הצגת המקור של הדף "הלמה של קרונקר"

{{סימון מתמטי}}

ב[[אנליזה מתמטית]], '''הלמה של [[לאופולד קרונקר|קרונקר]]''' היא משפט מתמטי הקושר בין [[סדרה מתכנסת|התכנסות]] של [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] לבין [[טור (מתמטיקה)#התכנסות של טור אינסופי|התכנסות]] של [[טור (מתמטיקה)|טור]] המתאים לה במובן שיתואר להלן.

משפט זה משמש פעמים רבות לטפל בהתכנסות של סכומים ממוצעים של [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] [[תלות (הסתברות)|בלתי-תלויים]]. דוגמה בולטת לכך היא אחת ההוכחות של [[החוק החזק של המספרים הגדולים]], העושה שימוש במשפט זה יחד עם [[משפט שלושת הטורים של קולמוגורוב]].{{הערה|Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005, Section 1.8, pp. 60–69.}}

המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי ה[[גרמני]] [[לאופולד קרונקר]].

==נוסח פורמלי==

תהי <math>\left( x_n \right)_{n=1}^{\infty}</math> סדרה של [[מספרים ממשיים]]. נניח כי הטור האינסופי <math>\sum_{n=1}^{\infty}x_n = s</math> מתכנס למספר ממשי.

אזי לכל [[סדרה מונוטונית]] עולה של מספרים ממשיים <math>\left( a_n \right)_{n=1}^{\infty}</math> המתבדרת לאינסוף, מתקיים כי,
<math display="block">\lim_{N \to \infty} \frac{1}{a_N} \sum_{n=1}^{N} a_n \cdot x_n = 0</math>

==הוכחה==

נסמן <math>S_N = x_1 + x_2 + \dots + x_N</math>. ניתן לראות שמתקיים כי,
<math display="block">\frac{1}{a_N} \sum_{n=1}^{N} a_n \cdot x_n = S_N - \frac{1}{a_N} \sum_{n=1}^{N-1} \left( a_{n+1} - a_n \right) \cdot S_n</math>

יהי <math>\epsilon > 0</math>. הנחנו כי <math>\lim_{N \to \infty} S_N = s</math>, ולכן קיים <math>N_0</math> כך שמתקיים <math>\left| s - S_N \right| < \epsilon</math> לכל <math>N \geq N_0</math>.

עבור כל <math>N</math> מספיק גדול, נפרק את הסכום שקיבלנו לשני סכומים:
<div class="mw-content-ltr"><math>S_N - \frac{1}{a_N} \sum_{n=1}^{N_0-1} \left( a_{n+1} - a_n \right) S_n - \frac{1}{a_N} \sum_{n=N_0}^{N-1} \left( a_{n+1} - a_n \right) S_n</math>
:<math>= S_N - \frac{1}{a_N} \sum_{n=1}^{N_0-1} \left( a_{n+1} - a_n \right) S_n - \frac{1}{a_N} \sum_{n=N_0}^{N-1} \left( a_{n+1} - a_n \right) s - \frac{1}{a_N} \sum_{n=N_0}^{N-1} \left( a_{n+1} - a_n \right) \left( S_n - s \right)</math>
:<math>= S_N - \frac{1}{a_N} \sum_{n=1}^{N_0-1} \left( a_{n+1} - a_n \right) S_n - \frac{a_N - a_{N_0}}{a_N} \cdot s - \frac{1}{a_N} \sum_{n=N_0}^{N-1} \left( a_{n+1} - a_n \right) \left( S_n - s \right)</math> 
</div>

כאשר <math>N \to \infty</math>, האיבר הראשון מתכנס ל-<math>s</math> והאיבר השלישי מתכנס ל-<math>-s</math>, והם מבטלים זה את זה; האיבר השני מתכנס לאפס כי <math>a_N \to \infty</math>; והאיבר האחרון חסום על ידי <math>\epsilon \cdot \frac{a_N - a_{N_0}}{a_N} \leq \epsilon</math>.

==לקריאה נוספת==

<div class="mw-content-ltr">
* {{cite book
  | last = Shiryaev | first = Albert N.
  | title = Probability
  | year = 1996
  | edition = 2nd
  | publisher = Springer
  | isbn = 0-387-94549-0
  | ref = CITEREFShiryaev1996
  }}</div>

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:טורים מתמטיים]]