הצגת המקור של הדף "הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה"

'''הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה''' (Compact-Open topology) היא טופולוגיה על מרחב ה[[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|פונקציות הרציפות]] מ[[מרחב טופולוגי]] אחד לאחר. זו הטופולוגיה הסטנדרטית בתחומים שונים, כמו ב[[מרחב פונקציות|מרחבי פונקציות]] וב[[הומוטופיה (טופולוגיה)|תורת ההומוטופיה]], בפרט ב[[מרחב נוצר קומפקטית|מרחבים נוצרים קומפקטית]].

==הגדרה==

יהיו <math>X,Y</math> שני [[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]]. נסמן ב-<math>C(X,Y)</math> את אוסף ה[[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|פונקציות הרציפות]] ביניהם.

על קבוצה זו נגדיר [[בסיס (טופולוגיה)#הגדרות#תת בסיס|תת בסיס]] לטופולוגיה בתור אוסף הקבוצות <math>\{f:X \to Y \mid f(C) \subset U\}</math>, כאשר <math>C \subset X</math> [[קבוצה קומפקטית|קומפקטית]] ו-<math>U \subset Y</math> [[קבוצה פתוחה|פתוחה]]. הטופולוגיה הנוצרת נקראת, כאמור, '''הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה'''. (תת הבסיס בדרך כלל אינו [[בסיס (טופולוגיה)|בסיס]] לטופולוגיה).

אם <math>X</math> [[מרחב האוסדורף]], אז כדי לבנות תת-בסיס מספיק להתחיל מתת בסיס של <math>Y</math>; כלומר, אם <math>S_0</math> תת-בסיס של <math>Y</math>, אז <math>\{f:X \to Y \mid f(C) \subset U\}</math> לכל <math>U \in S_0</math> ו-<math>C \subset X</math> קומפקטית, אף הוא תת-בסיס.

==תכונות כלליות==


לדוגמה, המרחב <math>C(\{a\},Y)</math> [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]] ל-<math>Y</math>.

אם <math>X,Y,Z</math> מרחבים, כאשר <math>Y</math> [[מרחב קומפקטי מקומית|קומקפטי מקומית]], אז פונקציית ה[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] <math>C(Y,Z) \times C(X,Y) \to C(X,Z)</math> היא רציפה. בפרט, אם <math>X</math> הוא נקודון, אז העתקת ההצבה <math>e(f,x)=f(x)</math> רציפה. טענה זו שימושית במיוחד בתורת המרחבים הנוצרים קומפקטית.

המרחב <math>C(X,Y)</math> מקבל בירושה תכונות רבות של המרחב <math>Y</math>. למשל, אם המרחב <math>Y</math> מקיים את אחת מ[[אקסיומות המנייה]] <math>T_0,T_1,T_2,T_3,T_{3 \frac{1}{2}}</math>, גם <math>C(X,Y)</math> מקיים אותה.

== מרחב הפונקציות כאשר Y מטרי ==

בסעיף זה נניח ש-<math>Y</math> [[מרחב מטרי|מטרי]], עם [[מטריקה]] d.

ההתכנסות בטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה שקולה ל[[התכנסות קומפקטית|טופולוגיית ההתכנסות הקומפקטית]]<sup>{{אנ|Compact convergence}}</sup>. כלומר, סדרה של פונקציות  <math>\ f_n : X \rightarrow Y</math> מתכנסת תחת הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה אל הפונקציה <math>f : X \rightarrow Y</math>, אם ורק אם <math>\ \sup_{x\in K} d(f_n(x),f(x)) \rightarrow 0</math> לכל תת-קבוצה קומפקטית <math>\, K \subset X</math> (עובדה זו נכונה גם במקרה הכללי יותר, כאשר Y [[מרחב אוניפורמי]] <sup>{{אנ|Uniform space}}</sup>). 

נניח כעת, בנוסף לכך ש-Y מטרי, גם ש-X קומפקטי. אז <math>C(X,Y)</math> עצמו הוא מרחב מטרי, עם המטריקה <math>\ d(f,g) = \sup_{x \in X} d(f(x),g(x))</math>. בדומה לזה, אם Y [[מרחב נורמי]], אז <math>C(X,Y)</math> הוא מרחב נורמי (עם המטריקה שהוגדרה לעיל). המקרה המיוחד <math>\ Y = \mathbb{R}</math> הוא בעל חשיבות מרכזית באנליזה פונקציונלית. [[משפט אסקולי|משפט אסקולי-ארצלה]] קובע שעבור תת-קבוצה <math>\,F \subset C(X,\mathbb{R})</math>, הסגור <math> \overline{F}</math> קומפקטי אם ורק אם הקבוצה חסומה במידה שווה ו[[רציפות במידה אחידה|רציפה במידה אחידה]].

==ראו גם==
*[[טופולוגיה חסומה-פתוחה]] {{אנ|bounded-open topology}}

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:טופולוגיות|קומפקטית-פתוחה]]
[[קטגוריה:קומפקטיות|קומפקטית-פתוחה]]