הצגת המקור של הדף "החבורה המודולרית"

ב[[מתמטיקה]], '''החבורה המודולרית''' היא ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] של ה[[מטריצה|מטריצות]] בגודל 2-על-2, בעלות מקדמים שלמים ו[[דטרמיננטה]] 1, [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] סימן. מקובל לסמן אותה ב-<math>\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})</math>. החבורה המודולרית פועלת על [[וקטור (אלגברה)|וקטורים]] 2-ממדיים באופן הרגיל בו פועלות מטריצות על וקטורים; ועל [[חצי המישור המרוכב]] <math>\{z: \operatorname{Im}(z)>0\}</math> על ידי [[טרנספורמציית מביוס|טרנספורמציות מביוס]] <math>\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) : z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}</math>. החבורה המודולרית, ותת-חבורות שלה, נחקרו לראשונה במפורש על ידי [[ריכרד דדקינד]] ו[[פליקס קליין]], במסגרת [[תוכנית ארלנגן]] ב[[שנות ה-70 של המאה ה-19]]. ה[[פונקציה אליפטית|פונקציות האליפטיות]] הקשורות בפעולת החבורה על חצי המישור העליון נחקרו על ידי [[ז'וזף לואי לגרנז']] ב-[[1785]], על ידי [[קרל גוסטב יעקב יעקובי|יעקובי]] ו[[נילס הנריק אבל|אבל]] ב-[[1827]], ועל ידי רבים אחרים. (שמה של החבורה מגיע מ[[מרחב המודולים]] של [[משטח רימן|משטחי רימן]], ולא מ[[חשבון מודולרי]].)

החבורה <math>\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})</math> היא [[חבורת מנה|מנה]] של חבורת המטריצות <math>\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})</math> ביחס ל[[מרכז (תורת החבורות)|מרכז]] שלה, הכולל רק את המטריצות הסקלריות <math> \pm I</math> (יש הקוראים בשם החבורה המודולרית דווקא ל-<math>\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})</math>). החבורות <math>\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \rightarrow \operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})</math> הן תת-חבורות נורמליות, מאינדקס 2, בחבורות <math>\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}) \rightarrow \operatorname{PGL}_2(\mathbb{Z})</math>, בהתאמה. החבורה <math>\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})</math> שווה ל[[חבורת המטריצות הסימפלקטיות]] <math>\operatorname{Sp}_2(\mathbb{Z})</math>.

== פעולות של החבורה המודולרית ==
===הפעולה על זוגות זרים ===

אם <math> A \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})</math>, אז כל שורה וכל עמודה של A כוללת זוג [[מספרים זרים]]. גם להפך, בעזרת [[אלגוריתם אוקלידס]], כל זוג מספרים זרים אפשר למקם כשורה (או עמודה) במטריצה A, שאותה אפשר להשלים באמצעות שורה (או עמודה) מתאימה לכדי איבר של החבורה המודולרית. יתרה מזו, אם a,b הם מספרים זרים וגם x,y מספרים זרים, אז קיימת מטריצה A כך ש-<math>A \left(\begin{array}{c}a \\ b \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x \\ y \end{array}\right)</math>. כלומר, החבורה [[פעולה טרנזיטיבית|פועלת באופן טרנזיטיבי]] על הזוגות של מספרים זרים.

פעולה זו מאפשרת לנתח [[שבר משולב|שברים משולבים]] סטנדרטיים. אם <math> \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}, \frac{p_n}{q_n}</math> הם פיתוחים עוקבים של שבר משולב, אז <math> \left(\begin{array}{cc} p_{n-1} & p_n \\ q_{n-1} & q_n\end{array}\right) \in \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})</math>.

=== הפעולה על הסריגים ===
בפעולה שלה על זוגות סדורים, החבורה המודולרית היא חבורת ה[[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של הסריג הסטנדרטי <math> \mathbb{Z}+\mathbb{Z}i \subset \mathbb{C}</math>. מכאן נובע שבדומה לפעולה הקודמת, החבורה המודולרית פועלת על סריגים במישור המרוכב. לכל שני מספרים מרוכבים <math> \omega_1, \omega_2</math>, שהיחס ביניהם אינו ממשי, אוסף הצירופים השלמים <math> \mathbb{Z}\omega_1+\mathbb{Z}\omega_2</math> הוא סריג, עם '''בסיס''' <math> \omega_1, \omega_2</math>. החבורה המודולרית פועלת טרנזיטיבית על הבסיסים. זו הסיבה לכך ש[[פונקציה אליפטית|פונקציות דו-מחזוריות]] על המישור המרוכב הן בעלות סימטריה מודולרית.

== תכונות כחבורה ==

החבורה <math> \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})</math> נוצרת על-ידי המטריצות <math> S = \left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)</math> ו-<math> T = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1\end{array}\right)</math>, המקיימות את היחסים <math> S^2 = -1, (ST)^3 = 1</math>. מכאן שהמנה <math> \operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})</math> נוצרת על ידי אותם איברים, המקיימים כעת את היחסים <math> S^2 = (ST)^3 = 1</math>. יחסים אלו מגדירים את החבורה המודולרית, ולפיכך יש לזו [[ייצוג על ידי יוצרים ויחסים]], <math> \operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z}) = \langle x,y \mid x^2 = (xy)^3 = 1\rangle</math>. במילים אחרות, <math> \operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})</math> היא [[חבורת משולש|חבורת המשולש]] <math> D(2,3,\infty)</math>. מכאן שכל חבורות המשולש <math> D(2,3,n)</math> הן מנות של החבורה המודולרית. 

היוצרים S,ST מציגים את <math> \operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})</math> כ[[מכפלה חופשית]] <math> (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) * (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})</math>. (באותו אופן, <math> \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})</math> היא [[מכפלת היתוך]] 
<math> (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) *_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})</math>).

=== תת-חבורות הקונגרואנציה ===

תת-חבורות של <math> \operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})</math> המוגדרות על ידי תנאים מודולריים על הרכיבים הן בעלות חשיבות מיוחדת, במיוחד בתאוריה של [[תבנית מודולרית|תבניות מודולריות]]. לכל n, יש הומומורפיזם טבעי <math> \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \rightarrow \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})</math>; זה משרה הומומורפיזם <math> \operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z}) \rightarrow \operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})</math> (שהוא תמיד על), שה[[גרעין (תורת החבורות)|גרעין]] שלו נקרא '''תת-חבורת קונגרואנציה ראשית'''. כל תת-חבורה המכילה תת-חבורת קונגרואנציה ראשית נקראת '''תת-חבורת קונגרואנציה'''. תת-החבורה <math> \Gamma(n)</math> כוללת, לפי ההגדרה, את המטריצות <math> T = \left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d\end{array}\right)</math> המקיימות <math> a,d \equiv 1 \pmod{n},\ b,c \equiv 0 \pmod{n}</math> (עד כדי סימן משותף). 

לחבורה המודולרית יש תת-חבורות מאינדקס סופי שאינן תת-חבורות קונגרואנציה (וזאת בניגוד לחבורות <math> \operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})</math> עבור n>2, המקיימות את [[תכונת תת-חבורות הקונגרואנציה]]). 

=== הרחבה מרכזית אוניברסלית ===
<math> \operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})</math> היא [[חבורה מושלמת]]. ככזו, יש לה [[הרחבה מרכזית אוניברסלית]]; הרחבה זו היא 
<math> 1 \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow B_3 \rightarrow \operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z}) \rightarrow 1</math>, כאשר <math> B_3</math> היא [[חבורת הצמות]] השלישית.

=== חבורות הקה ===

חבורת הקה <math> H_q</math> (עבור q>2 טבעי) היא תת-החבורה של <math> \operatorname{PLS}_2(\mathbb{R})</math> הנוצרת על-ידי המטריצות S (ראו לעיל) ו-<math> T_q = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\cos(\pi/q) \\ 0 & 1\end{array}\right)</math>. החבורה המודולרית היא חבורת הקה עבור q=3. באופן כללי, <math>H_q \cong C_2 * C_q</math>. יש מושג של תת-חבורות קונגרואנציה המגיע מאידיאלים ראשיים של <math> \mathbb{Z}[\cos(\pi/q)]</math>.

== הקשר לגאומטריה היפרבולית ==

החבורה המודולרית חשובה בכך שהיא פועלת, כחבורה של [[איזומטריה|איזומטריות]], על [[המישור ההיפרבולי]]. אכן, חבורת האיזומטריות שומרות האוריינטציה של חצי המישור העליון <math>{\mathcal{H}} = \{z: \operatorname{Im}(z)>0\}</math> היא החבורה <math> \operatorname{PSL}_2(\mathbb{R})</math>, הפועלת על ידי [[טרנספורמציית מביוס|טרנספורמציות מביוס]] <math>\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) : z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}</math>. החבורה המודולרית היא [[סריג (חבורות לי)|תת-חבורה דיסקרטית מקו-נפח סופי]] של <math> \operatorname{PSL}_2(\mathbb{R})</math>. 

[[File:ModularGroup-FundamentalDomain.svg|thumb|400px|right|תחום יסודי לפעולת החבורה המודולרית על חצי המישור העליון.]]
מכיוון שהחבורה המודולרית היא, כאמור, תת-חבורה דיסקרטית, אפשר למצוא [[תחום יסודי]] לפעולה שלה; הבחירה המקובלת היא המשולש ההיפרבולי <math>R = \left\{ z \in \mathbf{H}\colon \left| z \right| > 1,\, \left| \,\mbox{Re}(z) \,\right| < \tfrac12 \right\}</math>, שקודקודיו <math> \pm \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> והנקודה באינסוף <math> \infty i</math> (הזוויות הן שליש פאי בשני הקודקודים הסופיים, ואפס בקודקוד באינסוף).

העותקים השונים של התחום היסודי תחת פעולת החבורה המודולרית מספקת [[ריצוף (גאומטריה)|ריצוף]] של המישור ההיפרבולי על ידי משולשים איזומטריים, שלכל אחד מהם יש קודקוד באינסוף או על הישר הממשי. 

=== עקומים אליפטיים ===
כל נקודה z בחצי המישור העליון מתאימה ל[[עקום אליפטי|עקום האליפטי]] <math> \mathbb{C}/(\mathbb{R}+\mathbb{R}z)</math>; העקומים של שתי נקודות שווים זה לזה [[אם ורק אם]] הנקודות שייכות לאותו מסלול בפעולה של החבורה המודולרית. כלומר, התחום היסודי <math> \mathcal{H}/\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})</math> (אחרי זיהוי צלעות המשולש) הוא '''מרחב המודולים''' של העקומים האליפטיים: מרחב שהנקודות שלו נמצאות בהתאמה לכל העקומים השונים. 


[[קטגוריה:תורת החבורות]]
[[קטגוריה:חבורות של מטריצות]]
[[קטגוריה:יריעות רימן]]
[[קטגוריה:מטריצות]]
[[קטגוריה:מבנים אלגבריים יחידאים]]