הצגת המקור של הדף "המשפט הקטן של בזו"

'''המשפט הקטן של בזו''' או בשמו הנוסף "[[משפט השאריות|משפט השארית]]" קובע ש[[פולינום]] <math>f(x)</math> מעל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] [[קומוטטיביות|קומוטטיבי]] מתחלק בגורם <math>x-a</math> ללא שארית אם ורק אם <math>a</math> הוא [[שורש של פולינום|שורש]] של <math>f</math>. המשפט נקרא על-שמו של המתמטיקאי הצרפתי [[אתיאן בזו]].

המשפט מראה שכל שורש של הפולינום מתאים לגורם ליניארי שלו, ובזכות ה[[תחום פריקות יחידה|פירוק היחיד לגורמים]] של [[חוג הפולינומים]] נובע שמספר השורשים של פולינום אינו עולה על ה[[מעלה של פולינום|מעלה]] שלו. מעל [[שדה סגור אלגברית]] כמו [[שדה המספרים המרוכבים]], מובטח שהפולינום יתפרק לגורמים ליניאריים.

== דוגמה ==
נתבונן בפולינום  <math>f(x)=x^3+3x^2-6x-8</math>
<br />
הפולינום מתאפס עבור <math>x=2</math> ולכן נחלק אותו ב-<math>x-2</math> ונקבל:
<br />
<math>f(x)=(x-2)\cdot(x^2+5x+4)</math>

== הוכחת הטענה ==
נחלק את הפולינום <math>f(x)</math> בפולינום <math>(x-a)</math>, [[חילוק עם שארית]], ונקבל <math>f(x)=g(x) \cdot (x-a) + r(x)</math> כאשר <math>g,r</math> פולינומים. אולם, מעלת השארית <math>r</math> קטנה ממעלת המחלק <math>(x-a)</math>, ולכן <math>r(x)</math> הוא פולינום ממעלה אפס, כלומר, [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]].
<br />
נציב <math>x=a</math> ונקבל: <math>f(a)=g(a)\cdot(a-a)+r=r</math>, וקיבלנו שהשארית שווה לערך הפונקציה בנקודה <math>a</math>. [[פונקציה]] מתאפסת רק בשורשיה, ולכן השארית היא אפס אם ורק אם <math>a</math> הוא שורש של הפולינום. <math>\blacksquare</math>

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:פולינומים]]
[[קטגוריה:משפטים באלגברה|בזו]]