הצגת המקור של הדף "הטופולוגיה הקו-מנייתית"

'''הטופולוגיה הקו-מנייתית''' (cocountable topology) על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] נתונה היא ה[[מרחב טופולוגי|טופולוגיה]] בה הקבוצות הסגורות הן ה[[קבוצה בת מנייה|קבוצות בנות המנייה]] (והקבוצה כולה). היא נקראת כך משום שקבוצה אשר [[משלים (מתמטיקה)|משלימהּ]] הוא בן מנייה נקראת קבוצה קו-מנייתית (cocountable).

==הגדרה==
תהי <math>X</math> [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] נתונה. נגדיר עליה את ה[[מרחב טופולוגי|טופולוגיה הבאה]]:

<math display="block">T=\{A \subset X : |A^c| \le \aleph_0\} \cup \{ \phi \}</math>

זו אכן טופולוגיה; כדי להוכיח זאת, נוכיח את התכונות המקבילות על אוסף ה[[קבוצה סגורה|קבוצות הסגורות]]: <math>T^c=\{A \subset X : |A| \le \aleph_0\} \cup \{X\}</math>.

* הקבוצה כולה והקבוצה הריקה שם לפי הגדרה.
* חיתוך כלשהי של קבוצות בנות מנייה מוכל באחת מהן, ולכן אף הוא בן מנייה.
* איחוד מספר סופי של קבוצות בנות מנייה הוא בן מנייה.

טופולוגיה זו מכלילה במובן מסוים את [[הטופולוגיה הקו-סופית]], בה הקבוצות הסגורות הן הסופיות (והקבוצה כולה).

==תכונות==
כל קבוצה <math>X</math> עם הטופולוגיה הקו-מנייתית היא [[מרחב לינדלף|לינדלוף]] (מרחב בו לכל כיסוי פתוח קיים תת-כיסוי בן מנייה), אך איננה [[קבוצה קומפקטית|קומפקטית]] אלא אם <math>X</math> סופית.

אם הקבוצה [[קבוצה שאינה בת מנייה|איננה בת מנייה]], המרחב [[מרחב קשיר מסילתית|קשיר מסילתית]] ואף [[מרחב קשיר מקומית|קשיר מסילתית מקומית]].

המרחב מקיים את [[אקסיומות ההפרדה|אקסיומת ההפרדה]] הראשונה, אך בדרך כלל איננו [[מרחב האוסדורף|האוסדורף]]: זה קורה אם ורק אם <math>X</math> עצמה בת מנייה, ואז הטופולוגיה היא [[טופולוגיה דיסקרטית|דיסקרטית]]. בכל זאת, הגבולות של סדרות בה יחידים, שכן היא [[מרחב דיסקרטי סדרתית|דיסקרטית סדרתית]] (כלומר, הסדרות היחידות המתכנסות בה הן הקבועות לבסוף).

[[קטגוריה:טופולוגיות|קו-מנייתית]]