הצגת המקור של הדף "הלמניסקטה של ברנולי"

[[קובץ:Lemniskate bernoulli2.svg|שמאל|250px|ממוזער|הלמניסקטה של ברנולי.]]
'''הלמניסקטה של ברנולי''' היא [[עקום]] המבוסס על שני מוקדים, ''F''<sub>1</sub> ו-''F''<sub>2</sub> שהמרחק ביניהם הוא 2''c'', והעקום הוא ה[[מקום גאומטרי|מקום הגאומטרי]] של כל הנקודות ''P'' שמקיימות ''PF''<sub>1</sub>·''PF''<sub>2</sub> = ''c''<sup>2</sup>. קרויה על שמו של [[יאקוב ברנולי]] שחקר אותה.

==היסטוריה==
[[קובץ:Lemniscate Building.gif|ממוזער|שמאל|בניית למניסקטה של ברנולי באמצעות כידון למניסקטי:{{ש}}A,{{כ}} B הם המוקדים;{{ש}} <math>AC=BD=\frac{AB}{\sqrt{2 } } </math>;{{ש}}<math>CD=AB</math>;{{ש}}<math>E</math> היא המרכז של הקטע <math>CD</math>]]
ב-1680 חקר [[ג'ובאני דומניקו קאסיני|קאסיני]] משפחה של עקומים, שכעת נקראים [[האובל של קאסיני]], אותה הגדיר כך: [[מקום גאומטרי|המקום הגאומטרי]] של כל הנקודות, אשר מכפלת מרחקיהן משתי נקודות קבועות, שהן המוקדים של העקום, קבועה. כאשר מחצית המרחק בין המוקדים משתווה ל[[שורש ריבועי|שורש הריבועי]] של הקבוע, האובל של קאסיני הופך ל[[למניסקטה]], עקום שהתיאור הגאומטרי שלו היא חיתוך של [[טורוס]] על ידי מישור שמקביל לציר הטורוס ו[[מרחב משיק|משיק]] למשטח הפנימי של הטורוס, וההגדרה האלגברית שלו היא אוסף האפסים של ה[[פולינום]] ממעלה רביעית: <math>(x^2 + y^2)^2 - cx^2 - dy^2 + e = 0</math>.

ב-1694 חקר [[יוהאן ברנולי]] את המקרה שבו האובל של קאסיני הופך ללמניסקטה (שכעת נקראת '''הלמניסקטה של ברנולי''') בהקשר של "[[בעיית הטאוטוכרון|בעיית האיזוכרונות]]" שהוצעה קודם על ידי [[גוטפריד וילהלם לייבניץ|לייבניץ]]. עקומה זאת ניתנת לתיאור אנליטית על ידי המשוואה הפולינומית: <math>(x^2 + y^2)^2 - 2a^2 (x^2 - y^2) = 0</math>.

כאשר <math>a</math> פרמטר קבוע כלשהו המשפיע על גודל וצורת העקום. ככל ש-a גדול יותר כך העקום גדול ומתוח יותר.

אחיו של יוהאן, [[יאקוב ברנולי]], חקר גם הוא את העקומה באותה שנה, והוא שהעניק לה לראשונה את השם "למניסקטה". זהו [[מקרה פרטי]] של העקום שנוצר על ידי חיתוך של [[מישור (גאומטריה)|מישור]] בטורוס כאשר <math>d=-c</math>, מצב שקורה כאשר הלמניסקטה היא חתך של טורוס אשר החור הפנימי שלו והחתך המעגלי שלו (כלומר חתך ה"צינור" שכופף לכדי טורוס) הם בעלי אותו קוטר. 

[[פונקצי אליפטית למניסקטית|פונקציות אליפטיות למניסקטיות]] {{אנ|Lemniscatic elliptic function}} הן אנלוגיות ל[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]] בעבור הלמניסקטה של ברנולי, ו[[קבוע גאוס|קבועי הלמניסקטה]] צצים באופן טבעי בחישוב [[אורך|אורך הקשת]] של עקומה זאת.

==תכונות==
* הלמניסקטה של ברנולי [[סימטריה|סימטרית]] סביב הישר המחבר את שני מוקדים, ''F''<sub>1</sub> ו-''F''<sub>2</sub>, וסביב האנך לו בנקודה ''O'' שבמרכז הקטע ''F''<sub>1</sub>''F''<sub>2</sub>.
* הלמניסקטה של ברנולי סימטרית סביב הנקודה ''O''.
* שני ה[[משיק]]ים ללמניסקטה של ברנולי בנקודה ''O'' מאונכים זה לזה, ויוצרים [[זווית]] בגודל <math>\tfrac{\pi}{4}</math> עם הישר שמחבר את שני המוקדים. 
* כאשר המרחק בין המוקדים הוא 2c:
** רוחב הלמניסקטה של ברנולי (כלומר המרחק בין שתי הנקודות שבהן היא פוגשת את ציר ה-x) הוא <math>2c\sqrt{2} \,</math>.
** חצי-גובה הלמניסקטה של ברנולי (כלומר המרחק בין הנקודה הגבוהה ביותר שלה לבין ציר ה-x) הוא <math>\frac{c}{2} \,</math>, והוא מושג ב[[נקודת קיצון|נקודות הקיצון]] <math>(\frac{c}{2}\sqrt{3},\frac{c}{2}) \,</math> ו-<math>(-\frac{c}{2}\sqrt{3},\frac{c}{2}) \,</math>, שמרחק כל אחת מהן מהנקודה ''O'' שווה ל-<math>c \,</math>.
** שטח הלמניסקטה של ברנולי הוא <math>2a^2</math>, כאשר <math>a = c \sqrt{2}</math> הוא חצי רוחב הלמניסקטה.
*[[אינוורסיה (גאומטריה)|אינוורסיה]] דרך מעגל שמרכזו נמצא בנקודה ''O'' תחליף בין הלמניסקטה של ברנולי ל[[היפרבולה]] ישרה עם מרכז בנקודה ''O''.

==משוואות הלמניסקטה של ברנולי==

* ב[[מערכת צירים קרטזית]]:
*:כאשר המוקדים נמצאים בנקודות <math>(-c, 0)</math> ו-<math>(c, 0)</math> מתקיים, לפי הגדרת הלמניסקטה של ברנולי ו[[משפט פיתגורס]]:
*:<math>\sqrt{(x-c)^2 + y^2)} \sqrt{(x+c)^2 + y^2)} = c^2\,</math> ומכאן:
*:<math>(x^2 + y^2)^2 = 2 c^2 (x^2 - y^2)\,</math>

* ב[[תיאור פרמטרי של עקום|תיאור פרמטרי]]:
*:<math>x = \frac{a\cos(t)}{1 + \sin^2(t)}; \qquad y = \frac{a\sin(t)\cos(t)}{1 + \sin^2(t)} </math>

* ב[[קואורדינטות קוטביות]]:
*:<math>r^2 = a^2 \cos 2\theta\,</math>

* ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]]:
*:<math>|z-a||z+a|=a^2\,</math>

== אורך הקשת של הלמניסקטה של ברנולי ==
הקביעה של אורך הקשת של הלמניסקטה של ברנולי מובילה ל[[אינטגרל אליפטי|אינטגרלים אליפטיים]], כפי שנתגלה במאה ה-18. ב[[קואורדינטות קוטביות]] ניתן לרשום את משוואת הלמניסקטה של ברנולי בצורה: <math> r^2 = 2a^2 \cos 2\theta</math>, וניתן להניח [[בלי הגבלת הכלליות]] שמשוואה זו היא: <math>r^2 = \cos 2\theta</math>. גזירה של ה[[פונקציה סתומה|פונקציה הסתומה]] <math>r^2 - \cos 2\theta = 0</math> נותנת: 
<math>2rdr + 2\sin 2\theta \,\mathrm{d}\theta = 0</math>, או: <math>\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}r} = -\frac {r}{\sin 2\theta}</math>. הנוסחה לאורך עקומה בקואורדינטות קוטביות היא: <math>l = \int _0^{s} \sqrt{1 + r^2 \left( \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}r} \right)^2} \,\mathrm{d}r </math>, ולכן נקבל שבמקרה זה אורך קשת הלמניסקטה בין <math>r = 0</math> ל-<math>r = s</math> הוא: <math>l = 
\int_0^s \sqrt{1 + r^2 \left( \frac{r^2}{\sin^2(2\theta)} \right)} \,\mathrm{d}r =
\int_0^s \sqrt{1 + \frac{r^4}{1-r^4}} \,\mathrm{d}r =
\int_0^s \frac{1}{\sqrt{1-r^4}} \,\mathrm{d}r </math>.

כלומר קיבלנו שכדי לחשב את אורך קשת הלמניסקטה יש לחשב אינטגרל אליפטי. בסביבות 1800, [[פונקציה אליפטית|הפונקציות האליפטיות]] שהופכות את האינטגרלים הללו נחקרו על ידי [[קרל פרידריך גאוס]] (עבודותיו כמעט ולא פורסמו בזמנו, אולם רמזים לה ניתנו בספרו "[[מחקרים אריתמטיים]]"). [[סריג (גאומטריה)|סריג]] המחזורים של פונקציות אלו הוא בעל צורה מיוחדת מאוד, שכן נקודות הסריג הן [[חוג השלמים של גאוס|השלמים הגאוסיים]], עד כדי כפל בקבוע ממשי.

פונקציית אורך הקשת  <math>\operatorname{arcsl}(s) = \int_0^s\frac{1}{\sqrt{1 - r^4}} \,\mathrm{d}r </math> מגדירה את '''הסינוס הלמניסקטי''' כפונקציה ההפוכה <math>\ \operatorname{sl} = \operatorname{arcsl}^{-1}</math> עם מחזור <math>\ 2\varpi = 4 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-r^4}} \,\mathrm{d}r</math>. בדומה לזה מוגדר '''הקוסינוס הלמניסקטי''' <math>\ \operatorname{cl}(s) = \operatorname{sl}\left(\frac{\varpi}{2}-s\right)</math>. פונקציות אלה מקיימות את היחס <math>\operatorname{sl}(x)^2+\operatorname{cl}(x)^2+\operatorname{sl}(x)^2\operatorname{cl}(x)^2 = 1</math>. הן מקיימות גם נוסחאות חיבור וחיסור: <math>\ \operatorname{sl}(x+y) = \frac{\operatorname{sl}(x)\operatorname{cl}(y) + \operatorname{sl}(y)\operatorname{cl}(x)}{1-\operatorname{sl}(x)\operatorname{sl}(y)\operatorname{cl}(x)\operatorname{cl}(y)}</math> ו-<math>\ \operatorname{cl}(x+y) = \frac{\operatorname{cl}(x)\operatorname{cl}(y) - \operatorname{sl}(x)\operatorname{sl}(y)}{1+\operatorname{sl}(x)\operatorname{sl}(y)\operatorname{cl}(x)\operatorname{cl}(y)}</math>.

==זוויות==
[[קובץ:Lemniskate vechtmann.svg|ממוזער|upright=1.75|הקשר בין זוויות בלמניסקטה של ברנולי]]
המשפט הבא על הקשר בין זוויות בלמניסקטה של ברנולי הוכח בשנת 1843 על ידי המתמטיקאי [[גרהרד כריסטוף הרמן וכטמן]]:
:''F''<sub>1</sub> ו-''F''<sub>2</sub> הם מוקדי הלמניסקטה של ברנולי, ''O'' היא הנקודה שבמרכז הקטע המחבר את המוקדים, ''P'' היא נקודה כלשהי על הלמניסקטה של ברנולי שאינה על הישר המחבר את המוקדים. ה[[נורמל]] (האנך למשיק) ''n'' של הלמניסקטה בנקודה ''P'' חותך את הישר המחבר את המוקדים בנקודה ''R''. הזווית של המשולש ''OPR'' בנקודה ''O'' היא שליש מה[[זווית חיצונית|זווית החיצונית]] בנקודה ''R'', והזווית במשולש בנקודה ''P'' כפולה מהזווית בנקודה ''O''.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
* [http://mathcurve.com/courbes2d.gb/lemniscate/lemniscate.shtml הלמניסקטה של ברנולי], באתר MathCurve {{אנגלית}}
<div class="mw-content-ltr">
* Joel C. Langer and David A. Singer, [https://case.edu/artsci/math/langer/jlpreprints/fortyeight2010.pdf Reflections on the Lemniscate of Bernoulli: The Forty-Eight Faces of a Mathematical Gem]
</div>

[[קטגוריה:עקומות]]
[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]