הצגת המקור של הדף "הופכי כפלי מודולרי"

'''הופכי כפל מודולרי''' הוא מושג ב[[מתמטיקה]]  ובפרט ב[[חשבון מודולרי]].

באופן כללי, [[מספר הופכי|הופכי]] של מספר <math>\ a</math>בפעולה * הוא מספר <math>\ b</math> כך שמתקיים a*b=e כאשר לכל מספר a מתקיים a*e = a למשל, עבור [[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]] ההופכי של <math>\ a</math>בכפל הוא הוא <math>\ \frac{1}{a}</math>, ובחיבור a-.

כאשר עוסקים בחשבון מודולרי, שבו החשבון מתבצע עם [[מספר שלם|מספרים שלמים]] בלבד, עדיין קיים מושג ההופכי. ההגדרה הבסיסית נותרת זהה: <math>\ a,b</math> הם הופכיים אם <math>\ a\cdot b=1</math>, כאשר הפעם הכפל הוא מודולרי כלומר במודולו של מספר טבעי n.

על פי ההגדרה הפורמלית, a,b הם הופכיים כפליים מודולריים מודולו n, אם <math>ab\equiv 1\ (\mbox{mod}\ n)</math>. לדוגמה, מודולו 9, ההופכי הכפלי של 2 הוא 5, מכיוון ש: <math>2\cdot 5=1\ (\mbox{mod}\ 9)</math>. על כן ניתן להגיד ש:
<math>3:2=3\cdot 5 \ (\mbox{mod}\ 9)</math>. אפשר לבדוק ולהיווכח שאכן 5 הוא ההופכי של 2 בדוגמה זו, כלומר אחרי שנבצע פעולה והיפוכה נקבל בחזרה 3. מתקיים:
<math>(3:2)\cdot 2 \ (\mbox{mod}\ 9)\equiv (3\cdot 5)\cdot 2 \ (\mbox{mod}\ 9) = 3</math>

ל-a יש הופכי מודולו n [[אם ורק אם]] a ו-n [[מספרים זרים|זרים]]. זאת מכיוון ש[[חוג המספרים השלמים]] הוא [[תחום ראשי]], עבור כל שני מספרים זרים a ו-n אפשר למצוא מספרים שלמים u ו-v כך ש- <math>\ ua+vn=1</math> (משפט Bézout). ניתן למצוא הופכי כפלי מודולרי באמצעות גרסה מורחבת של [[מחלק משותף מקסימלי|האלגוריתם האוקלידי]]. ההופכי של איבר ב[[חבורת אוילר]] הוא ההופכי הכפלי המודולרי שלו.

בהופכי כפלי מודולרי משתמשים בפתרון [[קונגרואנציה|קונגרואנציות]] (משוואת מודולריות) בין השאר בעזרת [[משפט השאריות הסיני]], ובתחום ה[[הצפנה]], ביצירת מפתחות [[RSA]].

== ראו גם ==
* [[חילוק מודולרי]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

{{קצרמר|מתמטיקה}}
[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:תורת המספרים]]
[[קטגוריה:חשבון מודולרי]]