הצגת המקור של הדף "המשוואה הקינטית של לנדאו"

ב[[התאוריה הקינטית של הגזים|תאוריה הקינטית של הגזים]], '''המשוואה הקינטית של לנדאו''' היא [[משוואת טרנספורט]], המתארת חלקיקים [[מטען חשמלי|טעונים]] בגבול הדליל המבצעים [[התנגשויות קולומב|התנגשויות קולון]] ב[[פלזמה (מצב צבירה)]].

המשוואה פורסמה על ידי [[לב לנדאו]] ב-1936<ref name=":0">{{Cite journal|title=Kinetic equation for the case of coulomb interaction|last=Landau|first=L.D.|date=1936|journal=Phys. Zs. Sov. Union|volume=10|pages=154-164}}</ref> כתיקון ל[[משוואת בולצמן]] עבור [[חוק קולון|אינטראקציית קולון]]. בשילוב עם [[משוואת ולסוב]], המשוואה נותנת את ה[[אבולוציה בזמן]] של המערכת, ולכן מהווה מודל קינטי חשוב בתורת הפלזמה.<ref name=":1">{{Cite journal|title=On some properties of the landau kinetic equation|last=Bobylev|first=Alexander|date=2015|journal=Journal of Statistical Physics|volume=161}}</ref><ref name=":2">{{Cite journal|title=Entropy dissipation estimates for the relativistic Landau equation, and applications|last=Robert M. Strain, Maja Tasković|date=2019|journal=Journal of Functional Analysis}}</ref>

== סקירה ==
=== הגדרה ===
עבור [[פונקציית התפלגות]] של חלקיק אחד, <math>f(v, t)</math>, המשוואה נתונה על-ידי:

<math>\frac{\partial f}{\partial t} = B \frac{\partial}{\partial v_i}(\int_{\mathbb{R^3}}dw \frac{(u^2 \delta_{ij}-u_iu_j)}{u^3}(\frac{\partial}{\partial v_j} - \frac{\partial}{\partial w_j})f(v)f(w))
</math>

<math>u=v-w</math>

צד ימין של המשוואה ידוע כ-Landau collision integral (בהקבלה ל[[משוואת בולצמן|Boltzmann collision integral]]).

הקבוע <math>B</math> מתקבל על-ידי אינטגרציה על הפוטנציאל התוך-מולקולרי <math>U(r)</math>:

<math>B = \frac{1}{8 \pi}\int^{\infin}_0dr r^3 \hat{U}(r)^2</math>

<math>\hat{U}(|k|)=\int_{\mathbb{R^3}}dxU(|x|)e^{ikx}</math>

יש לשים לב כי עבור הרבה פוטנציאלים תוך-מולקולריים (דוגמה נפוצה היא כאשר <math>U(r) \propto \frac{1}{r^n}</math>) הביטוי עבור <math>B</math> [[גבול (מתמטיקה)|מתבדר]]. לנדאו מתמודד עם בעיה זו על-ידי קטיעת האינטגרל עבור זוויות קטנות וגדולות.

=== שימושים ===
המשוואה בנמצאת בשימוש למידול של [[פלזמה (מצב צבירה)|פלזמה]] ב[[מכניקה סטטיסטית]] ו[[פיזיקת חלקיקים]]. לכן, נעשה בה שימוש נרחב במחקר של פלזמה בכורים תרמו-גרעיניים. <ref>Landau kinetic equation. ''Encyclopedia of Mathematics.'' URL: <nowiki>http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Landau_kinetic_equation&oldid=47573</nowiki></ref><ref>J. Killeen, K.D. Marx, "Methods in computational physics", '''9''', Acad. Press (1970)</ref><ref>J. Killeen, A.A. Mirin, M.E. Rensink, "Methods in computational physics", '''16''', Acad. Press (1976)</ref>

המשוואה ותכונותיה נחקרו לעומק על-ידי [[אלקסנדר בובילב|אלכסנדר בובילב]].<ref>Alexander Bobylev. ''ResearchGate''. URL: <nowiki>https://www.researchgate.net/profile/Alexander-Bobylev</nowiki></ref>

== פיתוחים ==
הפיתוח הראשון של משוואה נתון במאמר המקורי של [[לב לנדאו|לנדאו]]<ref name=":0" /> כאשר הרעיון הוא כדלקמן:

נתבונן בגז [[הומוגניות (פיזיקה)|הומוגני במרחב]] המורכב ממסות נקודתיות המתוארת על-ידי ''<math>f(v, t)</math>''. נבחר פוטנציאל <math>\hat{U_{ij}} = U_{ij} exp(\frac{-r_{ij}}{r_D})</math> כך ש-<math>U_{ij}</math> [[כוח קולון|פוטנציאל קולון]], <math>U_{ij}=\frac{e_i e_j}{|x_i - x_j|}</math>, ו-<math>r_D</math> הוא [[אורך דביי|רדיוס דביי]]. נציב את הפוטנציאל <math>\hat{U_{ij}}</math> בתוך איבר ההתנגשות ב[[משוואת בולצמן]] ונפתור עבור האיבר האסימפטוטי הראשי בגבול <math>r_D \rightarrow \infin</math>.

הפיתוח הפורמלי הראשון מתוך [[היררכיית BBGKY]] פורסם לראשונה ב-1946 על-ידי [[ניקולאי בוגוליובוב]]. <ref>{{Cite book|title=Problems of a Dynamical Theory in Statistical Physics|last=Bogolyubov|first=N.N.|publisher=State Technical Press|year=1946|location=USSR}}</ref>

== משוואת פוקר-פלאנק-לנדאו ==
ב-1957, המשוואה פותחה בנפרד על-ידי [[מרשל רוזנבלות]].<ref>{{Cite journal|title=Fokker-Planck equation for an inverse-square force|last=Rosenbluth|first=M.N.|date=1957|journal=Phys. Rev.|volume=107|pages=1-6}}</ref> נפתור את [[משוואת פוקר פלאנק]] תחת [[חוק ריבוע ההפכים]] לקבלת:

<math>\frac{1}{4 \pi L} \frac{\partial f_i}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial v_{\alpha}} (-f_i \frac{\partial h_i}{\partial v_{\alpha}}+\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial v_{\beta}}(f_i \frac{\partial^2 g_i}{\partial v_{\alpha} \partial v_{\beta}}))</math>

כאשר <math>h_i, g_i</math> ידועים כ'''פוטנציאלי רוזנבלות''':

<math>h_i = \sum^n_{j=1} K_{ij} \int dw \frac{f_i(w, t)}{|v-w|}
</math>

<math>g_i = \sum^n_{j=1} K_{ij} \frac{m_j}{m_i} \int dw \frac{f_i(w, t)}{|v-w|}</math>

for <math>K_{ij} = \frac{e_i^2e_j^2}{m_i m_j}, i=1,2,...,n</math>

צורת פוקר-פלאנק של המשוואה נמצאת בשימוש בעיקר לטובת נוחות בחישובים נומריים.

== גרסה יחסותית ==
תיקון [[תורת היחסות הפרטית|יחסותי]] של המשוואה פורסמה על-ידי [[גרש בודקר]] ו[[ספרטק בלייב]] ב-1956. <ref>S. T. Belyaev and G. I. Budker. Relativistic kinetic equation. Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.), 107:807–810, 1956.</ref>

עבור חלקיקים יחסותיים בעלי תנע <math>p = (p^1, p^2, p^3) \in \mathbb{R}^3</math> ואנרגיה <math>p^0 = \sqrt{1+|p|^2}</math>, המשוואה מקיימת:

<math>\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial p_i}\int_{\mathbb{R}^3} dq \Phi^{ij}(p,\ q)[h(q)\frac{\partial}{\partial p_j}g(p)-\frac{\partial}{\partial q_j}h(q)g(p)]</math>

כאשר הקרנל נתון על-ידי <math>\Phi^{ij}= \Alpha(p, q)S^{ij}(p, q)</math> כך שמתקיים:

<math>\Alpha=\frac{\left(\rho_-+1\right)^2}{p^0q^0}\left(\rho_+\rho_-\right)^{-\frac{-3}{2}}</math>

<math>S^{ij}=\rho_+\rho_-\delta_{ij}-\left(p_i-q_i\right)\left(p_j-q_j\right)+\rho_-\left(p_iq_j+p_jq_i\right)</math>

<math>\rho_{\pm}=p^0q^0-pq\pm1</math>

גרסה יחסותית למשוואה נחוצה שכן חלקיקים ב[[פלזמה (מצב צבירה)|פלזמה]] חמה מסוגלים להגיע למהירות הקרובות למהירות האור.

== ראו גם ==
* [[משוואת בולצמן]]
* [[משוואת ולסוב]]

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}
[[קטגוריה:פיזיקת הפלזמה]]