הצגת המקור של הדף "הלמה של שור"

ב[[אלגברה]], '''הלמה של שור''' היא טענה בסיסית הקובעת כי [[חוג האנדומורפיזמים]] של [[מודול פשוט]] הוא [[חוג עם חילוק]], כלומר כל [[אנדומורפיזם]] לא אפס של מודול פשוט הוא [[אוטומורפיזם]]. לטענה שימושים רבים בקביעת המבנה של [[חוג ארטיני|חוגים ארטיניים]] [[נוצר סופית|נוצרים סופית]] וכן ב[[תורת ההצגות]]. ה[[למה (מתמטיקה)|למה]] נקראת על שמו של ה[[מתמטיקאי]] היהודי [[ישי שור]], שעסק בתורת ההצגות של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]].

==ניסוח==
יהי <math>M</math> [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] נתון <math>R</math>. נסמן ב-<math>\operatorname{End}(M)</math> את [[חוג האנדומורפיזמים]] של <math>M</math>, היינו
: <math>\operatorname{End}(M)=\{\phi:M \to M: \phi(rm)=r\phi(m);\phi(m+n)=\phi(m)+\phi(n)\}</math>.
זהו חוג עם פעולות החיבור וההרכבה.

'''הלמה של שור''' קובעת כי אם <math>M</math> [[מודול פשוט]] (כלומר, אין לו תתי מודולים פרט לטריוויאליים), אז <math>\operatorname{End}(M)</math> הוא [[חוג עם חילוק]] - כל איבר בו הוא הפיך.

הכיוון ההפוך ללמה של שור אינו נכון. למשל, המודול <math>\ \mathbb {Q}</math> מעל <math>\ \mathbb {Z}</math> אינו מודול פשוט אבל חוג האנדומורפיזמים שלו [[איזומורפיזם|איזומורפי]] ל[[שדה (מתמטיקה)|שדה]] <math>\ \mathbb {Q}</math>.

==הוכחה==
יהי <math>0 \neq \phi \in \operatorname{End}(M)</math>. אזי ה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] <math>\ker\phi</math> הוא תת-מודול של <math>M</math>, ומכך ש-<math>\phi \neq 0</math> נקבל בהכרח <math>\ker \phi = 0</math>, כלומר <math>\phi</math> [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]].

בדומה, התמונה <math>\operatorname{Im}(\phi)</math> היא תת-מודול של <math>M</math>, ומכך ש-<math>\phi \neq 0</math> נקבל בהכרח <math>\operatorname{Im}(M)=M</math>, כלומר <math>\phi</math> גם [[פונקציה על|על]], ולכן הפיכה.

==יישומים==
יישום נפוץ עבור הלמה של שור הוא בהוכחת [[משפט ודרברן-ארטין]], הקובע כי [[חוג פרימיטיבי]] [[חוג ארטיני|ארטיני]] איזומורפי ל[[חוג מטריצות]] מעל חוג עם חילוק. לפי ההנחה, מעל החוג קיים [[מודול פשוט]] ו[[מודול נאמן|נאמן]], ולכן לפי הלמה של שור חוג האנדומורפיזמים מעליו הוא חוג עם חילוק. כדי להשלים את ההוכחה יש להשתמש ב[[משפט הצפיפות של ג'ייקובסון]].

ב[[פיזיקה]], מן הלמה של שור משתמע כי [[מצב עצמי|המצבים העצמיים]] של מערכת פיזיקלית בעלת סימטריה שייכים להצגות אי פריקות של חבורת הסימטריה, ו[[ערך עצמי|הערכים העצמיים]] [[ניוון (פיזיקה)|מנוונים]] בהתאם לגודל ההצגות.

== קישורים חיצוניים ==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:תורת החוגים|שור]]
[[קטגוריה:תורת המודולים|שור]]
[[קטגוריה:תורת ההצגות|שור]]
[[קטגוריה:משפטים באלגברה|שור]]