הצגת המקור של הדף "היפרבולה"

{{פירוש נוסף|נוכחי=מונח מתמטי|אחר=היפרבולה ב[[ספרות]]|ראו=[[הגזמה]]}}
{{סימון מתמטי}}
[[קובץ:HyperbolaRect01.png|ממוזער|250px|ההיפרבולה <math>y=\frac{1}{x}</math>]]
[[קובץ:Finding center of hyperbola.gif|ממוזער|250px|מציאת מרכז של היפרבולה]]
ב[[מתמטיקה]], '''הִיפֶּרְבּוֹלָה''' היא [[צורה גאומטרית]] המהווה [[חתך חרוט]], המורכבת משתי [[עקומה|עקומות]] נפרדות הקרויות זרועות ההיפרבולה.

ההיפרבולה ניתנת להגדרה כ[[מקום גאומטרי|מקום הגאומטרי]] של ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] שמקיימות שה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של ה[[הפרש]] בין ה[[מרחק]]ים שבין כל אחת מהן לשתי נקודות קבועות (נקודות ה[[מוקד (גאומטריה)|מוקד]]) הוא קבוע.

ההיפרבולה ניתנת לייצוג על פני [[מישור קרטזי]] כ[[עקום]], באמצעות ה[[משוואה]] ה[[אלגברה|אלגברית]] הבאה:
:<math>\,A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>
כאשר <math>\,B^2 > 4 AC</math>.

ניתן להגדיר היפרבולה גם כמקום הגאומטרי של הנקודות שהיחס בין מרחקן מנקודה קבועה – אחד ממוקדי ההיפרבולה – למרחקן מ[[ישר]] נתון – אחד משני מדריכי (directrix) ההיפרבולה – הוא קבוע גדול מ-1, הנקרא [[אקסצנטריות (מתמטיקה)|אקסצנטריות]] ההיפרבולה.

אמצע הקטע שבין שני המוקדים נקרא '''מרכז''' ההיפרבולה. להיפרבולה שתי [[אסימפטוטה|אסימפטוטות]] שנחתכות במרכזה. תהליך למציאת מרכז היפרבולה מתואר באנימציה.

היפרבולה שציריה מאונכים זה לזה נקראת '''היפרבולה שוות שוקיים''' (או '''ישרה'''). היפרבולה שמרכזה ב[[ראשית הצירים]] נקראת '''היפרבולה קנונית'''.

==משוואות המתארות היפרבולה==
===מערכת קואורדינטות קרטזית===
מרכז ההיפרבולה: <math>(h,k)</math>
:<math>\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1</math>
:<math>\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1</math>
בשתי משוואות אלה, <math>a</math> הוא הציר הראשי ו-<math>b</math> הוא הציר המשני, אולם ייתכן ש-<math>b</math> יהיה גדול מ-<math>a</math>.{{ש}}ב[[מקרה פרטי|מקרה הפרטי]] של היפרבולה [[קנוניות (גאומטריה)|קנונית]] (כלומר, שהמרכז נמצא ב[[ראשית הצירים]] – <math>(0,0)</math>), מתקבלת הנוסחה:
:<math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math>
ניתן להבחין בדמיון הרב בין נוסחה זו לנוסחתה של [[אליפסה]] קנונית (<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>).

ה[[אקסצנטריות (מתמטיקה)|אקסצנטריות]] נקבעת על פי המשוואה:
:<math>e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}</math>.

מוקדי ההיפרבולה הקנונית נמצאים בנקודות <math>(\sqrt{a^2+b^2},0)</math> ו־<math>(-\sqrt{a^2+b^2},0)</math>. ניתן לכתוב את המוקדים גם כפונקציה של האקסצנטריות, <math>e</math>:{{כ}} <math>(ae,0)</math> ו־<math>(-ae,0)</math>.

היפרבולה בה צירי הקואורדינטות זהים לצירי ההיפרבולה:
:<math>(x-h)(y-k) = c \,</math>

<!--[[קובץ:היפרבולה.JPG|שמאל|ממוזער|350px|היפרבולה עם אסימפטוטות ומשוואות]]-->
משוואות האסימפטוטות הן:
:<math>y = \frac{b}{a}x</math>
:<math>y = - \frac{b}{a}x</math>
<!--[[קובץ:Hyperbola.PNG|שמאל|ממוזער|350px|היפרבולה עם [[אסימפטוטה|אסימפטוטות]], ומשוואתה.]]-->

===מערכת קואורדינטות קוטבית===
:<math>r^2 =\ \ \, a\,\sec 2t</math>
:<math>r^2 = -a\,\sec 2t</math>
:<math>r^2 =\ \ \, a\,\csc 2t</math>
:<math>r^2 = -a\,\csc 2t</math>

===הצגה פרמטרית (לענף הימני)===
:<math>x = a\,\cosh \theta;\; y = b\,\sinh \theta</math>
:<math>x = a\,\tan \theta;\ \ y = b\,\sec \theta</math>

== תכונות אנליטיות של ההיפרבולה ==
=== השטח תחת ההיפרבולה ===
האינטגרל של ההיפרבולה "הפשוטה" מהצורה: <math> y^2 - x^2 = 1 </math> הוא:

<math> \int \sqrt{{1 + x^2}} \,\mathrm{d}x = \frac {{1}}{{2}}\ln \left(x + \sqrt{{1 + x^2}}\right) + \frac {{x \sqrt{{1 + x^2}}}}{{2}} = \sinh^{{-1}}(x) + \frac {{x \sqrt{{1 + x^2}}}}{{2}}</math>.

ניתן להגיע לתוצאה זאת באמצעות טכניקה אלגנטית של שינוי מערכת קואורדינטות מ-<math>(x,y)</math> למערכת קואורדינטות <math> (x^*,y^*) </math> המסובבת בזווית <math>45^\circ</math> ביחס למערכת הצירים <math>(x,y)</math> ומקיימת<math> y^* = \frac {{C}} {{x^*}}</math>. טרנספורמציית קואורדינטות זאת מתאפשרת אודות לעובדה שהפונקציה <math> y = \frac{{1}}{{x}}</math> היא למעשה היפרבולה, מה שמסביר את הופעת ה[[לוגריתם]] בתוצאת האינטגרציה של השטח תחת ההיפרבולה (האינטגרל של <math> y = \frac{{1}}{{x}}</math> הוא <math>\ln (x) </math>). האיבר הנוסף בתוצאה נובע מכך שהשטח תחת ההיפרבולה מורכב גם ממשולש ישר-זווית "שאריתי" שניצביו <math>x</math> ו-<math>\sqrt{{1 + x^2}}</math>.

==ראו גם==
* [[זווית היפרבולית]]
* [[פונקציה היפרבולית]]
* [[מסלול היפרבולי]]
* [[מבנה היפרבולי]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Hyperbola.html היפרבולה], באתר [[MathWorld|mathworld]]
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Hyperbola}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:חתכי חרוט]]
[[קטגוריה:עקומות]]
[[קטגוריה:היפרבולה]]