הצגת המקור של הדף "המבחן המדויק של פישר"

'''המבחן המדויק של פישר''' או בקיצור '''מבחן פישר''' הוא [[מבחן סטטיסטי]] לבדיקת השערת [[אי תלות (סטטיסטיקה)|אי התלות]] בין שני [[משתנה איכותי|משתנים איכותיים]]. מבחן זה שימושי כאשר גודל [[מדגם|המדגם]] הוא קטן, ולכן הקירובים [[אסימפטוטה|האסימפטוטיים]] של מבחנים כגון [[מבחן חי בריבוע]] אינם תקפים. עם זאת, המבחן עצמו תקף גם עבור מדגמים גדולים, אף על פי שבאופן מעשי יש קושי לבצע את החישובים הנדרשים כאשר המדגם גדול.

== היסטוריה ==
[[רונלד פישר]] הציג את המבחן בשנת 1922.{{הערה|{{צ-מאמר|מחבר=Fisher, R. A.|שם=On the interpretation of <math>\chi^2</math> from contingency tables, and the calculation of P|כתב עת=Journal of the Royal Statistical Society|כרך=85|סדרה=1|עמ=87-94|מו"ל=|שנת הוצאה=1922|doi=10.2307/2340521|קישור=https://hekyll.services.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15173/1/19.pdf}}}} ההקשר המפורסם ביותר של המבחן הוא ניסוי "[[גברת טועמת תה|הליידי טועמת התה]]"{{הערה|שם=newman|{{Cite book
|first=R. A.
|last=Fisher
|authorlink=רונלד פישר
|chapter=Mathematics of a Lady Tasting Tea
|origyear=''The Design of Experiments'' (1935)
|year=1956
|title=The World of Mathematics, volume 3
|editor=James Roy Newman
|url=https://web.ma.utexas.edu/users/mcudina/m358k-lady-tasting-tea-original.pdf
|publisher=Courier Dover Publications
|isbn=978-0-486-41151-4
}}}}, המתואר בספרו של פישר משנת 1935{{הערה|{{צ-ספר|מחבר=Fisher, R. A.|שם=The Design of Experiments|מו"ל=Macmillan|מהדורה=9th edition (1971)|שנת הוצאה=1935|ISBN=0-02-844690-9}}}}. הליידי, ד"ר מוריאל בריסטול, טענה כי היא מסוגלת לזהות על ידי טעימה אם [[ספל]] [[תה]] הוכן באופן שבו תחילה נמזגו המים [[רתיחה|הרותחים]] ולאחר מכן הוסף להם [[חלב]], או להפך. כדי לבחון את טענתה, פישר ערך [[ניסוי]] בו הוגשו לליידי לטעימה 8 ספלי תה, כאשר בארבעה מהם נמזגו תחילה המים הרותחים ואז נוסף להם החלב, ובארבעה נמזג תחילה החלב ולאחר מכן נוספו המים הרותחים. הניסוי יצר לוח שכיחות של שני משתנים איכותיים, שכל אחד מהם מקבל שני ערכים. משתנה אחד מציין את האופן בו הוכן ספל התה, והשני מציין את קביעתה של הליידי לגבי אופן הכנת התה.

המבחן המקורי שהציג פישר התאים ל[[לוח שכיחות]] דו־ממדי בעל שתי שורות ושתי עמודות, אולם בהמשך הוא הוכלל ללוח שכיחות דו־ממדי כלשהו, כלומר כאשר כל משתנה יכול לקבל מספר כלשהו של ערכים
{{הערה|
{{צ-מאמר|
מחבר=
Mehta, C. R., & Patel, N. R.|
שם=A network algorithm for performing Fisher's exact test in r× c contingency tables|
כתב עת=Journal of the American Statistical Association|
כרך=78|
סדרה=382|
עמ=427-434|
שנת הוצאה=1983|
doi=10.1080/01621459.1983.10477989 |
קישור=https://www.researchgate.net/profile/Cyrus_Mehta/publication/244959663_A_Network_Algorithm_for_Performing_Fisher%27s_Exact_Test_in_r_c_Contingency_Tables/links/540721a20cf2c48563b2957e/A-Network-Algorithm-for-Performing-Fishers-Exact-Test-in-r-c-Contingency-Tables.pdf
}}
}}
. במקרה הכללי, נוסחאות החישוב מסובכות יותר ובדרך כלל לא ניתן לבצע את החישובים באופן ידני.

== הגדרה פורמלית ללוח 2x2 ==
נתון לוח השכיחות הבא מסדר <math>2 \times 2</math> עבור שני משתנים, <math>X</math> ו-<math>Y</math>:

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+
!סה"כ
!<math>y_2</math>
!<math>y_1</math>
!
|-
|<math>a+b</math>
|<math>b</math>
|<math>a</math>
|<math>x_1</math>
|-
|<math>c+d</math>
|<math>d</math>
|<math>c</math>
|<math>x_2</math>
|-
|<math>n</math>
|<math>b+d</math>
|<math>a+c</math>
|סה"כ
|}
<br />
כאשר <math>n=a+b+c+d</math>. בלי הגבלת הכלליות נניח כי <math>a=\min \{a,b,c,d\}</math>.

[[השערת האפס]] אומרת כי המשתנים <math>X</math> ו-<math>Y</math> הם בלתי תלויים.

אם נניח כי סכומי השורות והעמודות <math>a+b,\quad c+d,\quad a+c,\quad b+d</math> ידועים וקבועים, אזי [[הסתברות|ההסתברות]] כי השכיחות של התצפיות במדגם עבורן <math>X=x_1</math> ו-<math>Y=y_1</math> היא <math>a</math> ניתנת לחישוב על ידי שימוש ב[[התפלגות היפרגאומטרית|התפלגות ההיפרגאומטרית]]:

<math display="block">p(a)= \frac{ {a+b \choose a} {c+d \choose d} } { {n \choose a+c}}</math>

תחת השערת האפס, הערך הצפוי של <math>a</math> הוא <math>\frac {(a+b)(c+d)} {n}</math>. ערכים של <math>a</math> הקטנים מהערך הצפוי או גדולים מהערך הצפוי מהווים עדות כנגד השערת אי התלות. לכן לפי הגדרת [[ערך-p|ערך ה-p]], הוא שווה להסתברות כי תתקבל עדות השווה בעצמתה לעדות שהתקבלה במדגם <math>p(a)</math> או גדולה ממנה. המשמעות היא לכן כי ערך ה-p שווה לסכום ההסתברויות של כל הלוחות האפשריים שהסתברותם שווה ל-<math>p(a)</math> או קטנה ממנו.

בהינתן סכומי השורות והעמודות, השכיחות של התצפיות במדגם עבורן <math>X=x_1</math> ו-<math>Y=y_1</math> יכולה להיות כל מספר שלם בין 0 לבין <math>M=\min \{ a+b, \ a+c \}</math>. לכן ערך ה-p של מבחן פישר הוא <math display="block">Pvalue = \sum_{m: \ p(m) \le p(a)} p(m)</math>

שימו לב כי זהו מבחן דו-צדדי, במובן שעדות נגד השערת היא התלות יכולה להתקבל גם מערכי <math>m</math> הקטנים מ-<math>a</math> וגם מערכי <math>m</math> הגדולים מ-<math>a</math>. ניתן להגדיר גם מבחן חד צדדי, שבו עדות נגד השערת היא התלות יכולה להתקבל רק מערכי <math>m</math> הקטנים מ-<math>a</math> . במקרה זה

<math>Pvalue = \sum_{m: \ m \le a \ \& \ p(m) \le p(a)} p(m)</math>

==דוגמה==
בקורס "מבוא לסטטיסטיקה" לומדים 24 סטודנטים, מחציתם גברים ומחציתם נשים. 10 מהם לומדים לקראת המבחן, ו-14 התייאשו והפסיקו ללמוד. האם יש קשר בין מין הסטודנט לבין גישת הסטודנטים למבחן (לומדים או מיואשים)? נתוני הסטודנטים מוצגים בלוח השכיחות הבא:

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+
!סך הכל
!גברים
!נשים
!
|-
|10
|8
|2
|לומדים
|-
|14
|4
|10
|מיואשים
|-
|24
|12
|12
|סך הכל
|}
<br />

ההסתברות כי בהינתן סך השורות וסך העמודות יתקבל לוח השכיחות הזה בו <math>a=2</math> היא:
<math>p(2)=\frac{ {10 \choose 2} {14 \choose 10}} {{24 \choose 12}} \approx 0.01666</math>.

מכיוון שכאן <math>M = \min \{10, \ 12\}=10</math>, נחשב את ערכי <math>p(m)</math> כעבור כל ערכי <math>m</math> מ-0 ועד 10.
תוצאות החישובים נתונות בטבלה הבאה:

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+
!<math>p(m) \le p(2) ?</math>
!<math>p(m)</math>
!<math>m</math>
|-
|כן
|0.00003
|0
|-
|כן
|0.00135
|1
|-
|כן
|0.01666
|2
|-
|לא
|0.08884
|3
|-
|לא
|0.23321
|4
|-
|לא
|0.31983
|5
|-
|לא
|0.23321
|6
|-
|לא
|0.08884
|7
|-
|כן
|0.01666
|8
|-
|כן
|0.00135
|9
|-
|כן
|0.0003
|10
|}

לכן <math>Pvalue=0.00003+0.00135+0.01666+0.01666+0.00135+0.00003 \approx 0.0361</math>. בהנחה כי החלטנו מראש לבדוק את השערת אי התלות ב[[רמת מובהקות]] <math>\alpha=0.05</math> נדחה את השערת האפס של אי התלות בין מין הסטודנט וגישתו למבחן.

בתוכנת [[R (שפת תכנות)|R]] ניתן לחשב את מבחן פישר הדו צדדי לנתונים אלה על ידי הפקודה:
{{ltr|
<syntaxhighlight lang="R">
fisher.test(matrix(c(2, 8,10 ,4), nrow=2), alternative="two.sided")
</syntaxhighlight>
}}

ובפייתון על ידי הפקודה:
{{ltr|
<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
from scipy.stats import fisher_exact
table = np.array([[2, 8], [1, 4]])
res = fisher_exact(table, alternative='two-sided')
</syntaxhighlight>
}}

==ביקורת==
מספר חוקרים טענו כי בפועל רמת המובהקות של מבחן פישר נמוכה מרמת המובהקות המוצהרת{{הערה|
{{צ-מאמר|
מחבר=Liddell, D.|
שם=Practical tests of 2× 2 contingency tables|
כתב עת=Journal of the Royal Statistical Society. Series D (The Statistician)|
כרך=25|
סדרה=4|
עמ=295-304|
שנת הוצאה=1976|
doi=10.2307/2988087
}}
}}
{{הערה|
{{צ-מאמר|
מחבר=Berkson, J.|
שם=In dispraise of the exact test|
כתב עת=Journal of Statistical Planning and Inference|
כרך=2|
סדרה=1|
עמ=27-42|
שנת הוצאה=1978|
doi=10.1016/0378-3758(78)90019-8
}}
}}
{{הערה|
{{צ-מאמר|
מחבר=D'agostino, R. B., Chase, W., & Belanger, A.|
שם=The appropriateness of some common procedures for testing the equality of two independent binomial populations|
כתב עת=The American Statistician|
כרך=42|
סדרה=3|
עמ=198-202|
שנת הוצאה=1988
}}
}}
. במילים אחרות, אם מבצעים את מבחן פישר ומשתמשים ברמת מובהקות <math>\alpha</math>, ההסתברות לטעות מסוג ראשון (דחיה מוטעית של השערת האפס) בדרך כלל קטנה מ-<math>\alpha</math>. הדבר נובע מחישוב ערך ה-p על סמך [[התפלגות בדידה]]. עם זאת, המונח "טעות מסוג ראשון" מוגדר בהקשר של [[מבחן יחס הנראות|מבחני יחס הנראות]] על פי [[הלמה של ניימן-פירסון|הלמה של ניימן ופירסון]], ומבחן פישר אינו מבחן [[יחס נראות]].

ביקורת נוספת נוגעת לכך שהמבחן מחושב תחת ההנחה כי ההתפלגויות השוליות של המשתנים נתונות
{{הערה|
{{צ-מאמר|
מחבר=Barnard, G. A.|
שם=A new test for 2× 2 tables|
כתב עת=Nature|
כרך=156|
סדרה=3954|
עמ=177|
שנת הוצאה=1945|
doi=10.1038/156177a0
}}
}}
. המבחן יהיה מדויק רק עבור [[התפלגות מותנית|ההתפלגות המותנית]] של לוח השכיחות בהינתן ההתפלגויות השוליות, אך אינו מדויק ביחס ללוח השכיחות המקורי, מכיוון שבמדגם נוסף מאותו גודל עשוי להתקבל לוח שכיחות עם התפלגויות שוליות שונות. ניתן לבנות מבחן מדויק שאינו מותנה בהתפלגויות השוליות. [[מבחן ברנרד]] הוא דוגמה למבחן כזה.

==ראו גם==
* [[התפלגות היפרגאומטרית]]
* [[מבחן חי בריבוע]]

==לקריאה נוספת==
{{ltr|
* {{cite book |title=Discrete Multivariate Analysis: Theory and Practice |last=Bishop |first=Y. M. M.  |first2=S. E. |last2=Fienberg
 |first3=P. W. |last3=Holland |year=1975 |publisher=MIT Press |isbn=978-0-262-02113-5 |mr=381130}}

* {{cite book |title=An introduction to categorical data analysis, 2nd Edition |last=Agresti |first=Alan  |year=2007 |publisher=John Wiley & Sons |isbn=978-0-471-22618-5}}

* {{cite book |title=Categorical data analysis, 2nd Edition |last=Agresti |first=Alan  |year=2002 |publisher=John Wiley & Sons |isbn=0-471-36093-7}}

* Agresti, A. (1992). [https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ss/1177011454 A survey of exact inference for contingency tables]. Statistical science, 7(1), 131-153.
}}

==קישורים חיצוניים==
* [http://www.langsrud.com/stat/fisher.htm מחשבון מקוון לחישוב מבחן פישר]
* [http://mathworld.wolfram.com/FishersExactTest.html נוסחת חישוב מבחן פישר ללוח שכיחות מסדר כלשהו] - וולפרם

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:מבחנים סטטיסטיים]]
[[קטגוריה:ניתוח נתונים איכותיים]]