הצגת המקור של הדף "הלמה של איטו"

ב[[מתמטיקה]], '''הלמה של איטו''' היא [[למה (מתמטיקה)|למה]] המשמשת לחישוב [[דיפרנציאל (מתמטיקה)|הדיפרנציאל]] של [[תהליך סטוכסטי]] מסוג איטו. ללמה של איטו שימושים רבים, למשל בחישובים הכרוכים במערכות פיזיקליות בהן מתבצעת [[תנועה בראונית]], ובשוק ההון בתמחור [[אופציות]] לפי [[מודל בלק ושולס]]. נקראת על שם המתמטיקאי ה[[יפן|יפני]] [[קיושי איטו]].

בצורתה הבסיסית ביותר עוסקת הלמה של איטו בתהליכים סטוכסטיים המכונים "תהליכי איטו", בעלי מבנה של [[משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית]] מהסוג:
<math display="block"> dX_t= \sigma_t\,dB_t + \mu_t\,dt</math>

כאשר <math>\sigma_t\,</math> ו- <math>\mu_t\,</math> הם משתנים התלויים פונקציונלית בזמן, המייצגים בדרך כלל את ה[[תוחלת]] ו[[סטיית תקן|סטיית התקן]] של [[משתנה מקרי|המשתנה המקרי]] <math>\ X</math>, ו- <math>\ B_t</math> מסמל תהליך בראוני סטנדרטי (המוכר גם בשם [[תהליך וינר]]).

הלמה קובעת שאם <math>\ f:[a,b] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> היא [[פונקציה גזירה ברציפות]] פעמיים <math>\ \left( C^2 \right)</math> אזי הדיפרנציאל הסטוכסטי של 
<math>\ f(X_t)</math> קיים (ומהווה גם הוא תהליך איטו) ומתקיים:

:<math>
\begin{align}
df(X_t) &= f^\prime(X_t)\,dX_t + \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(X_t)\sigma^2_t\,dt\\
&= f^\prime(X_t)\sigma_t\,dB_t + \left(f^\prime(X_t)\mu_t+\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(X_t)\sigma^2_t\right)\,dt.
\end{align}
</math>

כאשר f היא פונקציה גם של X וגם של t, הנוסחא המלאה (הדו-ממדית) היא:

:<math>
df(t,X_t) =\left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu_t \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma_t^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\right)dt+ \sigma_t \frac{\partial f}{\partial x}\,dB_t
</math>

{{קצרמר|מתמטיקה}}

[[קטגוריה:תהליכים סטוכסטיים]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת ההסתברות|איטו]]