הצגת המקור של הדף "היסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי"

{{להשלים|כל הערך=כן|נושא=היסטוריה|נושא2=מדעי הטבע}}
'''[[חשבון אינפיניטסימלי]]''' הוא ענף מרכזי של ה[[מתמטיקה]], העוסק בהשתנותן של [[פונקציה|פונקציות]]. 
אף שכבר [[ארכימדס]] השתמש בשיטות [[אינטגרל|אינטגרציה]], ורבים ([[אייזק בארו]], [[פייר דה פרמה]], [[ג'ון ואליס]] ואחרים) הגיעו לרעיון ה[[נגזרת]], יצירת החשבון האינפיניטסימלי כפי שהוא מוכר לנו כיום מיוחסת ל[[אייזק ניוטון|ניוטון]] ול[[גוטפריד וילהלם לייבניץ|לייבניץ]], בסוף [[המאה ה-17]]. ניוטון ולייבניץ, שכל אחד מהם פעל בתחום זה באופן עצמאי, הגיעו לתוצאות דומות. ניוטון סיפק שלל שימושים בפיזיקה, אך מערכת הסימונים שהציע לייבניץ התגלתה כגמישה יותר והיא שנעשתה נפוצה.

==בעת העתיקה==

===חשבון אינטגרלי===

חישוב [[שטח]]ים ו[[נפח]]ים, שהוא שימוש מרכזי של חשבון אינטגרלי, העסיק כבר את המצרים הקדמונים. דוגמה לכך היא [[פפירוס מוסקבה]] (משנת [[1820 לפנה"ס]] בערך), שבו מחושב הנפח של [[פירמידה (גאומטריה)|פירמידה קטומה]].

מתמטיקאים יוונים עשו שימוש ב[[אינפיניטסימל]]ים - גדלים חיוביים קטנים לאין שיעור. [[דמוקריטוס]] עסק בחלוקה אינסופית של עצם באמצעות חיתוכו. [[זנון מאלאה]] ערער את הביטחון בשימוש באינפיניטסימלים באמצעות [[הפרדוקסים של זנון]] (הבעיות שהעלה זכו לפתרון רק כעבור יותר מאלפיים שנה, עם ביסוס מושג ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]]). ל[[אנטיפון]] ואחריו ל[[אאודוקסוס מקנידוס]] מיוחסת יצירתה של [[שיטת המיצוי]], המאפשרת חישוב של שטחים ונפחים באמצעות חלוקת העצם למספר אינסופי של חלקים. [[ארכימדס]] המשיך בפיתוח שיטה זו, והשתמש בשיטות הקרובות לשיטות המודרניות (ראו [[תרבוע הפרבולה]]). רק בזמנו של ניוטון התבטל הצורך בשיטות אלה. 

[[ליאו הואי|לִיאוּ הוּאַי]], ה[[מתמטיקאי]] ה[[סין (אזור)|סיני]] בן [[המאה ה-3]], בפרשנותו לספר "[[תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה]]", מצא נוסחה לחישוב נפח של [[גליל (גאומטריה)|גליל]], בשיטות בסיסיות של החשבון האינפיניטסימלי.

השימוש באינפיניטסימלים לא זכה לביסוס בעת העתיקה, והוא שימש רק ככלי עזר - נכונות המשפט הוכרה רק כאשר נמצאה לו הוכחה גאומטרית.

===חשבון דיפרנציאלי===

[[ארכימדס]] היה הראשון שמצא דרך למציאת [[משיק]] ל[[עקומה]] שאינה [[מעגל]]. בעת שחקר את ה[[ספירלה]], הפריד תנועה של נקודה לשני רכיבים: תנועה לאורך הרדיוס ותנועה מעגלית. הוא חיבר את שתי התנועות יחדיו למציאת המשיק. 

המתמטיקאי ה[[הודו|הודי]] [[אריאבהטה]], בן [[המאה ה-6|המאה השישית]], השתמש באינפיניטסימלים, והציג בעיה [[אסטרונומיה|אסטרונומית]] כ[[משוואה דיפרנציאלית]]. משוואה זו הובילה ב[[המאה ה-12|מאה ה-12]] את [[בהסקרה השני]] לפיתוח רעיון ה[[נגזרת]] לשם ייצוג שינוי אינפיניטסימלי, ותיאר גרסה מוקדמת של [[משפט רול]].

==בימי הביניים==

צעד נוסף בפיתוח החשבון האינפיניטסימלי נעשה ב[[המאה ה-11|מאה ה-11]] בידי [[איבן אל-היית'ם]], מתמטיקאי שחי ב[[מצרים]] העלה ב"[[ספר האופטיקה]]" שלו בעיות שלפתרונן יצר נוסחה לחישוב סכום של [[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]] ממעלה רביעית, בשיטה שניתן להכלילה לסכום של חזקות שלמות ממעלה כלשהי. הוא חישב נפח של [[פרבולואיד]], ויכול להכליל את שיטתו לאינטגרציה של [[פולינום]] עד למעלה רביעית. 

ב[[הודו]], בתקופה שבין [[המאה ה-12]] עד [[המאה ה-16]], אינפיניטסימלים נתגלו כבעלי שימוש ב[[חשבון דיפרנציאלי]] על ידי המתמטיקאי ההודי בשקרה ומספר מתמטיקאים קראליים (מתמטיקאים הודים שלמדו בבית ספר למתמטיקה שבעיר [[קראלה]] ב[[דרום הודו]]).

==תחילת העת החדשה==

המתמטיקאי האיטלקי בן המאה ה-17 [[בונאוונטורה קאוואליירי]] בישר את האינטגרציה המודרנית כאשר פיתח את [[עקרון קאוואליירי]]. קאוואליירי גילה את [[נוסחת האינטגרציה של קאוואליירי]] שמכלילה את עבודתו של ארכימדס על ה[[פרבולה]]. בנוסח מודרני הנוסחה קובעת שלכל n טבעי:
:<math>\textstyle \int\limits_{0}^{a} x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, a^{n+1}</math>.

[[פייר דה פרמה]] מצא דרך לחישוב [[אינטגרל]], ובכך סיפק לניוטון וללייבניץ בסיס חשוב לפיתוח [[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]]. פרמה מצא שיטה למציאת [[מרכז הכובד]] של גופים, והשפיע על המשך המחקר בתחום זה. במשך שנים רבות היה מקובל לחשוב שניוטון גילה את החשבון האינפיניטסימלי באופן עצמאי. ב-1934 גילה לואיס טי. מור הערה של ניוטון לפיה השיטות שלו מבוססות על השיטה של פרמה לשרטוט משיקים.{{הערה|[[סיימון סינג]], [[המשפט האחרון של פרמה (ספר)|המשפט האחרון של פרמה]], 1997, עמ' 71}}

==לייבניץ וניוטון==
[[תמונה:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|שמאל|ממוזער|170px|סר [[אייזק ניוטון]]]]
[[תמונה:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|שמאל|ממוזער|170px|[[גוטפריד וילהלם לייבניץ|גוטפריד לייבניץ]]]]
ניוטון פיתח את התאוריה שלו בין חורף 1664 לאוקטובר 1666, והפקיד סיכום של עבודתו בידי ג'ון קולינס, יועצו של מזכיר [[החברה המלכותית]] הבריטית. לייבניץ החל לעבוד בנושא ב-1673. ניוטון פרסם מעט מאוד משיטותיו בתחום זה עד [[1693]], ולא סיפק הסבר מלא עד [[1704]]. מאוחר יותר טען ניוטון כי התעכב בפרסום רשימותיו מחשש שילעגו לו. לייבניץ, לעומת זאת, פרסם הסבר מלא של השיטות שלו כבר ב-[[1684]]. הרשימות של לייבניץ היו מפורטות ביותר לגבי הפיתוחים שלו לעומת רשימותיו של ניוטון שהציגו פיתוחים סופיים בלבד. 

הסימון של ניוטון ל[[נגזרת]] היה "'''סימון הנקודה של ניוטון'''" ואילו לייבניץ הסתמך על "'''סימון דיפרנציאלי'''" והאחרון הוא שאומץ בקרב מתמטיקאים רבים יותר. לפי סימונים אלה <math>\dot{f}(t) = \frac{df}{dt}</math> כאשר אגף ימין הוא הסימון של לייבניץ ל[[נגזרת]] ואילו אגף שמאל הוא הסימון של ניוטון. אף הסימונים האחרים של לייבניץ בחשבון האינפיניטסימלי נחשבו למקובלים יותר מאשר אלו של ניוטון. בסימוניו של לייבניץ: סימן ה[[אינטגרל]], המסמל [[S ארוכה|S לטינית מוארכת]], מהמילה "סומא" (summa), וה-d המשמשת ל[[דיפרנציאל (מתמטיקה)|דיפרנציאל]] מהמילה הלטינית "דיפרנטייה" (differentia).

ב-[[1699]] החלו ניוטון ולייבניץ בעימות ארוך שנים לגבי זכות הראשונים על המצאת החדו"א. כל אחד מן השניים טען שהוא זה שגילה את החדו"א והאחר העתיק ממנו, ומכיוון שהאנגלים תמכו בניוטון ואילו המתמטיקאים בשאר מדינות אירופה תמכו בלייבניץ, נוצרה הפרדה בין הפעילות המתמטית ב[[אנגליה]] לזו של שאר [[אירופה]] (כתוצאה מכך התעכבה ההתפתחות של החשבון האינפיניטסימלי בממלכה המאוחדת, ורק בתחילת [[המאה ה-19]] אימצו הבריטים את מערכת המושגים והסימונים האירופית).  ניוטון אף גייס את [[החברה המלכותית]], שהוא היה מזכירה, וב-[[1712]] פורסם מסמך מטעמה שטען כי זכויות הגילוי הן של ניוטון וכי לייבניץ הוא רמאי. אמינותו של המסמך הוטלה בספק כאשר התברר מאוחר יותר כי ניוטון עצמו הוא שכתב חלקים ממנו. העימות וההפרדה שנוצרה השפיעו לרעה על התפתחות המתמטיקה באירופה במשך מאה שלמה. חלפו למעלה מ-200 שנה עד שהמצב התברר לאשורו וכיום ניתן הקרדיט על המצאת החדו"א הן לניוטון והן ללייבניץ, ו[[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] נקרא גם '''משפט ניוטון-לייבניץ'''.

לייבניץ וניוטון ביססו את החדו"א על מושג ה[[אינפיניטסימל]] שהוא [[מספר]] "קטן באופן אינסופי", ובאופן יותר מדויק, מספר אינפיניטסימלי הוא מספר שקטן בערכו המוחלט מכל [[מספר ממשי|מספר ממשי חיובי]]. במערכת המספרים הממשיים, האינפיניטסימל היחיד הוא [[0 (מספר)|אפס]], [[אנליזה לא סטנדרטית|אך במערכות מספרים אחרות]] קיימים אינפיניטסימלים רבים. טענה טיפוסית עשויה להתנהל כך:

כדי למצוא את ה[[נגזרת]] <math>\ f'(x)</math> של הפונקציה <math>\ f(x) = x^2</math>, יהי <math>\ dx</math> אינפיניטסימל שאיננו 0. לכן, 

<div style="text-align: center;">

<math>
\begin{align}
f'(x)& = \frac{f(x + \mathrm dx) - f(x)}{\mathrm dx} \\
& = \frac{x^2 + 2x \cdot \mathrm dx + \mathrm dx^2 -x^2}{\mathrm dx}\\
& = \frac{ 2x \cdot \mathrm dx + \mathrm dx^2 }{\mathrm dx}\\
&=2x + \mathrm dx \\
&=2x 
\end{align}</math>
</div>
 
כיוון ש-<math>\ dx</math> קטן לאין שיעור. בשפה מודרנית ניתן לומר שהזנחת המספר האינפיניטסימלי בסוף החישוב נובעת מהגדרת הנגזרת כ[[אנליזה לא סטנדרטית|חלק הסטנדרטי]] של השיפוע שחושב לעיל.

השימוש באינפיניטסימלים הותקף ונטען נגדו שהוא שגוי  על ידי ה[[בישוף]] [[ג'ורג' ברקלי]] בחיבורו "האנליסט". הבעיה הבסיסית, לפי ברקלי, היא שבהתחלה מתייחסים ל-<math>\ dx</math> כמספר שונה מאפס ומחלקים בו, אבל מאוחר יותר מתעלמים ממנו כאילו הוא היה אפס. גם [[דייוויד יום]] תקף את היסודות הלוגיים של החשבון האינפיניסטימלי.

ניוטון נעזר בחדו"א כדי לפתור מגוון רחב של בעיות: מציאת [[שטח|שטחים]], שיפועי [[משיק|משיקים]], [[אורך]] של עקומות ו[[נקודת קיצון|מינימום]] ו[[מקסימום]] של [[פונקציה]]. הוא הפנה את החשבון האינפיניטסימלי לפתרון בעיות פיזיקליות של כמויות משתנות והגיע למגוון תוצאות. הוא ביצע עבודה חלוצית בתחום ה[[טור אינסופי|טורים אינסופיים]] כשמצא טורים אינסופיים לביטוי פונקציות שונות ואת שיטת הקירוב של טורים אינסופיים, והוא אף התקרב מאוד למושג ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]]. ניוטון הציג לראשונה את משפט הבינום המוכלל (אשר נקרא על שמו - [[הבינום של ניוטון]]), המתאר את [[טור טיילור]] של ה[[פונקציה]] <math>\ (1+x)^{\alpha}</math> גם כאשר <math>\ \alpha</math> אינו שלם. הוא ביצע קירוב של סכומים חלקיים של [[הסדרה ההרמונית]] באמצעות [[לוגריתם|לוגריתמים]] (בכך הקדים את [[נוסחת הסכום של אוילר]]) ותרם רבות לתחום של [[טור חזקות|טורי חזקות]]. כמו כן גילה נוסחה חדשה לחישוב [[π]].

==ביסוס מושגים==
במאה ה-19 הצליח ה[[מתמטיקאי]] ה[[צרפת]]י [[אוגוסטן לואי קושי]] לבסס את מושג ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] באמצעות גדלים ממשיים וסופיים בלבד. ההגדרות של קושי החליפו את השימוש במושג האינפיניטסימל בשימוש במספרים ממשיים שיכולים להיות "קטנים כרצוננו" או "גדולים כרצוננו". הגדרת הגבול של קושי נהפכה לאבן היסוד של התחום בצורתו המודרנית. את ביסוס תורת הגבולות וה[[טופולוגיה]] של [[הישר הממשי]] ביצעו בנוסף לקושי גם [[קארל ויירשטראס]] (שבין השאר הנהיג את ההגדרות המודרניות של מושגים יסודיים כמו [[גבול]] ו[[נגזרת]], במונחי <math>\ \varepsilon</math> ו- <math>\ \delta</math>) ו[[ברנרד בולצאנו|בולצאנו]]. תרמו גם [[ז'וזף לואי לגראנז'|לגראנז']], [[ז'אן גסטון דארבו|דארבו]] ו[[ברנהרד רימן|רימן]]. 

בצורתו החדשה, החשבון האינפיניטסימלי היה אמין יותר אך היה מבוסס כולו על תכונות [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]], מושג שהוגדר אז באופן גאומטרי. בסוף המאה ה-19, המתמטיקאים [[גאורג קנטור]] ו[[ריכרד דדקינד]] בנו ייצוגים קונקרטיים למספרים הממשיים, שהתבססו על [[תורת הקבוצות]], במטרה לבסס את המושגים האנליטיים על מושג ה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]]. הבנייה של קנטור הסתמכה על [[מרחב מטרי שלם|השלמה]] של [[שדה המספרים הרציונליים]] באמצעות [[סדרת קושי|סדרות קושי]], ואילו הבנייה של דדקינד התבססה על [[חתכי דדקינד]].

בתחילת [[המאה ה-20]], נעשו מספר ניסיונות על ידי כמה מתמטיקאים להכליל את מושג ה[[אינטגרל]]. וזאת מכיוון שהאינטגרל של רימן לוקה בכמה חסרונות. לדוגמה, אוסף הפונקציות שעליהן ניתן לבצע אינטגרציה לפי רימן אינו [[שלמות (טופולוגיה)|שלם]] לפי מספר [[נורמה (אנליזה)|נורמות]] טבעיות. ההכללה הטובה ביותר הייתה זו של [[אנרי לבג]], הנקראת [[אינטגרל לבג]], אשר מבוססת על [[תורת המידה]] (שבמרכזה [[מידת לבג]] שהיא [[מידה (מתמטיקה)|מידה]] המכלילה את מושג ה[[אורך]]).

==לקריאה נוספת==
* '''תולדות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי''', [[האוניברסיטה הפתוחה]]
<DIV dir=ltr>
* Boyer, Carl, '''The History of Calculus''', Dover Publications, 1949
* A. Rupert Hall, '''Philosophers At War: The Quarrel Between Newton and Leibniz''', Cambridge University Press, 1980.
</DIV>
==קישורים חיצוניים==
* {{דוידסון|יהונתן ברקהיים|קנאת מדענים תרבה חוכמה?|firefly/קנאת-מדענים-תרבה-חוכמה|2 ביולי 2022}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:היסטוריה של המתמטיקה]]
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי]]