הצגת המקור של הדף "המשפט האחרון של פרמה"

{{פירוש נוסף|נוכחי=משפט מתמטי|אחר=ספרו של סיימון סינג|ראו=המשפט האחרון של פרמה (ספר)}}
[[קובץ:Diophantus-II-8-Fermat.jpg|שמאל|ממוזער|200px|עמוד מתוך הספר "[[אריתמטיקה (ספר)|אריתמטיקה]]" עם הערותיו של פרמה]]
'''המשפט האחרון של פרמה''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] מפורסם ב[[תורת המספרים]] שנוסח על ידי המתמטיקאי [[פייר דה פרמה]] בשנת 1637 ונותר כ[[בעיה פתוחה במתמטיקה|בעיה פתוחה]], עד שהוכח על ידי [[אנדרו ויילס]] (Wiles) בשנת [[1995]]. במשך כ-350 שנה היה לאחת הטענות המפורסמות ביותר בעולם ה[[מתמטיקה]] שלא הוכחו.

המשפט טוען כי:
{| border="1"
|עבור n>2 [[מספר טבעי|טבעי]], לא קיימים [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]]  x,y,z המקיימים את המשוואה: <math>\!\, x^n+y^n=z^n</math>. {{ש}}[ [[0 (מספר)|0]] אינו נחשב מספר טבעי לעניין זה]
|}

להבדיל, ל[[משוואה]] <math>\!\, x^2+y^2=z^2</math>, הנובעת מ[[משפט פיתגורס]], יש [[אינסוף]] פתרונות שבהם y, x ו-z הם [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]], למשל <math>\!\, 3^2+4^2=5^2</math> {{כ}} או <math>\!\, 5^2+12^2=13^2</math>. פתרונות אלו ידועים כ[[שלשה פיתגורית|שלשות פיתגוריות]]. במשך כ-350 שנה הייתה שאלה זו בגדר [[בעיה פתוחה במתמטיקה]], כנראה המפורסמת מכולן.

==תולדות המשפט==

[[קובץ:Pierre de Fermat.jpg|שמאל|ממוזער|150px|פייר דה פרמה]]
[[פייר דה פרמה]] (Fermat), מתמטיקאי [[צרפת]]י בן המאה ה-17, קבע, בערך בשנת [[1637]], שהתשובה לשאלה זו היא שלילית, אך לא נמצאה בכתביו [[הוכחה]] לכך. "גיליתי הוכחה נפלאה למשפט זה, אך [[שוליים (טיפוגרפיה)|שוליים]] אלו צרים מלהכילה", כתב פרמה בשולי ספרו של [[דיופנטוס]], "[[אריתמטיקה (ספר)|אריתמטיקה]]", שתורגם ל[[לטינית]] על ידי [[קלוד באשה]]. במשך מאות שנים דרבנה הערה זו מתמטיקאים וחובבי מתמטיקה לחפש הוכחה לטענתו של פרמה, שזכתה לכינוי '''המשפט האחרון של פרמה''' (המילה "אחרון" מציינת שזה המשפט האחרון שנותר להוכחה, לאחר שעד תחילת המאה התשע-עשרה הוכחו (או הופרכו) כל שאר המשפטים שניסח פרמה).

תחילת הדרך במסע לחיפוש ההוכחה כללה הוכחות למקרים פרטיים אחדים. בכתביו של פרמה נמצא גרעין של הוכחת [[נסיגה אינסופית]] למקרה הפרטי n=4, שפירושו שלמשוואה <math>\!\, x^4+y^4=z^4</math> {{כ}} אין פתרון במספרים טבעיים. כמאה שנה לאחר מכן נתן [[לאונרד אוילר]] הוכחה למקרה הפרטי n=3. בשנת [[1825]] ניתנה הוכחה למקרה הפרטי n=5 על ידי [[אדריאן-מארי לז'נדר|לז'נדר]], וכעבור ארבע-עשרה שנים נוספות הוכיח [[גבריאל לאמה]] (Lamé) את המשפט עבור n=7.

בשנת [[1847]] ניסה לאמה לתת הוכחה לנכונות המשפט האחרון של פרמה בשלמותו, אך הוכחתו נמצאה שגויה. עד לשנת [[1857]] הראה [[ארנסט קומר]] שהמשפט האחרון של פרמה נכון לכל n קטן ממאה. למעשה הוכיח קומר יותר מכך: הוא הוכיח שמשפט פרמה נכון לכל [[מספר ראשוני רגולרי]], אך הבדיקה האם ראשוני הוא רגולרי הצריכה חישובים רבים. השתכללות אמצעי החישוב במאה העשרים איפשרה להגדיל בהדרגה את מספרן של ה[[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]] לגביהן נמצא משפט פרמה כנכון, וכך הושגו אבני דרך אחדות: בשנת [[1937]] נמצא המשפט נכון לכל החזקות עד 617, בשנת [[1955]] הוגבה הרף ל-4,001, בשנת [[1976]] ל-125,000, ובשנת [[1992]] הוכחה נכונות המשפט לכל חזקה עד ארבעה מיליון.

בשנת 1823 הוכיחה [[סופי ז'רמן]] שאם יש פתרון למשוואה של פרמה, חייב אחד הנעלמים להיות כפולה של החזקה, כל עוד החזקה קטנה ממאה. עבודה זו הוצגה בפני [[האקדמיה הצרפתית למדעים]] על ידי [[לז'נדר]], משום שהאקדמיה מנעה מנשים להופיע בפניה. בשנת 1982 הוכח שהתוצאה אליה הגיעה סופי ז'רמן נכונה גם כל עוד החזקה קטנה מ-6 מיליארד.

בשנת [[1984]] יצר המתמטיקאי הגרמני [[גרהארד פריי]] זיקה בין המשפט האחרון של פרמה לבין [[השערה (מתמטיקה)|השערה]] בלתי מוכחת אחרת, [[השערת טניאמה-שימורה]]. על פי השערה זו, עבור כל [[עקום אליפטי]] המוגדר מעל [[שדה המספרים הרציונליים|הרציונליים]], [[פונקציית L]] של העקום מתלכדת עם פונקציית L של [[תבנית מודולרית]] כלשהי. זיקה זו אומרת שמהוכחתה של השערת [[יוטקה טניאמה|טניאמה]]-[[גורו שימורה|שימורה]] נובעת נכונותו של המשפט האחרון של פרמה.

אם <math>\ u^p+v^p=w^p</math> היא [[דוגמה נגדית]] למשפט פרמה (כאשר p ראשוני ו- u,v,w מספרים שלמים), אז המשוואה <math>\ y^2=x(x+u^p)(x-v^p)</math> מתארת [[עקום אליפטי]] המוגדר מעל הרציונליים. משוואה זו נלמדה עוד לפני שהקשר בין משפט פרמה, תבניות מודולריות ועקומים אליפטיים הובן במלואו, אך [[גרהארד פריי]] היה הראשון שהראה שעקום זה, אם הוא קיים, אינו מודולרי. [[ז'אן-פייר סר]] היה מי שהראה כיצד לקשר תבניות מודולריות למשפט פרמה, על ידי מה שכונה "[[השערת האפסילון]]", שהוכחה מאוחר יותר, ב-[[1986]], על ידי [[קנת' אלן ריבט|קן ריבט]]. עבודתו של ריבט הרחיקה מעבר להשערת האפסילון, כשהוא הראה שממשפט טניאמה-שימורה, אפילו אם הוא נכון רק במקרה ה"[[עקום אליפטי יציב למחצה|יציב למחצה]]", נובע המשפט האחרון של פרמה. למעשה, הדבר נתן אפשרות [[הוכחה בדרך השלילה|להוכיח בדרך השלילה]] את המשפט האחרון של פרמה, שכן מניחים מראש שהמשוואה שפרמה טען שלא קיימת דווקא קיימת, מוכיחים כי היא אינה מודולרית (בצורה ספציפית למשוואה זו) וכן שהיא מודולרית (על פי השערת טניאמה שימורה) ולפיכך מגיעים ל[[סתירה (לוגיקה)|סתירה]], והמסקנה היא שמשוואה זו לא קיימת.

עבודתו זו של ריבט גרמה לוויילס, מתמטיקאי בריטי מ[[אוניברסיטת פרינסטון]] שבארצות-הברית, להפנות את עיקר מרצו להוכחת ההשערה של טניאמה ושימורה, מאחר שכעת היה ברור שהוכחה כזו תפתור גם את האתגר מן [[המאה ה-17]], המשפט האחרון של פרמה.

בכנס שנערך בחודש יוני [[1993]] הציג ויילס הוכחה להשערת טניאמה-שימורה. במהלך [[ביקורת עמיתים]] התגלה פגם בהוכחה זו, אך פגם זה תוקן על ידי ויילס ותלמידו, [[ריצ'רד טיילור (מתמטיקאי)|ריצ'רד טיילור]], וההוכחה פורסמה בגיליון חודש מאי [[1995]] של כתב העת ''[[Annals of Mathematics]]''. מהוכחה זו נובעת נכונות המשפט האחרון של פרמה.

הוכחתו של ויילס טכנית ומסובכת מאוד, משתרעת על פני 129 עמודים, עושה שימוש בטכניקות מתמטיות שפותחו רק במאה ה-20 ובלתי ניתנת להבנה גם על ידי רוב המתמטיקאים. לא ייתכן שפרמה התייחס להוכחה זו בדברו על הוכחה "פשוטה להפליא", והדעה המקובלת היא שהוכחה כזו אינה קיימת. למרות זאת, גם בימינו ישנם כאלו המחפשים אחר ההוכחה ה"פשוטה" למשפט האחרון של פרמה.

==פרסים שהוצעו עבור הוכחת המשפט==
ב-1816 ושוב ב-1850 הציעה האקדמיה הצרפתית למדעים פרס כספי למוכיח המשפט. ב-1857 העניקה האקדמיה 3,000 פרנק ו[[מדליית זהב]] ל[[ארנסט קומר]] (Kummer) על עבודתו, אף שלא הגיש את עבודתו לפרס.

ב[[צוואה|צוואתו]] משנת [[1908]] של התעשיין היהודי-גרמני והמתמטיקאי [[פאול וולפסקהל]] (Wolfskehl) הוקצו 100,000 [[מארק גרמני|מרקים]] כדי לממן פרס למי שיצליח להוכיח את המשפט. הזכייה בפרס הפכה ליעדם של מתמטיקאים חובבים רבים, שטענו שמצאו הוכחה למשפט. בכל המקרים נמצאה הוכחתם שגויה. ב[[אוניברסיטת גטינגן]], לשם נשלחו ההוכחות, הכין ראש המחלקה למתמטיקה [[אדמונד לנדאו]] מכתב סטנדרטי עם מספרי העמוד והשורה בהם נמצאה ה[[טעות]] הראשונה. הפרס היה אמור להינתן להוכחה שתתפרסם בכתב עת מתמטי, ולאחר זמן המתנה של שנתיים. הפרס אמור היה לפקוע ב-2007, כמאה שנה לאחר הכרזתו. ב-1997 הוענק הפרס ל[[אנדרו ויילס]]. שוויו היה באותה העת כ-$50,000.

==הכללות==
את השאלה האם קיימים פתרונות למשוואה <math>\ x^n+y^n=z^n</math> אפשר לשאול לא רק במספרים השלמים, אלא גם ב[[מערכות מספרים|מערכות מתמטיות]] אחרות{{הערה|להרחבה בנושא זה, ראו פרק 13 בספר {{משמאל לימין|"13 Lectures on Fermat's Last Theorem"}} מאת P. Ribenboim}}.

למשל, בחוג המספרים <math>\ \mathbb{Z}[\sqrt{-7}]</math> מתקיים השוויון <math>\ (1+\sqrt{-7})^4+(1-\sqrt{-7})^4=2^4</math>, כך שהמשפט אינו נכון שם (עבור n=4); בין [[חוג שלמים|חוגי השלמים]] של ה[[הרחבה של שדות|הרחבות הריבועיות]] של [[שדה המספרים הרציונליים|הרציונליים]], <math>\ \mathbb{Q}[\sqrt{-7}]</math> הוא היחיד שבו יש פתרון עבור n=4. בין ההרחבות האלה, במקרים רבים יש פתרון עבור n=3, בעוד שעבור n=6 או n=9 אין אף לא הרחבה אחת שבה יש למשוואה פתרון. ידוע גם שאין למשוואה פתרונות בחוגי [[פולינום|פולינומים]] מעל שדה (אם המאפיין של השדה אינו מחלק את n).

[[לאונרד אוילר|אוילר]] [[השערת אוילר|שיער]] שלא ניתן לפתור את המשוואה <math>\ x_1^n+\dots+x_{n-1}^n=z^n</math> במספרים שלמים, כאשר <math>\ 2<n</math>. השערה זו אינה נכונה, כפי שמראה השוויון <math>\ 27^5+84^5+110^5+133^5=144^5</math>.

עבור פולינומים, ידועה הגרסה הבאה: מעל שדה F ממאפיין 0, אם n>2, אז כל פתרון <math>\ x(t)^n+y(t)^n=z(t)^n</math> שבו <math>x,y,z</math> פולינומים זרים, הוא למעשה פתרון בקבועים{{הערה|P. Pollack and C. Pomerance,  [http://staff.math.su.se/shapiro/ProblemSolving/Fermat's%20theorem%20for%20polynomials.pdf Math 75 notes, Lecture 23]|כיוון=שמאל}}.

==בתרבות==
[[קובץ:Pierre de fermat Google.JPG|שמאל|ממוזער|350px|[[דודל]] של [[גוגל (מנוע חיפוש)|גוגל]], שהוצג ב-17 באוגוסט 2011, במלאת 410 שנים להולדתו של [[פייר דה פרמה]]]]
כמשפט מתמטי מפורסם למדי זכה המשפט האחרון של פרמה לאזכורים בסדרות טלוויזיה שונות, ובהן "[[משפחת סימפסון]]", שבה הציג הומר דוגמה נגדית (שגויה) למשפט,{{הערה|{{דוידסון|יפעת אדלר|הומר סימפסון נגד פייר פרמה|mathcircle/clips/הומר-סימפסון-נגד-פייר-פרמה|19 ביוני 2015}}{{ש}}[[סיימון סינג]], '''הסודות המתמטיים של הסימפסונים''', תרגם חיים שמואלי, הוצאת [[ספרי עליית הגג]], 2018, הפרק "המשפט האחרון של הומר", עמ' 42–55}} "[[דוקטור הו]]", שבה הדוקטור ה-11 משחזר את ההוכחה המקורית של פרמה, וב"[[מסע בין כוכבים: הדור הבא]]", בפרק משנת 1989, שבו מתאר הקפטן [[ז'אן-לוק פיקארד]] את המשפט כ"[[חידה]] שאולי לעולם לא נפתור". המשפט מוזכר גם בסרט "[[הרי את מכושפת לי]]".

ברומן "[[משפחת מושקאט]]" מאת [[יצחק בשביס-זינגר]] [[עציר]] מעביר את הזמן בניסיונות להוכיח את המשפט, שעליו קרא בעיתון "[[הצפירה]]", אף שברור לו שלא יצליח בכך.{{הערה|יצחק בשביס-זינגר, '''משפחת מושקאט''', תרגם [[צבי ארד (משורר)|צבי ארד]], [[הוצאת זמורה ביתן]], 1991, עמ' 562}} ב[[סיפור קצר|סיפור הקצר]] "השטן וסיימון פלאג" מאת [[ארתור פורג'יס]] {{אנג|Arthur Porges}} מנסה סיימון להכשיל את ה[[שטן]] בדרישה שיוכיח את המשפט האחרון של פרמה. עוד מוזכר המשפט במחזה "[[ארקדיה (מחזה)|ארקדיה]]" מאת [[טום סטופארד]], ברומן "[[רציחות נוסח אוקספורד]]", שבו מתמטיקאים נוסעים באוטובוס מ[[אוניברסיטת אוקספורד]] ל[[אוניברסיטת קיימברידג']] כדי לשמוע את הרצאתו של [[אנדרו ויילס]], ועוד.

==ראו גם==
* [[עקום פרמה]]
* [[השערת ביל]]

== לקריאה נוספת ==
* [[סיימון סינג]], '''[[המשפט האחרון של פרמה (ספר)|המשפט האחרון של פרמה]]''', [[ידיעות ספרים|הוצאת ידיעות אחרונות]], 2000. {{ULI|004136048}}
* [[חיים שפירא (מתמטיקאי)|חיים שפירא]], '''אינסוף - המסע שאינו נגמר''', [[כנרת זמורה ביתן]], 2010 (עמודים 168–186) {{ULI|009320298}}

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* דוד שי, [http://shayfam.freevar.com/david/flth/fermat.htm המשפט האחרון של פרמה]
* מיכאל רוזנברג, [https://web.archive.org/web/20030625232727/http://www1.snunit.k12.il/heb_journals/galileo/009034.html המשפט האחרון של פרמה - ההוכחה המיוחלת]
* [[ליאו קורי]], [http://www.tau.ac.il/~corry/publications/articles/Fermat-Corry.html "המשפט האחרון של פרמה". איך הופכת שאלה שבשוליים לבעיה מתמטית חשובה ולרב-מכר עטור תהילה]
* {{MathWorld}}
*[https://www.kan.org.il/Podcast/item.aspx?pid=15960 ״משפט בשוליים״] - פרק על חייו של פייר דה פרמה והמשפט האחרון בפודקאסט [https://www.kan.org.il/podcast/program.aspx?progId=2019 ״מינהר הזמן״], [[תאגיד השידור הישראלי|״כאן״, תאגיד השידור הישראלי]]
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007529001405171|משפט פרמה}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:משפטים בתורת המספרים|פרמה, המשפט האחרון של]]
[[קטגוריה:בעיות נודעות במתמטיקה]]
[[קטגוריה:משוואות דיופנטיות]]
[[קטגוריה:פייר דה פרמה]]