הצגת המקור של הדף "הרחבה ספרבילית"

ב[[אלגברה מופשטת]], '''הרחבה ספרבילית''' היא [[הרחבת שדות|הרחבה של שדות]] ש[[פולינום מינימלי|הפולינום המינימלי]] של כל איבר בה הוא ספרבילי, כלומר כל [[שורש (של פונקציה)|שורשיו]] ב[[שדה פיצול|שדה הפיצול]] שונים זה מזה. להרחבות ספרביליות חשיבות רבה ב[[תורת גלואה]]: כל [[הרחבת גלואה]] היא ספרבילית, ולכל שדה יש [[סגור ספרבילי]], שהוא ההרחבה האלגברית הספרבילית הגדולה ביותר של השדה. 

לספרביליות יש משמעות אלגברית גם מחוץ לתורת השדות - ראו [[אלגברה ספרבילית]].

==ספרביליות של פולינומים ==
[[פולינום]] אי-פריק <math>\ f(x)</math> הוא '''ספרבילי''' אם כל שורשיו ב[[שדה פיצול|שדה הפיצול]] שלו שונים זה מזה. עבור פולינומים שאינם אי פריקים נמצאות בספרות שתי הגדרות שונות - לפעמים פולינום נקרא ספרבילי אם הגורמים האי-פריקים שלו הם ספריביליים, ולפעמים דורשים בנוסף שהגורמים האי-פריקים יהיו שונים זה מזה. למשל, <math>\ x^n</math> הוא ספרבילי לפי ההגדרה הראשונה, אבל לא לפי השנייה. 

פולינום <math>\ f(x)</math> אינו ספרבילי (לפי ההגדרה החלשה) אם ורק אם יש לו [[מחלק משותף מקסימלי|גורם משותף]] לא טריוויאלי עם [[נגזרת#נגזרת פורמלית|הנגזרת הפורמלית]] שלו, <math>\ f'(x)</math>. מתכונה זו נובע שכל פולינום אי פריק מעל שדה מ[[מאפיין של שדה|מאפיין אפס]] הוא ספרבילי, ולכן גם כל הרחבה של שדה ממאפיין 0 היא ספרבילית. מכאן שמושג הספרביליות הוא בעל משמעות רק עבור שדות עם מאפיין שונה מאפס.

הדוגמה הטיפוסית לפולינום אי-פריק שאינו ספרבילי היא פולינום מהצורה <math>\ x^p - a</math>, כאשר p הוא המאפיין של השדה. באופן כללי יותר, כל פולינום <math>\ f(x) = g(x^p)</math> אינו ספרבילי. את הספרביליות אפשר לזהות לפי [[נגזרת#נגזרת פורמלית|הנגזרת (האבסטרקטית)]] של הפולינום: פולינום אי-פריק הוא ספרבילי אם ורק אם הנגזרת שלו אינה אפס.

{{טבלה מוסתרת|כותרת=הוכחה|תוכן=
נניח שהפולינום <math>f</math> אי-פריק (לא קבוע) ולא ספרבילי, ונסתכל עליו ב[[שדה פיצול|שדה הפיצול]] שלו. אזי ל-<math>f</math> יש שורש c מריבוי אלגברי גבוה מ-1 ולכן אפשר לכתוב אותו בצורה <math>f(x)=q(x)(x-c)^2</math>. אזי 
: <math>f'(x)=(x-c)^2q'(x) + 2(x-c)q(x) = (x-c)(2q(x)+q'(x)(x-c))</math> 
ולכן <math>h = \gcd( f , f')</math> הוא פולינום ש-c מאפס אותו בשדה הפיצול, כלומר או שהוא פולינום ממעלה גדולה מ-0 כך ש- <math>x-c|h</math> או שהוא פולינום האפס. נניח בשלילה שהוא פולינום ממעלה חיובית, אבל מאחר שאת ה-gcd אפשר לחשב באמצעות [[חילוק אוקלידי]] הוא מוגדר בשדה הבסיס F, כלומר <math>h \in F[x]</math>. אבל <math>h|f</math> (הפולינום <math>h</math> מחלק את <math>f</math> כי הוא [[מחלק משותף מקסימלי]] שלו ושל <math>f'</math>) וקיבלנו סתירה לכך ש-<math>f</math> אי-פריק. הדרך היחידה לפתור את הסתירה היא לדרוש שבהכרח <math>h = \gcd( f , f')=0</math>  (האפשרות של פולינום קבוע ממעלה 0 השונה מ-0 תיתן סתירה, כי <math>\gcd(f,f')=1</math> מביא לסתירה כי בשדה הפיצול  <math>0=h(c) \ne 1(c)=1</math>. אבל <math>\gcd( f , f')=0</math> אפשרי רק אם <math>f'=0</math>. התנאי האחרון אפשרי רק כאשר המאפיין של השדה הוא p ([[מספר ראשוני]]) ו-<math>f(x)=g(x^p)</math>, ואז אכן
: <math>f'(x) = \frac{d}{dx}g(x^p) = g'(x^p)\cdot p \cdot x^{p-1} \equiv 0 \pmod{p}</math>.

בכיוון השני, אם <math>f'=0</math> אז ניתן לראות שהפולינום הוא מהצורה <math>f(x)=g(x^p)</math> בשדה ממאפיין p. יהי <math>c</math> שורש בשדה פיצול של <math>f</math>, אזי <math>f(c)=g(c^p)=0</math> ובפרט <math>x^p-c^p|g(x^p)</math>  ולכן  <math>x^p-c^p|f(x)</math>. אבל
: <math>x^p - c^p \equiv (x-c)^p \pmod{p}</math>
ולכן השורש c הוא מריבוי אלגברי גדול מ-1, ומכאן שלא כל שורשיו של <math>f</math> שונים זה מזה. כלומר, הפולינום לא ספרבילי.

'''מש"ל'''
}}

איבר <math>a</math> באלגברה מעל השדה <math>F</math> נקרא '''איבר ספרבילי''', אם הפולינום המינימלי שלו הוא ספרבילי (לפי ההגדרה השנייה, החזקה יותר). לאיברים בשדה הרחבה הפולינום המינימלי תמיד אי-פריק, ולכן אין הבדל בין שתי ההגדרות לעניין הספרביליות במקרה זה.

==תכונות==

כל הרחבת ביניים של הרחבה ספרבילית היא ספרבילית. מאידך, ספרביליות היא טרנזיטיבית: אם <math>K/F</math> ו-<math>E/K</math> הרחבות ספרביליות, אז גם <math>E/F</math> ספרבילית.

כל הרחבה ספרבילית סופית היא פשוטה, כלומר, נוצרת על ידי איבר אחד: <math>\ E=F(\theta)</math> עבור <math>\ \theta\isin E</math> מתאים. 

== ראו גם ==

* [[אלגברה ספרבילית]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
{{עץ מיון של הרחבות שדות}}
[[קטגוריה:תורת השדות]]

[[de:Körpererweiterung#Separable Erweiterungen]]