הצגת המקור של הדף "הכפלת הקובייה"

[[קובץ:Doubling the cube problem.PNG|ממוזער|הכפלת הקובייה]]
'''הכפלת הקובייה''' היא אחת מ[[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם]]. הבעיה נוסחה על ידי [[יוון העתיקה|היוונים הקדמוניים]], ונשארה [[בעיה פתוחה במתמטיקה|פתוחה]] במשך מאות שנים, עד שהוכחה ב[[המאה ה-19|מאה ה-19]] כבלתי-פתירה באמצעות [[תורת גלואה]].

הבעיה היא: "כיצד ניתן להכפיל [[נפח]] של [[קובייה]] נתונה באמצעות [[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]]?" כלומר, בהינתן [[מקצוע (גאומטריה)|מקצוע]] של קובייה, כיצד ניתן לבנות את המקצוע של הקובייה הכפולה ממנה בנפחה. בעיה זאת שקולה לבניית המספר <math>\sqrt[3]{2}</math>.

==היסטוריה==

הבעיה מבוססת על סיפור לפיו ב[[אתונה]] פרצה [[מגפה]]. לשאלת התושבים כיצד ניתן לעצור אותה, ענתה ה[[אורקל]] שעליהם להכפיל את נפח ה[[מזבח]] של [[אפולו]], שצורתו הייתה קובייה. התושבים ניסו לעשות זאת על ידי הכפלת [[אורך]] המקצוע, אך פתרון זה הוא שגוי משום שלמעשה הוא מכפיל את נפח הקובייה פי 8. באופן כללי, אם מגדילים את המקצוע פי <math>a</math>, אז נפח הקובייה גדל פי <math>a^3</math>. לכן כדי להכפיל את נפחה של קובייה יש להגדיל את הצלע פי <math>\sqrt[3]{2}</math>. לאחר שהבינו את הבעיה, הם ניסו למצוא דרך לבנות קובייה כפולה בנפחה, אך ללא הצלחה.

התפתחות חשובה בחיפוש הפתרון התרחשה כאשר מצא [[היפוקרטס מכיוס]] ניסוח חילופי: נתון קטע, יש למצוא שני קטעים כך שהראשון [[ממוצע גאומטרי]] של הקטע הנתון ושל השני, ואילו השני ממוצע גאומטרי של הראשון ושל קטע כפול מהקטע הנתון. כלומר, אם נתון קטע באורך a, יש למצוא r ו-s כך ש:
<math>a:r=r:s=s:2a\ </math>. קל לראות ש-<math>{s \over r} =  \sqrt[3]{2}</math>. הוא ו[[מנכמוס]] הראו גם שניתן לפתור בעיה זאת על ידי מציאת חיתוך של [[פרבולה]] ו[[היפרבולה]] או שתי היפרבולות.

בשנת [[1837]] הוכיח [[פירה וונצל]] ש-<math>\ \sqrt[3]{2}</math> איננו שייך ל[[שדה המספרים הניתנים לבנייה]], ולפיכך הבעיה איננה פתירה.

==הוכחה==

ניתן להראות שכל המספרים הניתנים לבנייה שייכים ל[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] המהווה [[הרחבת שדות|הרחבה]] מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] <math>2^n</math> (כאשר n הוא [[מספר טבעי]] כלשהו) של [[שדה המספרים הרציונליים]], כיוון שחיתוך של שני [[ישר]]ים משאיר את המספר באותו הממד, ואילו חיתוך של ישר עם [[מעגל]] או שני מעגלים יוצר הרחבה ריבועית. [[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] ש-<math>\sqrt[3]{2}</math> ניתן לבנייה בסרגל ומחוגה, אז הוא צריך להיות שייך לשדה כאמור (נסמן אותו ב-F). שדה זה חייב [[הכלה (תורת הקבוצות)|להכיל]] את השדה <math>\mathbb{Q} (\sqrt[3]{2})</math>, שהוא הרחבה ממד 3 של שדה המספרים הרציונליים. לכן מתקיים:

:<math>[F:\mathbb{Q}] = [F:\mathbb{Q} (\sqrt[3]{2})][\mathbb{Q} (\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]</math>
:<math>2^n = [F:\mathbb{Q} (\sqrt[3]{2})]\cdot 3</math>
זה בלתי אפשרי, כי 3 איננו גורם של <math>2^n</math>. סתירה.

==ראו גם==
* [[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Doubling_the_cube.html הכפלת הקובייה]
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:בעיות לא פתירות במתמטיקה]]
[[קטגוריה:בנייה בסרגל ובמחוגה]]
[[קטגוריה:הוכחות]]
[[קטגוריה:נפח]]