הצגת המקור של הדף "המשפט הקטן של ודרברן"

ב[[תורת החוגים]], '''המשפט הקטן של ודרברן''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] הקובע שכל [[תחום (תורת החוגים)|תחום]] ([[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] עם [[איבר יחידה|יחידה]] שאין בו [[מחלק אפס|מחלקי אפס]]) [[קבוצה סופית|סופי]], ובפרט כל [[חוג עם חילוק]] סופי, הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].

הוכחה ראשונה למשפט ניתנה על ידי [[ג'וזף ודרברן]] ב-[[1905]], אולם היה פער בהוכחתו. [[לאונרד יוג'ין דיקסון|דיקסון]] פרסם הוכחה מלאה של המשפט זמן קצר לאחר מכן, וודרברן הוסיף שתי הוכחות מלאות נוספות באותה שנה. מאז מצאו מתמטיקאים רבים, הוכחות נוספות למשפט, ביניהם [[אמיל ארטין]] ו[[ניקולא בורבאקי]].

==הוכחה==
ההוכחה להלן פורסמה על ידי [[ארנסט ויט]] {{אנ|Ernst Witt}} ב-[[1931]].

הוכחת המשפט מתחלקת לשלושה חלקים. בחלק הראשון נציג תוצאות אלמנטריות על [[פולינום ציקלוטומי|פולינומים ציקלוטומיים]] שישמשו אותנו בהמשך. בחלק השני נפתח את משוואת המחלקות שתקודד את הטענה האלגברית כשוויון בין מספרים שלמים. השלב שלישי מוקדש לחקר השוויון המספרי, מה שמוכיח את המשפט.

===פולינומים ציקלוטומיים===
הפולינום הציקלוטומי ה-n-י מוגדר כ[[פולינום]] <math>\Phi_n(x) = \prod_\rho (x-\rho)</math>, כאשר <math>\rho</math> עובר על כל [[שורש יחידה|שורשי היחידה הפרימיטיביים]] מסדר n. מכיוון שכל שורש יחידה מסדר n הוא פרימיטיבי ל-d כלשהו המחלק את n מתקיים:
:<math>x^n-1=\prod_{d|n} \Phi_d(x)</math>

מנוסחה זו נובע ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] (באמצעות [[הלמה של גאוס (פולינומים)|הלמה של גאוס]]) ש-<math>\Phi_n(x)\in \mathbb{Z}[x]</math>.

יהי <math>m\in \mathbb{Z}</math> כך ש-<math>m|n</math> ו-<math>m \ne n</math>, אזי:
:<math>x^n-1=\prod_{d|n} \Phi_d(x)=\Phi_n(x)\cdot (x^m-1)\cdot \prod_{d|n,d\nmid m, d\ne n} \Phi_d(x)</math>

לכן לכל <math>q\in \mathbb{Z}</math> מתקיים:
:<math>\Phi_n(q)|q^n-1</math>
וגם:
:<math>\Phi_n(q)|\frac{q^n-1}{q^m-1}</math>

===משוואת המחלקות===
יהי <math>R</math> חוג סופי עם יחידה שאין בו מחלקי אפס.{{הערה|לצורך ערך זה, חוג עם יחידה הוא חוג שיש בו יחידה שונה מאפס. כלומר איננו מחשיבים את [[החוג הטריוויאלי]] <math>\{0\}</math>.}} נוכיח תחילה ש-<math>R</math> [[חוג עם חילוק]], כלומר כל איבר שונה מאפס הוא [[איבר הפיך|הפיך]].

נסמן <math>R^\times=R\setminus \{0\}</math>. יהי <math>r\in R^\times</math>. נגדיר [[פונקציה]] <math>f_r: R \to R</math> באופן הבא: <math>f_r(x)=rx</math>.

אם <math>f_r(x)=f_r(y)</math> אז <math>r(x-y)=0</math>, ומכיוון שאין מחלקי אפס נקבל ש-<math>x=y</math>. קיבלנו ש-<math>f_r</math> היא [[פונקציה חד-חד ערכית]] מקבוצה סופית לעצמה, ולכן <math>f_r</math> היא [[פונקציה על|על]] <math>R</math>. מכאן שקיים <math>s\in R</math> כך ש-<math>rs=f_r(s)=1</math>, כלומר <math>r</math> הפיך כנדרש.

לכל <math>r\in R</math> נגדיר את ה[[מרכז של איבר|מְרַכֵּז]] של <math>r</math> בתור קבוצת האיברים שמתחלפים איתו: <math>C(r)=\{s\in R : rs=sr\}</math>. בדיקה פשוטה מעלה ש-<math>C(r)</math> הוא [[תת-חוג]] (עם יחידה) של <math>R</math>. נגדיר את ה[[מרכז (תורת החוגים)|מרכז]] של <math>R</math> בתור:
:<math>Z=\bigcap_{r\in R} C(r)</math>

המרכז אינו ריק כי הוא מכיל את 0 ואת 1. האיברים במרכז מתחלפים עם כל איבר ולכן <math>Z</math> חוג עם חילוק סופי חילופי, כלומר [[שדה סופי]].

נסמן <math>|Z|=q</math>. בדיקה פשוטה מעלה ש-<math>R</math> ו-<math>C(r)</math> הם [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] מעל <math>Z</math>. לכן קיים <math>n</math> טבעי וקיימים <math>n_r</math> טבעיים כך שמתקיים:
:<math>|R|=q^n\ ,\ |C(r)|=q^{n_r}</math>

נעבור להתמקד בחבורה הכפלית <math>R^\times</math> ובתתי החבורות שלה <math>C^\times (r)=C(r)\setminus\{0\}</math> ו-<math>Z^\times=Z\setminus\{0\}</math>. לפי [[משוואת המחלקות]]:
:<math>|R^\times|=|Z^\times|+\sum_{r\in I} \frac{|R^\times|}{|C^\times(r)|}</math>

כאשר <math>I</math> היא קבוצת נציגים של [[מחלקת צמידות|מחלקות הצמידות]] של <math>R^\times</math> ללא איברי <math>Z</math> (ייתכן ש-<math>I</math> [[קבוצה ריקה|ריקה]], וכך למעשה נוכיח. במקרה כזה נפרש את הסכום כ[[סכום ריק]]). נתרגם את המשוואה למונחי <math>q</math>:
:<math>q^n-1=q-1+\sum_{r\in I} \frac{q^n-1}{q^{n_r}-1}</math>

===שלב סופי===
מטרתנו להוכיח שממשוואת המחלקות נובע ש-<math>n=1</math>, מכיוון שאז <math>|R|=q=|Z|</math> ולכן <math>R=Z</math> הוא שדה.

ראשית נוכיח כי לכל <math>r</math>, <math>n_r|n</math>. נשים לב כי <math>|R^\times|</math> מתחלק ב-<math>|C^\times(r)|</math> ([[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']]) ולכן <math>q^{n_r}-1|q^n-1</math>. נרשום <math>n=kn_r+p</math> כאשר <math>0\le p< n_r</math>. 

נשתמש ב[[טור טלסקופי|סכום הטלסקופי]]:
:<math>q^n-q^{n-kn_r}=(q^{n_r}-1)(q^{n-n_r}+q^{n-2n_r}+\ldots+q^{n-kn_r}) </math>

אגף שמאל מתחלק ב-<math>q^{n_r}-1</math> ולכן גם אגף ימין. מכאן נובע:
:<math>q^{n_r}-1|(q^n-1)-(q^n-q^{n-kn_r})=q^{n-kn_r}-1=q^p-1</math>

אבל <math>q^p-1<q^{n_r}-1</math> ולכן בהכרח <math>p=0</math>, כלומר <math>n_r|n</math>.

כעת נוכל להפעיל את התוצאות שקיבלנו על פולינומים ציקלוטומיים על מחוברי משוואת המחלקות:
:<math>\Phi_n(q)|\left(q^n-1-\sum_{r\in I} \frac{q^n-1}{q^{n_r}-1}\right)=q-1</math>

בפרט, מכיוון ש-<math>1<q</math> (בשדה יש שני איברים לפחות), מתקיים <math>|\Phi_n(q)|\le q-1</math>

נניח בשלילה ש-<math>1<n</math>. אז <math>\Phi_n(q)=\prod_\rho (q-\rho)</math> כאשר <math>\rho\ne 1</math>. הנקודה הכי קרובה ל-<math>q</math> על [[מעגל היחידה]] ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]] היא 1, ולכן <math>1\le |q-1|<|q-\rho|</math>. קיבלנו:
:<math>q-1<\prod_\rho |q-\rho|=|\Phi_n(q)|</math>

סתירה. ∎

==הכללות==
[[משפט ארטין-צורן]] (על שם [[אמיל ארטין]] ו[[מקס צורן]]) קובע שכל [[אלגברה אלטרנטיבית|חוג אלטרנטיבי]] סופי עם חילוק הוא שדה.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}

[[קטגוריה:משפטים באלגברה|ודרברן]]
[[קטגוריה:תורת החוגים]]
[[קטגוריה:הוכחות]]