הצגת המקור של הדף "הרחבת פיקאר-וסיו"

ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד ב[[אלגברה דיפרנציאלית]], '''הרחבת פיקאר-וסיו''' (Picard–Vessiot) היא [[הרחבת שדות]] [[אלגברה דיפרנציאלית#שדות דיפרנציאלים|דיפרנציאלים]] המתקבלת על ידי הוספת פתרונות של [[משוואה דיפרנציאלית]] ל[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] המקורי.

==הגדרה==

יהי <math>F</math> שדה דיפרנציאלי עם גזירה <math>d_F</math>. אומרים כי שדה דיפרנציאלי <math>K</math> עם גזירה <math>d_K</math> הוא הרחבה דיפרנציאלית של ''<math>F</math>'' אם <math>F \subseteq K</math> והצמצום של <math>d_K</math> ל-''<math>F</math>'' שווה ל<math>d_F</math>.

הרחבה דיפרנציאלית <math>F \subseteq K</math> נקראת הרחבת פיקאר-וסיו אם מתקיימים שני התנאים הבאים
# [[שדה הקבועים]] של ''<math>F</math>'' שווה לשדה הקבועים של ''<math>K</math>''.
# קיימת [[משוואה דיפרנציאלית ליניארית]] הומוגנית ''<math>L</math>'' מסדר ''<math>n</math>'' עם מקדמים ב''-<math>F</math>'' כך ''<math>K</math>'' נוצר מעל ''<math>F</math>'' על ידי הפתרונות של ''<math>L</math>'', וכך שמרחב הפתרונות של ''<math>L</math>'' ב-''<math>K</math>'' הוא [[מרחב וקטורי]] מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] ''<math>n</math>'' מעל שדה הקבועים.
במקרה זה אומרים כי <math>F \subseteq K</math> היא הרחבת פיקאר-וסיו של ''<math>F</math>'' ביחס למשוואה ''<math>L</math>''.

הרחבות פיקאר-וסיו הן המקבילה של [[הרחבת גלואה|הרחבות גלואה]] ב[[תורת גלואה הדיפרנציאלית]].

==קיום ויחידות==

אם ''<math>F</math>'' שדה דיפרנציאלי ששדה הקבועים שלו הוא [[שדה סגור אלגברית]], אז לכל משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית ''<math>L</math>'' קיימת הרחבת פיקאר-וסיו <math>F \subseteq K</math> ביחס ל-''<math>L</math>''. אם שדה הקבועים אינו סגור אלגברית יש דוגמאות שבהן לא קיימת הרחבת פיקאר-וסיו. למרות זאת, לכל שדה דיפרנציאלי ומשוואה ''<math>L</math>'' כדלעיל קיימת הרחבה דיפרנציאלית ''<math>K</math>'' שבה נמצאים כל הפתרונות של ''<math>L</math>'' וששדה הקבועים שלה הוא [[הרחבה אלגברית]] של שדה הקבועים של ''<math>F</math>''.

אם קיימת ל-''<math>F</math>'' הרחבת פיקאר-וסיו ביחס למשוואה ''<math>L</math>'' אז היא יחידה עד כדי [[איזומורפיזם]] של שדות דיפרנציאלים (כלומר, איזומורפיזם של שדות המכבד את פעולת הגזירה).

==לקריאה נוספת==
<div style="direction: ltr;">
* A. Magid, ''Lectures on Differential Galois Theory,''  American Math. Soc., 1994</div>

[[קטגוריה:אלגברה דיפרנציאלית]]
[[קטגוריה:תורת השדות]]