הצגת המקור של הדף "הלמה של דוב-דינקין"

ב[[תורת המידה]] וב[[תורת ההסתברות]], '''הלמה של [[ג'וזף דוב|דוב]]-[[יוג'ין דינקין|דינקין]]''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] המאפיין מתי [[משתנה מקרי]] אחד ניתן לביטוי כ[[פונקציה מדידה]] של משתנה מקרי אחר, באמצעות ה[[סיגמא-אלגברה|סיגמא-אלגבראות]] הנוצרות על ידי המשתנים המקריים. 

למשפט זה תפקיד חשוב בפיתוח התורה של [[תוחלת מותנית]], בכך שהוא מאפשר להכליל את מושג ההתניה במשתנה מקרי, ולהגדיר התניה בסיגמא-אלגברה. ההתניה במשתנה המקרי מתקבלת כמקרה פרטי מהגדרה זו על ידי התניה בסיגמא-אלגברה הנוצרת על-ידו.

==נוסח פורמלי==

יהי <math>\left( \Omega, \mathcal{F} \right)</math> [[מרחב מדיד]]. נתבונן במרחב המדיד <math>\left( \mathbb{R}^n, \mathcal{B}_n \right)</math> כאשר <math>\mathcal{B}_n</math> היא [[סיגמא-אלגברת בורל]] של <math>\mathbb{R}^n</math>. לכל [[פונקציה מדידה]] <math>f: \Omega \to \mathbb{R}^n</math>, נגדיר את ה[[סיגמא-אלגברה]] הנוצרת על ידי <math>f</math> להיות התת-סיגמא-אלגברה של <math>\mathcal{F}</math> הנוצרת על ידי כל הקבוצות מהצורה <math>f^{-1} \left( B \right)</math> עבור <math>B \in \mathcal{B}_n</math>. נסמן זאת,
<center><math>\sigma \left( f \right) = \sigma \left( \left\{ f^{-1} \left( B \right) \mid B \in \mathcal{B}_n \right\} \right)</math>
</center>

'''משפט:''' יהיו <math>X,Y: \Omega \to \mathbb{R}^n</math> [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]]. אז <math>Y</math> הוא מדיד ביחס לסיגמא-אלגברה <math>\sigma \left( X \right)</math>, אם ורק אם <math>\sigma \left( Y \right) \subset \sigma \left( X \right)</math>, [[אם ורק אם]] קיימת פונקציה מדידה <math>F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> כך שמתקיים <math>Y = F \circ X </math>.

כמו כן, לכל [[מידת הסתברות]] <math>\mathbb{P}</math> שנתונה על המרחב <math>\left( \Omega, \mathcal{F} \right)</math>, אם מתקיים התנאי שבמשפט, אז <math>F</math> היא יחידה [[כמעט תמיד]] ביחס למידה <math>\mu</math> המוגדרת על <math>\left( \mathbb{R}^n, \mathcal{B}_n \right)</math> על ידי <math>\mu \left( B \right) = \mathbb{P} \left( X^{-1} \left( B \right) \right)</math> לכל <math>B \in \mathcal{B}_n</math>.

==הוכחה==

השקילות הראשונה בטענה ברורה. כמו כן הטענה כי אם <math>Y = F \circ X </math> אז <math>\sigma \left( Y \right) \subset \sigma \left( X \right)</math>, גם היא ברורה, ונובעת מהטענה הפשוטה כי [[הרכבת פונקציות|הרכבה של פונקציות]] מדידות היא פונקציה מדידה. עיקר האתגר במשפט הוא להוכיח כי אם <math>\sigma \left( Y \right) \subset \sigma \left( X \right)</math> אז <math>Y</math> הוא פונקציה מדידה של <math>X</math>.

תחילה נראה את היחידות כמעט תמיד של <math>F</math>. נניח כי <math>F'</math> היא פונקציה כלשהי המקיימת <math>Y = F' \circ X = F \circ X</math>, אז נתבונן בקבוצה המדידה <math>B = \left\{ x \in \Omega \mid F(x) = F'(x) \right\}</math>. נשים לב כי <math>X^{-1} \left( B \right) = \Omega</math>, ולכן מידתה של <math>B</math> היא <math>1</math>, כנדרש.

כעת נראה את הקיום. ניתן להוכיח את המשפט באמצעות הוכחתו עבור [[פונקציה מציינת|פונקציות מציינות]], להסיק אותו עבור [[פונקציה פשוטה|פונקציות פשוטות]], ועל ידי שימוש בעובדה שכל פונקציה מדידה היא [[גבול של סדרה]] מונוטונית של פונקציות פשוטות, ניתן להסיק את המשפט לכל פונקציה מדידה. להלן נציג הוכחה אחרת.

לצורך הפשטות, נוכיח זאת עבור [[קטע היחידה]] <math>I = \left[ 0,1 \right]</math> עם סיגמא-אלגברת בורל שלו, שהוא איזומורפי כמרחב מדיד ל-<math>\left( \mathbb{R}, \mathcal{B}_1 \right)</math>. ההוכחה למקרה ה-<math>n</math>-ממדי תהיה כמעט זהה. נשים לב כי ניתן להציג מרחב זה על ידי [[מרחב מכפלה]] מהצורה <math>\left\{ 0,1 \right\}^\mathbb{N}</math>, עם סיגמא-אלגברת בורל המכפלה. לכל <math>i \in \mathbb{N}</math> נתבונן בפונקציית ההטלה <math>p_i : \left\{ 0,1 \right\}^\mathbb{N} \to \left\{ 0,1 \right\}</math> המחזירה את ערך הקואורדינטה ה-<math>i</math>. זו פונקציה מדידה. נשים לב שקיימת פונקציה <math>F_i: \left\{0,1\right\}^\mathbb{N} \to \left\{ 0,1 \right\}</math>, כך שמתקיים <math>p_i \circ Y = F_i \circ X</math>. ניתן לראות כי <math>F_i</math> מדידה ביחס לסיגמא-אלגברה <math>\sigma \left( Y \right)</math>, ואם נניח את ההנחה שבמשפט כי <math>\sigma \left( Y \right) \subset \sigma \left( X \right)</math>, ינבע כי היא גם מדידה ביחס לסיגמא-אלגברה <math>\sigma \left( X \right)</math>. נגדיר לפיכך <math>F: \left\{0,1\right\}^\mathbb{N} \to \left\{0,1\right\}^\mathbb{N}</math> על ידי <math>F = \left(F_1,F_2, \dots \right)</math>, וזו הפונקציה המבוקשת.

==לקריאה נוספת==

<div class="mw-content-ltr">* A. Bobrowski: ''Functional analysis for probability and stochastic processes: an introduction'', Cambridge University Press (2005), {{ISBN|0-521-83166-0}} 
* M. M. Rao, R. J. Swift : ''Probability Theory with Applications'', Mathematics and Its Applications, Band 582, Springer-Verlag (2006), {{ISBN|0-387-27730-7}}</div>

[[קטגוריה:משפטים בתורת ההסתברות]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת המידה]]