הצגת המקור של הדף "העתקה גאומטרית"

ב[[מתמטיקה]], '''העתקה גאומטרית''' או '''טרנספורמציה גאומטרית''' היא כל [[פונקציה חד-חד-ערכית ועל|פונקציה חד-חד ערכית ועל]] של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] לעצמה (או לקבוצה אחרת כזו) עם מבנה גאומטרי בולט כלשהו.<ref>{{Cite web|title=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Transformation|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#transformation|date=2019-08-01|website=Math Vault|language=en-US|accessdate=2020-05-02}}</ref> ליתר דיוק, מדובר בפונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצה של נקודות - לרוב שתיהן <math>\mathbb{R}^2</math> או שתיהן <math>\mathbb{R}^3</math> כך שהפונקציה היא [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד חד ערכית]], כך קיימת לה [[פונקציה הפיכה]].<ref>Zalman Usiskin, Anthony L. Peressini, [[Elena Marchisotto]] – ''Mathematics for High School Teachers: An Advanced Perspective'', page 84.</ref> ניתן לגשת לחקר ה[[גאומטריה]] באמצעות חקר ההעתקות הללו.<ref>{{Citation|first=Gerard A.|last=Venema|title=Foundations of Geometry|year=2006|publisher=[[Pearson Prentice Hall]]|isbn=9780131437005|page=285}}</ref>

== העתקות של המרחב האוקלידי ==

ניתן לסווג העתקות גאומטריות לפי ה[[ממד (מתמטיקה)|ממד]] של הקבוצות שעליהן הן פועלות (ובכך להבחין, למשל, בין העתקות מישוריות לבין העתקות מרחביות). [[העתקה אוקלידית|העתקות אוקלידיות]] בכל [[ממד (מתמטיקה)|ממד]] אפשר לסווג לפי המאפיינים שהן משמרות, מן הפרט אל הכלל:
* [[העתק (פיזיקה)|העתקים]] (כלומר [[הזזה (גאומטריה)|הזזות]]) משמרים [[מרחק]]ים ו[[זווית|זוויות]] <ref>{{Cite web|title=Geometry Translation|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/translation.html|website=www.mathsisfun.com|accessdate=2020-05-02}}</ref>
* [[איזומטריה|איזומטריות]] שומרות על [[מרחק]]ים ולכן גם על [[זווית|זוויות]] <ref>{{Cite web|title=Geometric Transformations — Euclidean Transformations|url=https://pages.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/geometry/geo-tran.html#euclidean|website=pages.mtu.edu|accessdate=2020-05-02}}</ref>
* [[דמיון (גאומטריה)|דמיון]] שומר על זוויות ויחסים בין מרחקים (למשל: שינוי גודל)<ref>{{Cite web|title=Transformations|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/transformations.html|website=www.mathsisfun.com|accessdate=2020-05-02}}</ref>
* [[העתקה אפינית|העתקות אפיניות]] משמרות [[ישרים מקבילים|מקביליות]] (למשל: קנה מידה, גזירה)<ref>{{Cite web|title=Geometric Transformations — Affine Transformations|url=https://pages.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/geometry/geo-tran.html#affine|website=pages.mtu.edu|accessdate=2020-05-02}}</ref>
* [[העתקה פרויקטיבית|העתקות פרויקטיביות]] משמרות את הקוליניאריות {{אנג|Collinearity}}<ref name="Wilkinson">Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs – [https://books.google.com/books?id=NRyGnjeNKJIC&pg=PA182 Geometric transformation]'', p. 182, at [[Google Books]]''</ref>
כל אחד מהסיווגים לעיל מכיל את קודמו.{{הערה|שם=Wilkinson}}

את כל ה[[העתקה ליניארית|העתקות הליניאריות]] אפשר לבטא באמצעות [[פעולת חבורה]] בסימונים של [[אלגברה ליניארית]]. ההעתקות הליניאריות ההפיכות הן איברים של [[החבורה הליניארית הכללית]], שאותם אפשר לייצג באמצעות [[מטריצה הפיכה|מטריצות הפיכות]]. מטריצה ''A'' מגדירה את ההעתקה השולחת וקטור שורה ''v'', באמצעות [[כפל מטריצות]], לווקטור השורה ''vA''. זוהי אכן פעולת חבורה, משום שהרכבת הפעולות של ''A'' ו-''B'' מיוצגת על ידי המכפלה ''AB''.

== הכללות ==

* [[העתקת מביוס]] של המישור, באמצעות קואורדינטות מרוכבות, משמרות את מכלול כל הקווים וה[[מעגל]]ים, אך עשויות להחליף בין קווים ומעגלים. ראו גם [[אינוורסיה במעגל]]. 
<gallery>
France identique.gif | התמונה המקורית (מבוססת על מפת צרפת)
France par rotation 180deg.gif | [[איזומטריה]]
France par similitude.gif | דמיון
France affine (1).gif | העתקה אפינית
France homographie.gif | העתקה פרויקטיבית
France circ.gif | היפוך
</gallery>
* [[העתקה קונפורמית|העתקות קונפורמיות]] שומרות על זוויות. (העתקה אפיני קונפורמית היא איזומטריה).
* העתקות משמרות הן אלו ששומרות על שטחים במקרה המישורי או נפחים במקרה התלת־ממדי. (גם העתקה אפינית משמרת היא איזומטריה).
* [[הומיאומורפיזם]] (העתקות דו-רציפות) שומרת על שכנות הנקודות, אבל אינן מכבדות את המבנה הגאומטרי.
* [[דיפאומורפיזם]] (העתקות bidifferentiable) הם העתקות אפיניות מסדר ראשון. הן מכילות את הקודמים כמקרים פרטיים וניתנים לתיאור מורחב נוסף.<ref>{{Cite web|title=first fundamental form|format=PDF|last=stevecheng|website=planetmath.org|date=2013-03-13|accessdate=2014-10-01|url=http://planetmath.org/sites/default/files/texpdf/37332.pdf}}</ref>
<gallery>
Fconf.gif| העתקה קונפורמית
France aire.gif|העתקה שוויונית
France homothetie.gif|הומיאומורפיזם
France diff.gif|דיפאומורפיזם
</gallery>


== ראו גם ==
* [[שיקוף (מתמטיקה)|שיקוף]]
* [[טופולוגיה]]
* [[מטריצת מעבר|מטריציית מעבר]]

== לקריאה נוספת ==
<div class="mw-content-ltr">
* {{Citation|first=Irving|last=Adler|author-link=Irving Adler|title=A New Look at Geometry|year=2012|origyear=1966|publisher=Dover|isbn=978-0-486-49851-5}}
* Dienes, Z. P.; Golding, E. W. (1967) . ''Geometry Through Transformations'' (3 vols.): ''Geometry of Distortion'', ''Geometry of Congruence'', and ''Groups and Coordinates''. New York: Herder and Herder.
* [[דוד גנז|David Gans]] – ''Transformations and geometries''.
* {{Cite book|title=Geometry and the Imagination|last=Hilbert|first=David|last2=Cohn-Vossen|first2=Stephan|publisher=Chelsea|year=1952|isbn=0-8284-1087-9|edition=2nd|author-link=דויד הילברט|author-link2=Stephan Cohn-Vossen}}
* John McCleary – ''Geometry from a Differentiable Viewpoint''.
* Modenov, P. S.; Parkhomenko, A. S. (1965) . ''Geometric Transformations'' (2 vols.): ''Euclidean and Affine Transformations'', and ''Projective Transformations''. New York: Academic Press.
* A. N. Pressley – ''Elementary Differential Geometry''.
* Yaglom, I. M. (1962, 1968, 1973, 2009) . ''Geometric Transformations'' (4 vols.). [[רנדום האוס|Random House]] (I, II & III), MAA (I, II, III & IV).
</div>

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:העתקות (פונקציות)]]
[[קטגוריה:סימטריה]]
[[קטגוריה:פונקציות מתמטיות]]
[[קטגוריה:גאומטריה]]