הצגת המקור של הדף "הלמה של צורן"

'''הלמה של צורן''' (Zorn's lemma) ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד ב[[תורת הקבוצות]],  היא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] שימושי העוסק בתכונה של [[סדר חלקי|קבוצות סדורות חלקית]]. בין היתר, חשיבותו של המשפט באה לידי ביטוי בכך שהוא שקול ל[[אקסיומת הבחירה]], ומשתמשים בו לרוב על מנת להראות קיום של דבר מה בלי להראות דרך מפורשת לבנות אותו. המשפט משמש, בין היתר, להוכיח שלכל [[מרחב וקטורי]] יש [[בסיס (אלגברה)|בסיס]], שלכל [[חוג (אלגברה)|חוג]] יש [[אידיאל מקסימלי]], שלכל [[שדה (מתמטיקה)|שדה]] יש [[סגור אלגברי]], וכן להוכחת [[משפט טיכונוף]] ב[[טופולוגיה]], להוכחת גרסה אינסופית של [[משפט החתונה]] ב[[קומבינטוריקה]], ושימושים רבים נוספים.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי [[מקס צורן]], שהשתמש בעקרון דומה ב-1935 כדי להוכיח טענה ב[[אלגברה]]. קדמו לו בניסוח עקרונות מקסימום הנובעים מאקסיומת הבחירה ו[[עקרון הסדר הטוב]] - [[פליקס האוסדורף]] ב-[[1907]], [[קזימירייז קורטובסקי]] {{אנ|Kazimierz Kuratowski}} ב-[[1922]] ו-[[רוברט לי מור]] {{אנ|Robert Lee Moore}} ב-[[1932]].

==ניסוח==
תהא <math>\!\, (A,\le)</math> קבוצה [[יחס סדר|סדורה חלקית]] לא [[הקבוצה הריקה|ריקה]]. אם לכל [[שרשרת (מתמטיקה)|שרשרת]] בתוכה (קבוצה חלקית ל-A שהצמצום של <math>\le </math> אליה הוא [[יחס סדר ליניארי]]) קיים [[חסם מלעיל]] ב-A, אז ב-A יש איבר [[חסם_(מתמטיקה)|מקסימלי]].

==הוכחת הלמה מעקרון המקסימום של האוסדורף==
לפי [[עקרון המקסימום של האוסדורף]] (השקול לאקסיומת הבחירה) קיימת ב-A [[שרשרת מקסימלית]] C. יהי a חסם מלעיל של C. נוכיח כי a מקסימלי ב-A: נניח ב[[הוכחה בדרך השלילה|שלילה]] ש-a איננו מקסימלי. לכן, קיים <math>\ b \in A </math> כך ש-<math>\ a<b </math>. מהיותו של a חסם מלעיל של C אנו מקבלים כי לכל <math>\ c \in C </math> מתקיים <math>\ c \le a </math>. מכאן, לכל <math>\ c \in C </math> מתקיים <math>\ c<b </math> ולכן <math>\  b \not\in C </math>. נתבונן בקבוצה <math>\ C \cup \left\{ b \right\} </math>. הקבוצה הנ"ל מהווה שרשרת ומאחר ו-<math>\  b \not\in C </math> אז אנו מקבלים ש-<math>\ C \subset C \cup \left\{ b \right\} </math>, כלומר שיש שרשרת גדולה מ-C וזאת בסתירה לכך ש-C היא שרשרת מקסימלית ב-A.

==דוגמה לשימוש בלמה של צורן==

נוכיח לדוגמה, תוך שימוש בלמה של צורן כי בכל חוג עם יחידה קיים [[אידיאל מקסימלי]]. יהי ''R'' חוג עם יחידה, ותהי ''P'' קבוצת כל האידיאלים האמיתיים ב''R'' (כלומר, האידיאלים שאינם שווים לחוג R עצמו), סדורה על ידי יחס ההכלה. ''P'' אינה ריקה שכן אידיאל האפס שייך ל''P''. 

תהי C שרשרת ב-''P''. האיחוד U של כל האידיאלים בשרשרת הוא אידיאל (הוא סגור לכפל באיבר r של החוג משום שכל איבר x בתוכו שייך לאידיאל בשרשרת, המכיל גם את המכפלות rx ו-xr, וסגור לחיבור משום שאם x,y באיחוד אז יש אידיאלים <math>\ S,T\in C</math> כך ש-<math>\ x\in S</math> ו-<math>\ y\in T</math>; אבל C שרשרת ולכן אפשר להניח ש-<math>\ S\subseteq T</math>, ואז <math>\ x+y \in T</math> מכיוון ש-T סגור לחיבור). כעת מבצע איבר היחידה את תפקידו החיוני בהוכחה: הוא אינו שייך לאף אידיאל בשרשרת (משום שכולם אידיאלים אמיתיים), ולכן גם אינו שייך ל-U -- מכאן שגם U אידיאל אמיתי.

לפי הלמה של צורן, יש ב-''P'' [[איבר מקסימלי]], שהוא אידיאל מקסימלי של החוג. הוכחה זו אינה עובדת בחוגים ללא יחידה, ואכן ישנם חוגים כאלה ללא אידיאל מקסימלי (לדוגמה, בחוג הפולינומים השבריים <math>\ R_0 = \sum_{\alpha>0} F x^{\alpha}</math> אין אידיאל מקסימלי; <math>\ R_0</math> עצמו הוא האידיאל המקסימלי היחיד של אותו חוג בתוספת יחידה, <math>\ \sum_{\alpha \geq 0}F x^{\alpha}</math>).

== קישורים חיצוניים ==
* {{MathWorld|ZornsLemma}}
* {{בריטניקה}}

{{תורת הקבוצות}}
[[קטגוריה:הוכחות]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת הקבוצות|צורן]]
[[קטגוריה:קבוצות סדורות]]


[[קטגוריה:אקסיומת הבחירה]]