלואה]] '''הומומורפיזם פרובניוס''' (Frobenius endomorphism) הוא [[הומומורפיזם]] של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] חילופיים מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] ראשוני, המעלה כל איבר בחזקת <math>p</math>. יש לו שימוש מיוחד ב[[תורת גלואה]] - במקרה זה הוא [[אוטומורפיזם]], ומהווה יוצר של [[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]] של הרחבת שדות לכל [[שדה סופי]] ממאפיין <math>p</math>.

==הגדרה==
יהי <math>R</math> [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] חילופי עם יחידה מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] ראשוני <math>p>0</math>. '''הומומורפיזם פרובניוס''' <math>\phi _p :R \to R</math> מוגדר על ידי <math>\phi _p(a)=a^p</math> לכל <math>a \in R</math>.

זהו [[הומומורפיזם]], משום ש-<math>\phi _p(ab)=(ab)^p=a^p b^p=\phi _p(a)(b)</math> (כי החוג חילופי), ו- <math>\phi _p(a+b)=(a+b)^p=\sum_{i=0}^{p}{ {p \choose i} a^i b^{p-i}} = a^p+b^p=\phi _p(a)+\phi _p(b)</math> לפי [[הבינום של ניוטון]]. כאשר <math>R</math> [[תחום שלמות]] (או תחום ללא [[איבר נילפוטנטי|נילפוטנטים]]) הוא גם חד-חד-ערכי, משום ש-<math>a^p=0</math> גורר ש-<math>a=0</math>.

לכן, כאשר מדברים על [[שדה סופי|שדות סופיים]] ממאפיין ראשוני, זהו בהכרח [[אוטומורפיזם]], משום שזו העתקה חח"ע בין קבוצות שוות עוצמה. באופן כללי, שדה ממאפיין חיובי הוא [[שדה מושלם|מושלם]] אם ורק אם הומומורפיזם פרובניוס שלו הוא אוטומורפיזם. כאמור, כל שדה סופי הוא מושלם, ומאידך [[חוג פולינומים|שדה הפונקציות]] במשתנה אחד <math>\mathbb{Z}_p(t)</math> איננו מושלם - הומומורפיזם פרובניוס איננו על.

==בתורת גלואה==
===שדות סופיים===
{{ערך מורחב|שדה סופי}}
נסתכל בשדה הבסיסי <math>\mathbb{F}_p = \left( \{ 0,1,...,p-1 \}, +, \cdot, \bmod p \right)</math> עם פעולות חיבור וכפל מודולו p, באשר p [[מספר ראשוני]]. נניח ש-<math>F/ \mathbb{F}_p</math> [[הרחבת שדות]] מממד סופי <math>t</math>. במקרה זה הומומורפיזם פרובניוס הוא אוטומורפיזם, השומר על איברי <math>\mathbb{F}_p</math>, לפי [[המשפט הקטן של פרמה]]. לכן, הוא שייך ל[[חבורת גלואה]] <math>\operatorname{Gal}(F/ \mathbb{F}_p)</math>. יותר מכך, מתקיים:

'''משפט''': הסדר של אוטומורפיזם פרובניוס הוא <math>O(\phi _p)=t= [ F : \mathbb{F}_p ] = | \operatorname{Gal}(F/ \mathbb{F}_p) |</math>.

לכן, מכך שמדובר ב[[הרחבת גלואה]] וממד ההרחבה הוא <math>t</math>, גם גודל החבורה הוא <math>t</math>, ויחד עם המשפט נקבל שהיא [[חבורה ציקלית|ציקלית]]: <math>\operatorname{Gal}(F/ \mathbb{F}_p) \cong \mathbb{Z}/t\mathbb{Z}</math>. בפרט, לפי [[המשפט היסודי של תורת גלואה]] נובע ש[[שדה שבת|שדה השבת]] שלו הוא בדיוק <math>\mathbb{F}_p</math>.

===בממד אינסופי===
כאשר ההרחבה היא מממד סופי, אוטומורפיזם פרובניוס גם הוא בעל סדר אינסופי. בכל זאת, למשל במקרה של [[חבורת גלואה האבסולוטית]] <math>\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{F}_p}/ \mathbb{F}_p)</math>, הוא איננו יוצר את החבורה - החבורה ודאי לא ציקלית; היא יותר מסובכת. לפי תכונות של [[גבול הפוך]], היות שהוא יוצר כל הרחבה סופית, הוא יוצר כל מנה מאינדקס סופי שלה.

==ראו גם==
*[[שדה סופי]]
*[[איבר פרובניוס]]

[[קטגוריה:תורת גלואה]]
[[קטגוריה:תורת המספרים האלגברית]]
[[קטגוריה:תורת השדות]]