הצגת המקור של הדף "הסהרון של היפוקרטס"

[[קובץ:Lune.svg|שמאל|ממוזער|250px|הסהרון של היפוקרטס]]
'''הסהרון של היפוקרטס''' הוא [[סהרון (גאומטריה)|סהרון]] הקרוי על שמו של [[היפוקרטס מכיוס]], שחקר אותו. סהרון זה בנוי מ[[מעגל#קשתות|קשתות]] של שני [[מעגל]]ים, ש[[קוטר]]ו של המעגל הקטן מביניהם משמש כיתר ב[[משולש ישר-זווית]] שניצביו הם [[רדיוס]]ים במעגל הגדול (יתר זה הוא ה[[מיתר (גאומטריה)|מיתר]] המשותף לשתי הקשתות). לחלופין זהו סהרון שקשתו האחת היא בגודל 90 [[מעלה (זווית)|מעלות]] (רבע מעגל), וקשתו האחרת היא בגודל 180 מעלות (חצי מעגל). זו הצורה הראשונה שגבולותיה אינם מורכבים מקווים ישרים בלבד, ש[[שטח]]ה חושב מתמטית.{{הערה|Carl B. Boyer, '''A History of Mathematics''', John Wiley & sons, 1968, p. 73}}

==היסטוריה==
ב{{ה|מאה ה-5 לפנה"ס}} ביקש ה[[מתמטיקאי]] וה[[אסטרונום]] ה[[יוונים|יווני]] [[היפוקרטס מכיוס]] לפתור את אחת הבעיות הגאומטריות של ימי קדם – [[תרבוע העיגול]], כלומר לבנות [[בנייה בסרגל ובמחוגה|בסרגל ובמחוגה]] בלבד [[ריבוע]] השווה ב[[שטח]]ו לשטח עיגול נתון. בתוך כך הוא [[הוכחה|הוכיח]] כי סהרון זה שווה בשטחו לשטח המשולש המוזכר לעיל בהגדרתו.

המתמטיקאי וה[[היסטוריון]] ה[[בריטים|בריטי]] [[תומאס הית']] שיער כי בהוכחתו זו של היפוקרטס, הוא כנראה היה גם הראשון להוכיח כי שטחו של עיגול הוא ב[[יחס ישר]] לריבוע קוטרו.

חיבורו של היפוקרטס, שבו הופיעה התוצאה הזו, [[חיבור אבוד|אבד]], איך ייתכן שהוא שימש כבסיס לספרו של [[אוקלידס]] – "[[יסודות (ספר)|יסודות]]". ההוכחה נשמרה בחיבורו של [[אודמוס מרודוס|אֵוּדֶמוֹס מרודוס]] {{אנ|Eudemus of Rhodes}} – "היסטוריה של הגאומטריה" – שגם הוא לא שרד, אך הוזכר בקטעים בהערותיו של [[סימפליקיוס מקליקיה]] {{אנ|Simplicius of Cilicia}} על חיבורו של [[אריסטו]] – "[[פיזיקה (אריסטו)|פיזיקה]]".<ref name="heath">{{citation|first=Thomas L.|last=Heath|author-link=תומאס הית'|title=A Manual of Greek Mathematics|publisher=Courier Dover Publications|year=2003|isbn=0-486-43231-9|pages=121–132|url=https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121}}.</ref>

ב־[[1882]] הוכיח המתמטיקאי ה[[גרמנים|גרמני]] [[פרדיננד לינדמן]] כי בעיית תרבוע העיגול אינה פתירה בסרגל ובמחוגה.

==הוכחה==
את התוצאה שהיפוקרטס הגיע אליה ניתן להוכיח כדלקמן: מרכז המעגל שהקשת {{mvar|AEB}} מונחת עליו הוא הנקודה {{mvar|D}}, שהיא אמצע היתר של ה[[משולש ישר-זווית]] {{mvar|ABO}}.  כיוון שכך, אורך ה[[קוטר]] {{mvar|AC}} של המעגל הגדול {{mvar|ABC}} הוא (לפי [[משפט פיתגורס]]) <math>\sqrt{2}</math> פעמים הקוטר של המעגל הקטן. שעליו מונחת הקשת {{mvar|AEB}}. לפיכך שטח העיגול הקטן הוא חצי משטח העיגול הגדול, ולכן שטח רבע העיגול {{mvar|AFBOA}} שווה לשטח חצי העיגול {{mvar|AEBDA}}. גריעת הצורה {{mvar|AFBDA}} מרבע העיגול נותנת את המשולש {{mvar|ABO}} וגריעת אותה צורה מחצי העיגול נותנת את הסהרון. כיוון שהמשולש והסהרון נוצרים שניהם באמצעות גריעת אותה צורה מצורות שוות בשטחן, הם שניהם בעלי אותו שטח.<ref name="heath"/><ref name="bjb">{{citation|first1=Lucas Nicolaas Hendrik|last1=Bunt|first2=Phillip S.|last2=Jones|first3=Jack D.|last3=Bedient|title=The Historical Roots of Elementary Mathematics|publisher=Courier Dover Publications|year=1988|isbn=0-486-25563-8|pages=90–91|url=https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC&pg=PA90|contribution=4-2 Hippocrates of Chios and the quadrature of lunes}}.</ref>

==הכללה==
[[קובץ:LunesOfAlhazen.svg|250px|ממוזער|שמאל|הסהרונים של אל-היית'ם: סכום שטחי הסהרונים שווה לשטח המשולש שעליו הם בנויים]]
באמצעות הוכחה דומה לזו שלעיל הראה המתמטיקאי הערבי [[אבן אל-היית'ם]] שכאשר יוצרים שני סהרונים על ניצבים של משולש ישר-זווית, כך שהקשת החיצונית של כל סהרון היא חצי מעגל שהניצב הוא קוטרו והקשת הפנימית היא חלק מה[[מעגל חוסם|מעגל החוסם]] של המשולש, סכום שטחי הסהרונים שווה לשטח המשולש. סהרונים שנוצרים בדרך זו ידועים בשם '''הסהרונים של אל-היית'ם'''.{{הערה|[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PythagoreanLune.shtml Hippocrates' Squaring of the Lune], [[cut-the-knot]]}} הסהרון של היפוקרטס הוא מקרה פרטי של הכללה זו, כאשר המשולש ישר הזווית הוא שווה-שוקיים.

[[היפוקרטס מכיוס]] הוכיח שהסהרון של היפוקרטס ועוד שני סהרונים מיוחדים ניתנים ל[[תרבוע (מתמטיקה)|תרבוע]] ב[[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]]. ב-1766 המתמטיקאי ה[[פינים|פיני]] Daniel Wijnquist, בהתבססו על [[דניאל ברנולי]], הציג חמישה הסהרונים הניתנים לתרבוע, בהשלימו את הרשימה של היפוקרטס מכיוס. ב-1771 [[לאונרד אוילר]] הציג גישה כללית לבעיה. ב-1933 וב-1947 הוכיחו [[ניקולאי צ'בוטריוב]] {{אנ|Nikolai Chebotaryov}} ותלמידו אנטולי דורונדוב, באמצעות [[תורת גלואה]], שחמישה סהרונים אלה הם היחידים הניתנים לתרבוע.{{הערה|כיוון=ימין|{{MathWorld|Lune}}}} את חמשת הסהרונים הללו ניתן לאפיין לפי ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין הזוויות של הקשתות היוצרות אותם. בסהרון של היפוקרטס יחס זה הוא 1:2 (הקשת הפנימית היא רבע מעגל והקשת החיצונית היא חצי מעגל). שני הסהרונים הנוספים שהיפוקרטס מצא כניתנים לתרבוע הם ביחסים 2:3 (זוויות של בערך 107.2°, 160.9°) ו-1:3 (זוויות של בערך 68.5°, 205.6°). שני הסהרונים הנוספים הניתנים לתרבוע הם ביחס של 1:5 (זוויות של בערך 46.9°, 234.4°) ו-3:5 (זוויות של בערך 100.8°, 168.0°).{{הערה|{{JSTOR|M. M. Postnikov|The Problem of Squarable Lunes|2589121|The American Mathematical Monthly|August-September 2000, Vol. 107, No. 7, pp. 645-651}}}}

==ראו גם==
* [[וסיקה פיסקיס]]
* [[סאלינון]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:צורות גאומטריות]]
[[קטגוריה:מעגל]]
[[קטגוריה:הוכחות]]