הצגת המקור של הדף "הרחבה רדיקלית"

ב[[מתמטיקה]], ובעיקר ב[[תורת גלואה]], '''הרחבה רדיקלית''' היא [[הרחבת שדות]] הנוצרת על ידי סיפוח של ביטוי [[שורש של מספר|שורשי]] לשדה הבסיס. לדוגמה, השדה <math>\mathbb{Q}[\sqrt[4]{7}]</math>, המתקבל מסיפוח ה[[שורש של מספר|שורש]] הרביעי של 7 ל[[שדה המספרים הרציונליים]], הוא הרחבה רדיקלית (מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] 4) של <math>\mathbb{Q}</math>, וגם הרחבה רדיקלית (מממד 2) של <math>\mathbb{Q}[\sqrt{7}]</math>.

הרחבות רדיקליות הן מן הפשוטות ביותר בהרחבות של שדות, ו[[המשפט המרכזי של תורת גלואה]] מאפיין את ההרחבות המתקבלות באמצעות שרשרת של הרחבות כאלה.

הרחבה רדיקלית אפשר לתאר גם באמצעות הבניה הסטנדרטית של [[חוג מנה|חוגי מנה]]. אם <math>F</math> הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] והפולינום <math>x^n-a</math> אי--פריק מעליו, אז <math>F[x]/\langle x^n-a \rangle</math> הוא הרחבה רדיקלית של <math>F</math>, הנוצרת מסיפוח השורש ה-<math>n</math>-י של <math>a</math>. כל הרחבה רדיקלית אפשר לתאר באופן כזה.

כאשר <math>F</math> כולל [[שורשי יחידה]] מסדר <math>n</math>, כל [[הרחבה ציקלית]] מממד <math>n</math> מעל <math>F</math> היא הרחבה רדיקלית, ולהפך - כל הרחבה רדיקלית היא ציקלית. בהיעדר שורשי יחידה, ההרחבות הרדיקליות אפילו אינן [[הרחבה נורמלית|נורמליות]]. מעל שדות מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] <math>p</math>, הרחבה רדיקלית מממד <math>p</math> אינה [[הרחבה ספרבילית|ספרבילית]].

== ראו גם ==

* [[משפט ארטין-שרייר (הרחבות ציקליות)|משפט ארטין-שרייר]]
{{עץ מיון של הרחבות שדות}}
[[קטגוריה:תורת השדות]]
[[קטגוריה:תורת גלואה]]