הצגת המקור של הדף "הישר של סורגנפריי"

ב[[טופולוגיה]], '''הישר של סוֹרְגֵנְפְרֵיי''' (ב[[אנגלית]]: Sorgenfrey Line) הוא [[מרחב טופולוגי]] שמוגדר על [[שדה המספרים הממשיים|קבוצת הממשיים]] <math> \mathbb{R} </math>, כך ש[[קבוצה פתוחה]] במרחב היא איחוד של קטעים חצי-פתוחים בממשיים, מהצורה <math>[a,b)</math>. המרחב קרוי על שמו של [[רוברט סורגנפריי]] ומסומן לעיתים כ-<math>\mathbb{R}_\ell</math>.

פורמלית, טופולוגיית הישר של סורגנפריי מוגדרת באמצעות הבסיס <math>\mathcal{B}_\ell = \{[a,b) \mid -\infty < a < b < \infty\}</math>, והיא מכונה גם לעיתים '''טופולוגיית הגבול התחתון'''.

== תכונות ==

* טופולוגיה זו מכילה ממש את הטופולוגיה הסטנדרטית על הממשיים. כלומר, כל קבוצה פתוחה לפי ה[[מטריקה]] הסטנדרטית, פתוחה גם לפי הישר של סורגנפריי, ויש קבוצות נוספות שאינן פתוחות בישר הסטנדרטי, כמו כל קטע חצי פתוח <math>[a,b)</math>.

* ה[[גבול (מתמטיקה)|התכנסות]] בטופולוגיה זו שונה מההתכנסות בממשיים. כך למשל, בעוד שהסדרה <math>\left\{ \frac {1}{n} \right\}_{n\in \mathbb{N}}</math> מתכנסת לאפס, הסדרה <math>\left\{-\frac{1}{n}\right\} _{n\in \mathbb{N}}</math> לא מתכנסת לאפס.

* כל קטע מהצורה <math>[a,b)</math> או מהצורה <math>(-\infty ,a)</math> הוא קבוצה [[קבוצה סגורה|סגורה]] ו[[קבוצה פתוחה|פתוחה]]. לכן, לטופולוגיה זו [[ממד טופולוגי|ממד]] אפס.

* המרחב הוא [[מרחב בלתי קשיר לחלוטין|בלתי קשיר לחלוטין]].

* המרחב מקיים את [[אקסיומות המנייה|אקסיומת המנייה הראשונה]], אך איננו מקיים את אקסיומת המנייה השנייה.

* כמסקנה מהתכונה האחרונה, המרחב הוא [[מרחב פרשה-אוריסון]], כלומר מרחב בו ה[[סגור הסדרתי]] מתלכד עם ה[[סגור (טופולוגיה)|סגור]] הרגיל.

* המרחב [[מרחב ספרבילי|ספרבילי]], למשל [[מספר רציונלי|הרציונליים]] צפופים בו.

* המרחב לא [[מרחב מטריזבילי|מטריזבילי]], מפני שכל מרחב מטריזבילי וספרבילי גם מקיים את תכונת [[אקסיומות המנייה|מנייה שנייה]].

* המרחב מקיים את [[אקסיומות ההפרדה|אקסיומת ההפרדה]] <math>{ T }_{ 6 }</math>.
* המרחב הוא [[מרחב בר (טופולוגיה)|מרחב בר]] אשר אינו מקיים את [[משפט הקטגוריה של בר]].

==מרחב מכפלה==
על ידי הכפלת מרחב זה בעצמו, ניתן לקבל [[מרחב מכפלה]], ששומר על חלק מהתכונות של המרחב המקורי, אך חלקן גם אובדות או נחלשות.

בפרט, אם מכפילים פעמיים, מקבלים את '''המישור של סורגנפריי'''. המרחב שמתקבל הוא ספרבילי (כמכפלת שני מרחבים ספרביליים), ומהווה דוגמה למרחב בו [[מרחב ספרבילי|ספרביליות]] לא עוברת בירושה לתתי מרחבים: האלכסון <math>L = \{(x,-x) \mid x \in \mathbb{R}\}</math> הוא תת-מרחב לא ספרבילי. מכאן שספרביליות אינה תכונה תורשתית.

מרחב המכפלה <math>\mathbb{R}_\ell \times \mathbb{R}_\ell</math> הוא [[מרחב רגולרי|רגולרי]], אבל לא [[מרחב נורמלי|נורמלי]]. זוהי דוגמה לכך ש[[טופולוגיית מכפלה|מכפלה סופית]] של [[מרחב נורמלי|מרחבים נורמליים]] אינה בהכרח נורמלית (למרות שמכפלה סופית של מרחבים רגולריים היא רגולרית). מכאן נוכל לספק הסבר חלופי להסבר שניתן לעיל באשר לכך ש-<math>\mathbb{R}_\ell</math> איננו מרחב מטרי: אילו היה מרחב מטרי, אז גם <math>\mathbb{R}_\ell \times \mathbb{R}_\ell</math> היה מטרי ולכן נורמלי, בסתירה.

[[קטגוריה:מרחבים טופולוגיים יחידאים]]