הצגת המקור של הדף "הרחבה נורמלית"

{{סימון מתמטי}}
'''הרחבה נורמלית''' היא [[הרחבת שדות|הרחבה]] [[הרחבה אלגברית|אלגברית]] <math>F \subseteq K</math> של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]], כך שכל [[פולינום אי-פריק]] מעל השדה הקטן שיש לו [[שורש (של פונקציה)|שורש]] בשדה הגדול, מתפצל שם. הרחבה של שדות היא [[הרחבת גלואה|גלואה]] אם ורק אם היא נורמלית ו[[הרחבה ספרבילית|ספרבילית]]. תת-הרחבות נורמליות בהרחבת גלואה מאופיינות בכך שחבורות האוטומורפיזמים המתאימות להן הן [[תת-חבורה נורמלית|נורמליות]] ב[[חבורת גלואה]] של ההרחבה.

== הגדרה ==

[[הרחבה אלגברית]] ''<math>K</math>'' של <math>F</math> היא '''הרחבה נורמלית''' אם כל [[פולינום]] אי-פריק <math>f(x) \in F[x]</math> שיש לו [[שורש (של פונקציה)|שורש]] ב-''<math>K</math>'', מתפצל ב-''<math>K</math>'', כלומר, הוא מהווה מכפלה של גורמים ליניאריים מעל ''<math>K</math>''.

יהי <math>F</math> [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] ויהי <math>\bar{F}</math> ה[[סגור אלגברי|סגור האלגברי]] שלו. התנאים הבאים שקולים עבור תת-שדה <math>F \subset K \subset \bar{F}</math>:
#''<math>K/F</math>'' היא הרחבה נורמלית של שדות.
#''<math>K</math>'' הוא [[שדה פיצול]] של קבוצת פולינומים ב-<math>F[x]</math>.
# כל [[פולינום מינימלי]] מעל <math>F</math> של איבר מ-''<math>K</math>'', מתפצל ב-''<math>K</math>''.
# לכל [[אוטומורפיזם]] <math>\sigma</math> ב[[חבורת גלואה האבסולוטית]] -<math>\operatorname{Gal}(\bar{F}/F)</math>, מתקיים <math>\sigma (K) = K</math>.
# לכל [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] <math>\sigma</math> של ''<math>K</math>'' ב-<math>\bar{F}</math> מעל <math>F</math>, מתקיים <math>\sigma (K) = K</math>.
# מספר האיברים ב[[חבורת גלואה]] <math>\operatorname{Gal}(K/F)</math> הוא ה[[דרגה ספרבילית|דרגה הספרבילית]] של ''<math>K</math>'' מעל <math>F</math>. קרי, מספר השיכונים של ''<math>K</math>'' ל-<math>\bar F</math> המרחיבים את השיכון הסטנדרטי של <math>F</math>.
# חבורת גלואה האבסולוטית של ''<math>K</math>'' [[תת-חבורה נורמלית|נורמלית]] בחבורת גלואה האבסולוטית של <math>F</math>.

== תכונות של הרחבות נורמליות ==

הרחבת שדות היא [[הרחבת גלואה]] אם ורק אם היא נורמלית וספרבילית. לכן מעל שדות ממאפיין אפס, כל הרחבה נורמלית היא הרחבת גלואה, והדבר מאפשר להפעיל שם את [[המשפט היסודי של תורת גלואה]] ביתר קלות.

אם <math>L</math> הרחבה נורמלית של <math>F</math>, אז <math>L</math> נורמלית מעל כל שדה ביניים.

אם ''<math>K</math>'' ו-<math>E</math> הן הרחבות נורמליות של <math>F</math> המוכלות ב-<math>L</math> אז ה[[צירוף שדות|צירוף]] שלהם <math>EK</math> וה[[חיתוך (תורת הקבוצות)|חיתוך]] שלהם <math>K \cap E</math> הם הרחבות נורמליות של <math>F</math>.

אם <math>E/F</math> [[הרחבת גלואה]] ו[[חבורת גלואה]] שלה היא <math>G = \mathrm{Gal}(E/F)</math>, ואם <math>E \supset K \supset F</math> שדה ביניים, מתאימה לו לפי המשפט היסודי של תורת גלואה [[תת-חבורה]] <math>H = \mathrm{Gal}(E/K)</math> של <math>G</math>. תת-חבורה זו היא [[תת-חבורה נורמלית|נורמלית]] אם ורק אם ''<math>K/F</math>'' היא הרחבה נורמלית של שדות.

== דוגמאות ==

# כל [[הרחבה ריבועית]] (כמו <math> \mathbb{Q} [\sqrt{2} ] / \mathbb{Q}</math>) היא נורמלית.
# ההרחבה <math>\mathbb{Q}[ \sqrt[3]{2}] / \mathbb{Q}</math> אינה נורמלית, שכן מתוך שלושת השורשים של הפולינום האי-פריק <math>x^3 - 2</math> רק השורש ה[[מספר ממשי|ממשי]] <math>\sqrt[3]{2}</math> נמצא בשדה ההרחבה ואילו שני השורשים הנותרים <math>\omega \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2} \in \mathbb{C}</math> (כאן <math>\omega = \exp( i 2 \pi / 3) = \frac{-1 + i \sqrt{3} }{2}</math>) הם [[מספרים מרוכבים]] ולכן לא שייכים ל-<math>\mathbb{Q}[ \sqrt[3]{2} ] \subset \mathbb{R}</math> שהיא הרחבה ממשית.
# עבור p [[מספר ראשוני]], ההרחבה <math> \mathbb{Q}[\sqrt[p]{2}, \zeta_p] / \mathbb{Q}</math> כאשר <math>\zeta_p</math> הוא [[שורש יחידה]] p-י [[איבר פרימיטיבי|פרימיטיבי]], היא הרחבה נורמלית ממעלה <math>\left[ \mathbb{Q}[\sqrt[p]{2}, \zeta_p] : \mathbb{Q} \right] = p(p-1)</math>. זהו [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] של הפולינום האי-פריק <math>x^p - 2</math>.

== ראו גם ==
* [[הרחבת שדות]]
* [[הרחבת גלואה]]
* [[הרחבה ספרבילית]]
* [[שדה פיצול]]

==לקריאה נוספת ==
* {{citation | last = Jacobson | first = Nathan| title = Basic Algebra II| edition = 2nd | year = 1989 | publisher = W.&nbsp;H. Freeman }}
* Lang, Serge (2002), ''Algebra'', Graduate Texts in Mathematics 211
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
{{עץ מיון של הרחבות שדות}}
[[קטגוריה:תורת השדות]]